《微积分》各习题及详细答案

《微积分》各习题及详细答案一、极限与连续1.求极限：$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$答案：1解析：根据极限的定义，当$x$趋近于0时，$\sinx$也趋近于0。但是，$\frac{\sinx}{x}$并不等于0，而是等于1。这是因为在$x$趋近于0的过程中，$\sinx$与$x$的比值趋近于1。因此，$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$。2.判断函数$f(x)=\frac{x^21}{x1}$在$x=1$处的连续性。答案：不连续解析：当$x$趋近于1时，分子$x^21$趋近于0，分母$x1$也趋近于0。但是，由于分母为0，导致函数在$x=1$处无定义。因此，函数$f(x)=\frac{x^21}{x1}$在$x=1$处不连续。二、导数与微分1.求函数$f(x)=x^33x^2+2x$的导数。答案：$f'(x)=3x^26x+2$解析：根据导数的定义，对函数$f(x)$求导，得到导数$f'(x)$。具体计算过程如下：$$f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{f(x+\Deltax)f(x)}{\Deltax}$$将$f(x)=x^33x^2+2x$代入上式，得到：$$f'(x)=\lim_{\Deltax\to0}\frac{(x+\Deltax)^33(x+\Deltax)^2+2(x+\Deltax)(x^33x^2+2x)}{\Deltax}$$经过化简，得到$f'(x)=3x^26x+2$。2.求函数$f(x)=e^x$在$x=0$处的微分。答案：$df(x)=e^xdx$解析：根据微分的定义，对函数$f(x)$求微分，得到微分$df(x)$。具体计算过程如下：$$df(x)=f'(x)dx$$将$f(x)=e^x$代入上式，得到：$$df(x)=e^xdx$$因此，函数$f(x)=e^x$在$x=0$处的微分为$df(x)=e^xdx$。三、不定积分1.求不定积分：$\int(x^23x+2)dx$答案：$\frac{1}{3}x^3\frac{3}{2}x^2+2x+C$解析：根据不定积分的定义，对函数$x^23x+2$求不定积分，得到原函数。具体计算过程如下：$$\int(x^23x+2)dx=\frac{1}{3}x^3\frac{3}{2}x^2+2x+C$$其中，$C$为积分常数，表示所有原函数的集合。2.求不定积分：$\inte^xdx$答案：$e^x+C$解析：根据不定积分的定义，对函数$e^x$求不定积分，得到原函数。具体计算过程如下：$$\inte^xdx=e^x+C$$其中，$C$为积分常数，表示所有原函数的集合。四、定积分1.求定积分：$\int_{0}^{1}(x^23x+2)dx$答案：$\frac{1}{6}$解析：根据定积分的定义，对函数$x^23x+2$在区间$[0,1]$上求定积分，得到积分值。具体计算过程如下：$$\int_{0}^{1}(x^23x+2)dx=\left[\frac{1}{3}x^3\frac{3}{2}x^2+2x\right]_{0}^{1}$$将$x=1$和$x=0$代入上式，得到：$$\int_{0}^{1}(x^23x+2)dx=\left(\frac{1}{3}\frac{3}{2}+2\right)\left(00+0\right)=\frac{1}{6}$$2.求定积分：$\int_{0}^{\pi}\sinxdx$答案：2解析：根据定积分的定义，对函数$\sinx$在区间$[0,\pi]$上求定积分，得到积分值。具体计算过程如下：$$\int_{0}^{\pi}\sinxdx=\left[\cosx\right]_{0}^{\pi}$$将$x=\pi$和$x=0$代入上式，得到：$$\int_{0}^{\pi}\sinxdx=\cos(\pi)(\cos(0))=2$$五、级数1.判断级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$的敛散性。答案：收敛解析：根据级数收敛的定义，对于级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$，当$n$趋向于无穷大时，$\frac{1}{n^2}$趋向于0。因此，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$收敛。2.求级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$的和。答案：发散解析：根据级数发散的定义，对于级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$，当$n$趋向于无穷大时，$\frac{1}{n}$趋向于0，但是级数的和趋向于无穷大。因此，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散。六、多变量函数1.求函数$z=x^2+y^2$在点$(1,1)$处的偏导数。答案：$\frac{\partialz}{\partialx}=2x,\frac{\partialz}{\partialy}=2y$解析：偏导数表示函数在某一点处沿某一方向的变化率。对于函数$z=x^2+y^2$，求偏导数的过程如下：对$x$求偏导：将$y$视为常数，得到$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$。对$y$求偏导：将$x$视为常数，得到$\frac{\partialz}{\partialy}=2y$。在点$(1,1)$处，代入上述偏导数公式，得到：$\frac{\partialz}{\partialx}=2\times1=2$$\frac{\partialz}{\partialy}=2\times1=2$2.求函数$z=\ln(x^2+y^2)$的全微分。答案：$dz=\frac{2x}{x^2+y^2}dx+\frac{2y}{x^2+y^2}dy$解析：全微分表示函数在一点处的微小变化量。对于函数$z=\ln(x^2+y^2)$，求全微分的过程如下：求偏导数：$\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x}{x^2+y^2}$和$\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{2y}{x^2+y^2}$。然后根据全微分的定义，得到$dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy$。七、向量分析1.求向量$\vec{A}=2\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}$和$\vec{B}=5\vec{i}\vec{j}+6\vec{k}$的点积。答案：$\vec{A}\cdot\vec{B}=23$解析：点积表示两个向量在某一方向上的投影的乘积。对于向量$\vec{A}$和$\vec{B}$，求点积的过程如下：$\vec{A}\cdot\vec{B}=(2\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k})\cdot(5\vec{i}\vec{j}+6\vec{k})$展开并计算，得到$\vec{A}\cdot\vec{B}=23$。2.求向量$\vec{A}=2\vec{i}+3\vec{j}+4\vec{k}$和$\vec{B}=5\vec{i}\vec{j}+6\vec{k}$的叉积。答案：$\vec{A}\times\vec{B}=3\vec{i}14\vec{j}+13\vec{k}$解析：叉积表示两个向量在垂直于它们的平面上形成的向量的长度。对于向量$\vec{A}$和$\vec{B}$，求叉积的过程如下：$\vec{A}\times\vec{B}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&3&4\\5&1&6\end{vmatrix}$展开并计算，得到$\vec{A}\times\vec{B}=3\vec{i}14\vec{j}+13\vec{k}$。八、常微分方程1.求微分方程$y'=2y$的通解。答案：$y=Ce^{2x}$解析：这是一个一阶线性微分方程。求解过程如下：将方程改写为$y'2y=0$。求解特征方程$r2=0$，得到$r=2$。因此