七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）专题08 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（解析版）

专题08三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：高分线模型条件：AD是高，AE是角平分线结论：∠DAE=例1．（2023·江苏苏州·七年级校考期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（

）A．5° B．4° C．8° D．6°【答案】A【分析】利用三角形内角和定理求出∠C，利用直角三角形两个锐角互余求出∠DAC，利用角平分线的定义求出∠EAC，∠EAC减去∠DAC即可求出∠DAE．【详解】解：△ABC中，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，AD是BC边上的高，，，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，，．故选A．【点睛】此题考查三角形内的角度求解，解题的关键是熟知角平分线、高及三角形的内角和定理的性质．例2．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在中，平分交于点E，过点A作，垂足为D，过点E作，垂足为F．若，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形内角和定理求出和的度数，再利用角平分线的定义得出，再根据角的和差关系可得答案．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵平分，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），熟练掌握三角形内角和定理是解决本题的关键．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD、AE分别是Rt△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，试求：（1）AD的长度；（2）△ACE和△ABE的周长的差．【答案】（1）AD的长度为cm；（2）△ACE和△ABE的周长的差是3cm．【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；（2）由于AE是中线，那么BE＝CE，再表示△ACE的周长和△ABE的周长，化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB即可．【详解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴S△ACB=AB•AC＝BC•AD，∵AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴AD＝＝＝（cm），即AD的长度为cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝12﹣9＝3（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是3cm．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．(1)求的度数．(2)试写出与关系式，并证明．(3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．

【答案】(1)(2)(3)不变，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义得到，根据高线的性质得到，从而求出，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和求出，根据角的和差得到结果；（3）过作于，结合（2）知，证明，得到，即可证明．【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵是高，∴，∵，∴，∴；（2），证明如下：∵平分，∴，∵，∴，∴；（3）不变，理由是：如图，过作于，由（2）可知：，

，，，，，，，．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。例1．（2023·河北保定·八年级校联考阶段练习）如图，，都是的高，则与一定相等的角是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等量代换、三角形的高的性质、三角形内角和定理即可求得答案．【详解】∵，都是的高，∴．∴．A、当时，可得，该选项不符合题意；B、当时，可得，该选项不符合题意；C、根据题意可知，该选项符合题意；D、当时，可得，该选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的高的性质、三角形内角和定理，牢记三角形的高的性质、三角形内角和定理是解题的关键．例2．（2023·安徽宿州·八年级校考期中）如图，在中，和分别是边上的高，若，，则的值为（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可．【详解】∵，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题．根据三角形的面积公式得出是解题关键．例3．（2023春·河南周口·七年级统考期末）如图，在中，，，于点F，于点，与交于点，．(1)求的度数．(2)若，求的长．

【答案】(1)(2)【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；（2）利用等面积法，由代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，，，∴．【点睛】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键．模型3：子母型双垂直模型(射影定理模型)结论：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。例1．（2023·江西鹰潭·七年级阶段练习）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B．【答案】见解析【分析】根据同角的余角相等即可解答．证明：在中，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理．例2．（2023·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，AD，BF分别是△ABC的高线与角平分线，BF，AD交于点E，∠1＝∠2．求证：△ABC是直角三角形．【答案】见解析【分析】根据AD是△ABC的高线，可得∠BED+∠EBD＝90°，根据角平分线的定义可得∠ABE＝∠EBD，观察∠BED与∠AEF的位置，可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得∠AEF+∠ABE＝90°，至此结合已知不难得到∠AFE+∠ABE＝90°，由此解题．【详解】证明：由题意得：AD⊥BC，BF平分∠ABC，∴∠BED+∠EBD＝90°，∠ABE＝∠EBD，∴∠BED+∠ABE＝90°，又∵∠AEF＝∠BED，∴∠AEF+∠ABE＝90°，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AFE+∠ABE＝90°，∴∠BAF＝90°，即△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查了三角形高线、角平分线的定义，对顶角相等，熟记角平分线的定义与直角三角形的定义是关键．例3．（2023·北京通州·八年级统考期末）如图，在中，，，垂足为．如果，，则的长为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】先根据勾股定理求出AB，再利用三角形面积求出BD即可．【详解】解：∵，，，∴根据勾股定理，∵，∴S△ABC=，即，解得：．故选择D．【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式是解题关键．例4．（2023春·江苏苏州·七年级苏州中学校考期中）已知，在中，，是角平分线，D是上的点，、相交于点F．

(1)若时，如图所示，求证：；(2)若时，试问还成立吗？若成立说明理由；若不成立，请比较和的大小，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)不成立；当时，；当时，；理由见解析．【分析】（1）证明，由，证明，由三角形的外角的性质可得，，从而可得结论．（2）证明，结合三角形的内角和定理可得，再分两种情况可得结论．【详解】（1）证明：∵是角平分线，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴．（2）不成立．理由如下：∵，，，∴，∵，∴当时，，∴；当时，，∴．【点睛】本题考查的是三角形的角平分线是含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，不等式的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．课后专项训练1．（2023春·江苏无锡·七年级校联考期中）如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用角平分线的定义可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合，即可求出的度数．【详解】解：∵是的角平分线，∴．∵是的高，∴．在中，，∴，∴，∴的度数为故选A．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是是解题的关键．2．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的高，是的平分线．，．则等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了高的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据高的定义求出，再根据角平分线的定义求出，进而求出，结合三角形内角和定理求出的度数，问题即可得解．【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴，∵是的平分线，，∴，∴，∴，又，∴，故选：B．3．（2023下·陕西西安·七年级校考期中）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后可得，再根据角平分线的定义求出，进而利用三角形内角和定理求出的度数即可．【详解】解：∵是边上的高，∴，∵，∴，∴，∵是的平分线，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，三角形内角和定理，准确识别各角之间的关系是解题的关键．4．（2023下·重庆涪陵·八年级统考期末）如图，钝角中，为钝角，为边上的高，为的平分线，则与、之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论．【详解】解：由三角形内角和知∠BAC=180°-∠2-∠1，∵AE为∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°-∠2-∠1）．∵AD为BC边上的高，∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD．又∵∠ABD=180°-∠2，∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°，∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+（180°-∠2-∠1）=（∠2-∠1）．故选：B【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义，解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系．5．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】①根据等底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据角平分线平分角以及等角的余角相等，即可判断；③根据角平分线平分角以及同角的余角相等，即可判断；④根据等腰三角的判定方法即可判断；⑤过点F作于点M，根据角平分线性质得出，根据即可作出判断．【详解】解：∵是中线，∴，∴(等底等高的两个三角形面积相等)，故①正确；∵是角平分线，∴，∵是高，∴，∵，，∴，故②正确；∵，∴，故③正确；∵连接，如图，∵为的斜边的中线，∴，∴，∵，∴只有当时，，此时，∴，∵条件中不能确定，∴不成立，故④错误；⑤过点F作于点M，如图所示：∵平分，，∴，∵，∴，∴，故⑤正确；综上分析可知，正确的个数为4个．故选：C．【点睛】此题考查了三角形的角平分线，中线和高性质，三角形内角和定理，角平分线性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的角平分线，中线和高性质，三角形内角和定理．6．（2023下·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在中，是高，是角平分线，是中线与相交于，以下结论正确的有（

）

①；②；③；④；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】解：由高的定义，得，①正确；由中线得，两三角形等底同高，于是,②正确；根据直角三角形两锐角互余及外角知识，得，结合角平分线定义可判断③正确；如图，过点E作，垂足为H，I，根据角平分线性质，得，可证得．④正确．【详解】解：∵是高，∴．∴，①正确；∵是中线，∴．令中边上的高为h，∴,②正确；∵∴.∵是角平分线，∴．∴，③正确；如图，过点E作，垂足为H，I，∵是角平分线，∴．

．④正确．故选：D．【点睛】本题考查三角形角平分线，中线，高的定义，直角三角形性质，三角形内角和定理，角平分线性质；熟练掌握相关定义是解题的关键．7．（2023上·山东滨州·八年级统考期末）如图所示，在中，、分别是、边上的高，并且、交于点P，若，则等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据，可得的度数，然后根据可得的度数，最后根据三角形外角的性质可得结论．【详解】解：，，，，，故选：C．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于、三角形外角的性质是解题的关键．8．（2023上·河南漯河·八年级校考阶段练习）如图，在中，分别是边上的高，则图中与相等的角有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】由分别是边上的高，可得，从而得出，最后得出．【详解】解：∵分别是边上的高，∴，∴，∴，∴与相等的角有1个，故选：B【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形两个锐角互余．9．（2023下·重庆江北·七年级校考期中）如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论中不正确的是（

）

A．B．C．D．【答案】C【分析】先根据垂直的定义可得，然后根据同角的余角相等即可判定A；根据角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，然后运用角的和差即可判定B；先根据三角形外角的性质可得,再结合可判定C；先说明，然后根据等量代换即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故A正确；

∵、分别是高和角平分线，∴，∵，∴，∴，∴；故B正确；∵，∴，∵，∴，由A得：，∴，故C错误；∵，∴，∴，∵，∴，故D正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、垂直的定义、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．10．（2023下·广东深圳·八年级统考开学考试）如图，在中，，是边上的高，是的平分线，交于点F，下面说法：①；②；③；④．其中正确的说法有（

）个．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据余角的性质可判断①，根据角平分线的定义可判断③，证明，根据等角对等边推出可判断②，过点作于，根据角平分线的性质定理可得，利用三角形的面积可判断④．【详解】解：是的平分线，，，是边上的高，，，，，．故①③符合题意．，是边上的高，，，是的平分线，，，，．故②符合题意．如图，过点作于，

，是的平分线，，，故④符合题意．选：D．【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，三角形的高，余角的性质，掌握角平分线的性质定理是解题关键．11．（2023下·山东东营·七年级校考阶段练习）如图在中，是边上的高，分别是和的平分线，它们相交于点O，，则的度数是．

【答案】【分析】先根据三角形内角和定理求出，进而根据角平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理求出的度数进而求出的度数即可．【详解】解：∵，∴，∵分别是和的平分线，∴，∴，∴，∵是边上的高，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形三个内角的度数之和为是解题的关键．12．（2023上·甘肃兰州·八年级校联考期末）如图，在中，、分别是高和角平分线，点F在的延长线上，，交于G，交于H，下列结论：①；②；③．其中正确的是．【答案】①②③【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形内角和定理和对顶角相等，可证明①结论正确；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，，可证明②结论正确；根据角平分线的定义和三角形外角的性质，得到，再根据三角形内角和定理和对顶角相等，得出，可证明③结论正确．【详解】解：设交于点J．①∵，∴∵，∴，∵，∴，①结论正确；②∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，②结论正确；③∵，，∴，∵，，∴，，∵，∴，∵,∴，③结论正确，故答案为：①②③．13．（2023下·山西大同·八年级校考开学考试）如图，在中，，，，分别是边，上的高，且，则的长为．

【答案】【分析】要求出的长，利用的面积公式：求出．【详解】解：因此故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，运用不同的底和高计算一个三角形的面积，关键要注意选取三角形底边时，要准确找到底边所对应的高．14．（2023下·湖南永州·九年级统考期中）如图所示，在锐角△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，求证：．【答案】证明见解析【分析】利用三角形面积公式可得．【详解】证明：AD，BE分别是边BC，AC上的高∴．∴．【点睛】本题考查求三角形的高，根据三角形面积公式列出等式是解题的关键．15．（2023上·河北廊坊·八年级校考期中）如图，在中，为钝角，是边上的高，是的平分线．

(1)画出边上的高；(2)若，，求的度数；(3)若，，，求高的长．【答案】(1)画图见解析；(2)(3)【分析】本题考查的三角形的高，三角形的角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用；（1）利用三角尺画上的高即可；（2）先求解，，再利用角平分线的定义可得，再结合角的和差关系可得答案；（3）先求解，再把作底边，再列方程求解高即可．【详解】（1）解：如图，为上的高；

（2）∵，，∴，∵，∴，∵是的平分线，∴，∴；（3）∵，，，∴，∵，，∴，∴．16．（2023下·山东淄博·七年级校考阶段练习）如图，在中，是边上的高，是平分线．(1)若，，求的度数．(2)若，试探求、、之间的数量关系．

【答案】(1)(2)【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余求出，根据三角形的内角和等于，求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，再求解即可；（2）根据是平分线，即可得到，再根据中，，代入，即可得到、、之间的数量关系．【详解】（1）解：∵，，∴，∵是平分线，∴，∵是边上的高，，∴，∴；（2）解：，易知，∵是平分线，∴，又∵中，，∴，故、、之间的数量关系为．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形的高线，准确识图是解题的关键．17．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）如图，在中，和分别是的边，上的高，，相交于点，已知．

(1)若，求的度数；(2)若，，，求的长．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根据三角形的高的定义得出，根据全等三角形的性质得出，那么是等腰直角三角形，，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解；（2）连接，利用，即可求解．【详解】（1）解：∵和分别是的边上的高，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴；（2）解：连接，∵，，，，∴．

∵是的边上的高，∴，即，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，求出是解第（1）小题的关键；利用面积法是解第（2）小题的关键．18．（2023下·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，，，垂足为．

（1）求证：；（2）若平分分别交，于点，求证：．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）根据，，列出等量关系，通过等量代换即可得到；（2）根据角平分线可得∠CAF=∠BAF，再根据三角形的外角的性质即可证得．【详解】解：（1）∵，∴∠CAB+∠B=90°，∠CAB+∠ACD=90°，∴（2）∵平分∴∠CAF=∠BAF又∵∠CEF和∠CFE分别是△AEC和△ABF的外角，∴∠CEF=∠CAF+∠ACD∠CFE=∠BAF+∠B又∵∴∠CEF=∠CF