（寒假）2024-2025年高二数学 寒假巩固讲义+随堂检测 第01课 一元二次不等式及基本不等式（教师版）

第第页第01课一元二次不等式及基本不等式一元二次不等式及简单不等式的解法1、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)有两相等实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}R一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅2、由二次函数的图象与一元二次不等式的关系判断不等式恒成立问题的方法（1）.一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4ac＜0.))（2）一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＜0，,b2－4ac＜0.))3、．简单分式不等式(1)eq\f(fx,gx)≥0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fxgx≥0，,gx≠0.))(2)eq\f(fx,gx)>0⇔f(x)g(x)>0【例1】设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（

）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.【变式1-1】关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－2)<0的解集是()A．(－∞，1)∪(2，＋∞)B．(－1,2)C．(1,2)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】C【解析】；关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，∴a>0，且－eq\f(b,a)＝1，【变式1-2】“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是()A．m>eq\f(1,4)B．m<eq\f(1,4)C．m<1D．m>1【答案】：A【解析】∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>eq\f(1,4)，又∵m>eq\f(1,4)，∴Δ＝1－4m<0，∴“m>eq\f(1,4)”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件．故选A.【变式1-3】不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________.【答案】[－2，－1)∪(2，3]【解析】由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－x－2＞0，,x2－x－6≤0，))故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞2或x＜－1，,－2≤x≤3，))即－2≤x＜－1或2＜x≤3.故不等式的解集为[－2，－1)∪(2，3].方法总结：解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R或∅).求出对应的一元二次方程的根.(3)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集考向二含参不等式的讨论【例2】(1)解关于实数的不等式：．(2)解关于实数的不等式：．【解析】（1）由得，∴，当时，的解集为，当时，的解集为，③当时，的解集为．（2）对方程，当即时，不等式的解集为当即或时的根为不等式的解集为方法总结：含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论.(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是否是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；考向三恒成立问题【例3】若一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0恒成立，则实数k的取值范围是()A.(－3，0]B.[－3，0)C.[－3，0]D.(－3，0)【解析】因为2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0为一元二次不等式，所以k≠0.又2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0对一切实数x都成立，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k<0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))<0，))解得－3<k<0.【答案】D【变式3-1】设a为常数，对于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1>0，则实数a的取值范围是()A.(0，4)B.[0，4)C.(0，＋∞)D.(－∞，4)【解析】对于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1>0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－4a<0))或a＝0，所以0≤a<4.【答案】B【变式3-2】设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对任意x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，则实数m的取值范围为．【答案】(－∞，eq\f(6,7)).【解析】要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，即m(x-0.5)2＋eq\f(3,4)m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．令g(x)＝m(x-0.5)2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1，3].当m>0时，g(x)在区间[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，解得m<eq\f(6,7)，所以0<m<eq\f(6,7)；当m＝0时，－6<0恒成立；当m<0时，g(x)在区间[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，解得m<6，所以m<0.综上，实数m的取值范围是(－∞，eq\f(6,7)).【变式3-3】(多题)“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是A．0＜a＜1B．0≤a≤1C．0＜a＜eq\f(1,2)D．a≥0【答案】BD【解析】由题意可知，关于x的不等式x2－2ax＋a＞0恒成立，则＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，对于选项A，“0＜a＜1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的充要条件；对于选项B，“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的必要不充分条件；对于选项C，“0＜a＜eq\f(1,2)”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”的充分不必要条件对于选项D中，“a≥0”是“关于x的不等式x2－2ax＋a＞0对x∈R恒成立”必要不充分条件，故答案选BD．方法总结：1.一元二次不等式在R上恒成立的条件：不等式类型恒成立条件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤02.一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法：(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，若f(x)≥a恒成立，则f(x)min≥a，即m≥a；若f(x)≤a恒成立，则f(x)max≤a，即n≤a.3.一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数，即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解.基本不等式及应用1、基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2、几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3、利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．考向四运用基本不等式求函数的最值【例4】(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<eq\f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为________．(3)函数y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________．【答案】(1)eq\f(2,3)(2)1(3)2eq\r(3)＋2【解析】(1)x(4－3x)＝eq\f(1,3)×(3x)·(4－3x)≤eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋4－3x,2)))2＝eq\f(4,3)，当且仅当3x＝4－3x，即x＝eq\f(2,3)时，取等号．故所求x的值为eq\f(2,3).(2)因为x<eq\f(5,4)，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1时，取等号．故f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为1.(3)y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2x－2＋3,x－1)＝eq\f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝(x－1)＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2.当且仅当x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝eq\r(3)＋1时，取等号．【变式4-1】已知x>1，则y＝eq\f(x2＋2,x－1)的最小值为．【解析】令x－1＝t(t>0)，则y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f((t＋1)2＋2,t)＝t＋eq\f(3,t)＋2≥2eq\r(3)＋2，当且仅当t＝eq\f(3,t)，即t＝eq\r(3)，即x＝eq\r(3)＋1时，取等号，所以y的最小值为2eq\r(3)＋2.【变式4-2】（多题）下列函数中最小值为6的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确.对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.对于D选项，，当且仅当，即无解，故D不正确.故选：BC.方法总结：(1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．考向五基本不等式中1的运用【例5】若正数，满足，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：C.【变式5-1】已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．【答案】##【解析】由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）＝4＋5＋＋≥9＋2＝，当且仅当＝，时取等号，此时，故的最小值为．故答案为：【变式5-2】已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（

）A．B．9C．D．2【答案】B【分析】将代入，得到，的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．【详解】由函数的图象经过，则，即．，当且仅当时取到等号．故选：B．【变式5-3】正项等比数列中，成等差数列，且存在两项使得，则的最小值是（

）A．2B．C．D．不存在【答案】B【分析】由等比数列通项公式及等差中项的性质可得，进而有，利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意等号是否成立.【详解】由题设，若公比为且，则，所以，由，则，故，可得，所以，而，故等号不成立，又，故当时，当时，显然，故时最小值为.故选：B方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型考向六运用消参法解决不等式问题【例6】已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，则y的最大值为()A．1B．EQ\F(1,2)C．2D．EQ\F(1,3)【答案】D【解析】由题意可知，x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，则x＋EQ\F(1,x)＝EQ\F(1,y)－3y，因为x＞0，所以x＋EQ\F(1,x)＝EQ\F(1,y)－3y≥2EQ\R(,x·\F(1,x))＝2，当且仅当x＝EQ\F(1,x)，即x＝1时等号成立，即EQ\F(1,y)－3y≥2，又y＞0，所以可化为3y2＋2y－1≤0，解得0＜y≤EQ\F(1,3)，即y的最大值为EQ\F(1,3)，故答案选D．【变式6-1】已知正实数，满足，则的最小值是______．【答案】【解析】，当且仅当，时取等号．所以则的最小值是，故答案为：【变式6-2】已知，则_________．【答案】3【分析】利用基本不等式求得，从而可得，求解出值，代入即可得值.【详解】因为，当且仅当时取等号，所以，即，得，所以，即，所以.故答案为：【变式6-3】已知，，，则的最小值为（

）A．13B．19C．21D．27【答案】D【解析】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27，故选：D.【变式6-4】（多题）若，且，则下列不等式恒成立的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因为，，当且仅当时等号成立，则或，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时等号成立，故AC错误，D正确.对于B选项，，当且仅当时等号成立，故B正确.故选：BD.方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值一元二次不等式及基本不等式随堂检测1.已知集合，则=A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，，则．故选C．2.若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为（）A.-1，-7B.0，-8C.1，-1D.1，-7【答案】D【解析】的解集为，，1是方程的根，且，，，，则二次函数开口向下，对称轴，在区间上，当时，函数取得最大值1，当时，函数取得最小值.故选：D．3.在下列函数中，最小值为2的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】对于A选项，时，为负数，A错误.对于B选项，，，，但不存在使成立，所以B错误.对于C选项，，当且仅当时等号成立，C正确.对于D选项，，，，但不存在使成立，所以D错误.故选：C4.已知，且，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】将代入，可得：（当且仅当时，取得等号）故选：D.5.下列函数中最小值为4的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．6.（多题）已知实数满足，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为16B．的最大值为9C．的最大值为9D．的最大值为【答案】AD【解析】因为，则，；则，即，当且仅当时，即时等号成立，故A项正确，C项错误；因为，，则，，当且仅当时，即时等号成立，故的最小值为9，故B项错误；因为，，，当且仅当时，即时等号成立，故D项正确.故选：AD.7.已知不等式的解集为，则不等式的解集为_________.【答案】或.【解析】因为不等式的解集为，所以a<0且2和4是的两根.所以可得：，所以可化为：，因为a<0，所以可化为，即，解得：或，所以不等式的解集为或.故答案为：或.8.已知函数若对于任意，都有成立，则实数取值范围是．【答案】.【解析】由题意可得对于上恒成立，即，解得.9.已知x≥1，则y＝eq\f(x2＋2,x＋1)的最小值为．【解析】令x＋1＝t(t≥2)，则y＝eq\f(x2＋2,x＋1)＝eq\f((t－1)2＋2,t)＝t＋eq\f(3,t)－2≥2eq\r(3)－2，当且仅当t＝eq\f(3,t)，即t＝eq\r(3)时，取等号．又因为t≥2，根据对勾函数的性质可知当t＝2，即x＝1时，y有最小值，即ymin＝2＋eq\f(3,2)－2＝eq\f(3,2).10.函数f(x)＝x2＋ax＋3，a∈R.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求x的取值范围．【解析】(1)因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，所以Δ＝a2－4(3－a)≤0