七年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）专题03 平行线中的拐点模型之牛角模型（解析版）

专题03平行线中的拐点模型之牛角模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（牛角模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。模型1：牛角模型图1图2如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°图1图2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。例1．（2023·江苏·七年级期中）如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为【答案】180°【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解．【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示：，∠1=∠EFD，∠2+∠EFC=∠3，，，；故答案为180°．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键例2．（2023下·辽宁大连·七年级统考阶段练习）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，则的度数是()

A． B． C． D．【答案】D【分析】延长，交于点，由，利用两直线平行，同位角相等可求出的度数，再利用三角形的外角性质可求出的度数．【详解】解：延长，交于点．，，．故选：D．

【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．例3．（2023·安徽滁州·校联考二模）如图，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图所示，过点E作，则，由平行线的性质得到，进一步推出．【详解】解：如图所示，过点E作，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．例4．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．【答案】∠P＝360°﹣2a【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的关系，然后即可用a表示∠P．【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案为：∠P＝360°﹣2a．【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键．例5．（2023下·安徽安庆·七年级统考期末）已知，E是平面内一点，连接，．

(1)如图1，若，，求的度数．(2)如图2，当点E在上方时，猜想，与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，平分，连接，，若，，的度数．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)【分析】（1）过点E作，从而有，则可求得，，即可求；（2）延长交于点F，由平行线的性质可得，结合三角形的外角性质即可求解；（3）由三角形外角性质可得，由平行线的性质可得，再由角平分线的性质得，结合（2）的结论及所给的条件即可求．【详解】（1）解：过点E作，如图，

，，，，，，，；（2）解：，理由如下：延长交于点F，如图，，，，；（3）解：如图，是的外角，，，，平分，，由（2）可得：，，，，即：，，．【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，角平分线的定义，解答本题的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．例6．（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，．

(1)如图，求证；(2)如图，点在上，平分，交于点，探究的数量关系，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，如图交延长线于点，求的度数．【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)【分析】（1）证明：延长交于点，则，结合已知即可得出，据此即可得出结论；（2）设，，由角平分线的定义得，，由（1）可知∥，则，，然后由得，再四边形的内角和等于得，即，据此可得出，的数量关系；（3）设，则，，由∥得，而，然后根据得，据此可求出，则，最后根据周角的定义可求出的度数．【详解】（1）证明：延长交于点，，

，，∥．（2）解：，的数量关系是：，理由如下：设，，平分，，，，，由（1）可知：∥，，，，，，由四边形的内角和等于得：，即：，，．（3）解：设，，，由（1）可知：∥，，，，，，，解得：，，，根据周角的定义得：，．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．例7．（2023·广东七年级课时练习）已知，点为之外任意一点．

（1）如图1，探究与之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，探究与之间的数量关系，并说明理由．【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若，则_______________．【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；[拓展变式]．【分析】（1）过点作，则，根据平行线的性质可得，进而得出结论；（2）理由如下：过点作，则，根据平行线的性质可得，，进而得出结论；（3）过点作，则，根据平行线的性质得出，，进而即可求解．【详解】解：（1）．理由如下：过点作，则．．，．

（2）．理由如下：过点作，则．，．，．【拓展变式】过点作，则．，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．课后专项训练1．（2023·安徽六安·统考模拟预测）一个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点，与交于点，若，则的大小为()

A． B． C． D．【答案】D【分析】由直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，因此，由平行线的性质得到．【详解】解：，，，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质求出的度数，由平行线的性质即可求出的度数．2．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，已知，于点，若，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直角三角形的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数．【详解】解：如图，，，

，，，，，故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的两锐角互余以及两直线平行，同位角相等是解题的关键．3．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，已知直线，，，则的度数为（

）

A．42° B．44° C．46° D．48°【答案】A【分析】证明，，再利用三角形的外角的性质可得答案．【详解】解：∵，，，∴，，∵，∴；故选A．【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键．4．（2023下·湖北武汉·七年级期末）如图，，，，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过点F作，延长交于点G，由得到，则，由，得到，则，，得到，又由得到，即可得到答案．【详解】解：过点F作，延长交于点G，

∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴．故选：B【点睛】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．5．（2023下·河南周口·七年级统考期中）某人把“抖空竹”的一个姿势抽象成数学问题．如图所示，已知，，，则的度数是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于点，根据得到，结合三角形内外角关系即可得到答案．【详解】解：延长交于点，∵，∴，∵，，∴，故选B；

【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形内外角的性质，解题的关键是作出辅助线．6．（2023下·湖南常德·八年级校联考期中）如图，已知直线a，b被直线c，d所截，且，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，先根据两直线平行，同位角相等得到，再由三角形外角的性质得到，则由对顶角相等可得．【详解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故选C．

7．（2023下·重庆九龙坡·七年级校考期中）如图，，，，，则为()

A． B． C． D．【答案】B【分析】过E作，过H作，利用平行线的性质解答即可．【详解】解：过E作，过H作，∵，∴，∵，∴，，∴，同理∵，∴，，∴，∵，，∴，∴．故选：B．

【点睛】此题考查平行线的性质和平行公理的推论，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答．8．（2023下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知，点E为上方一点，、分别为，的角平分线，若，则的度数为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，过G作，根据平行线的性质可推导出，，再根据角平分线的定义和三角形的外角性质推导出，则，进而求解即可．【详解】解：如图，过G作，则，

∵，∴，，∴，∴，∵、分别为，的角平分线，∴，，∵，∴，即，∵，∴，∴，则，∴，故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的外角性质等知识，添加平行线，利用平行线的性质探究角之间的关系是解答的关键．9．（2023·河南信阳·校考三模）如图，，，，则的度数为．

【答案】/100度【分析】过点做平行于即可求解．【详解】解：过点做平行于，如图所示：

∵∴∵，∴∵∴故答案为：【点睛】本题考查了平行线的性质．过拐点作平行线是解题关键．10．（2022下·西藏那曲·七年级统考期末）如图，，则，，的关系是.

【答案】【分析】过作，利用两直线平行同旁内角互补可得，，的关系．【详解】解：过作，

，，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．11．（2023下·江苏泰州·七年级统考期末）“抖空竹”是我国独有的一项民族传统健身项目，历史悠久，源远流长，在我国有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．图1是某同学“抖空竹”的一个瞬间，若将图1抽象成图2的数学问题：在平面内，已知，，，则度．

【答案】85【分析】延长，交于点F，由三角形外角的性质可求出，再结合平行线的性质即可得出．【详解】解：如图，延长，交于点F，

∵，，∴．∵，∴．故答案为：85．【点睛】本题考查三角形外角的性质，平行线的性质．正确作出辅助线，利用数形结合的思想是解题关键．12．（2023下·宁夏中卫·七年级校考期末）如图所示，，那么°．

【答案】【分析】根据平行线的性质得到，再由三角形外角性质即可得到答案．【详解】解：，，是的一个外角，，，故答案为：．【点睛】本题考查求角度问题，涉及平行线的性质、三角形外角性质等知识，数形结合，准确找到各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．13．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知，点A在上，点B和D在上，点C在的延长线上，，，则的度数是．

【答案】/40度【分析】利用平行线的性质求出，再利用三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质是解决本题的关键．14．（2023·江苏镇江·统考二模）如图，直线，有一个含的直角三角板的直角顶点A在直线上，若边与直线的夹角，则边与直线的夹角．

【答案】40【分析】延长交于点，由题意可得，，利用平角的定义求得，，利用三角形内角和定理求得，由平行线的性质即可得到．【详解】解：如图，延长交于点，

由题意可得，，，，，，在中，，∵，．故答案为：40．【点睛】本题主要考查平行线的性质、平角的定义、三角形内角和定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．15．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，直线，点在上，点在上，点在，之间，和的角平分线相交于点，的角平分线交的反向延长线于点，下列四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论是（填写序号）．【答案】①②【分析】过点作，根据平行线的性质得出，同理可得，即可判断①②，根据已知条件设，得出，不能得出，故③错误，进而得出，而，不一定成立，故④错误，据此即可求解．【详解】解：如图所示，过点作，∵，∴∴，∴，故①正确；同理可得，∵分别为和的角平分线∴，∴，故②正确；如图所示，设交于点，∵，∴∵∴∴，∵是的角平分线，∴，设，∴∴，∵∴即不能得出，故③错误，当时，∴,∵，∴，∴而不一定成立，故④错误，故答案为：①②．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．16．（2023·广东广州·统考一模）直线，线段分别与，交于点，，过点作，交直线于点，的平分线交直线于点．若，则的度数是．【答案】【分析】由垂直关系及可求得的度数，由平行线的性质可求得的度数，由角平分线的定义求得的度数，再由平行线的性质即可求得的度数．【详解】解：∵，，∴；∵，∴，∴；∵平分，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，互余关系，角平分线的定义等知识，其中平行线性质的掌握是解题的关键．17．（2023·山东·九年级专题练习）如图所示，，，，求的度数.【答案】.【分析】根据平行线的性质，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，，又因为，得到，所以.【详解】因为，结合题意，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，，，即，，【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质.18．（2023下·广东广州·七年级校考期中）如图，已知直线，M、N分别是直线上的点．

(1)在图①中，若，则．(2)在图②中，请判断之间的关系，并说明理由．(3)在图③中，平分，平分，且，求．【答案】(1)(2)，理由见解析(3)．【分析】（1）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，然后相加即可得解；（2）结论：．过点F作直线，利用平行线的性质即可解决问题；（3）利用（1）（2）结论构建方程解决问题即可．【详解】（1）解：过点E作直线．∵，∴，

又∵，∴．∴，∴，∵，∴．故答案为：；（2）解：结论：．理由：如图中，过点E作直线．∴，又∵，∴．∴，∴；（3）解：∵平分，∴，∵平分，∴，设，由（1），得，由（2），得，又∵，∴，∴，即．∴．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．19．（2023下·江苏苏州·七年级校联考期中）如图1，已知AB//CD，P是直线AB，CD外的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，满足∠FPE＝60°．（1）求∠AEP的度数；（2）如图2，射线PN从PE出发，以每秒10°的速度绕P点按逆时针方向匀速旋转，当PN到达PF时立刻返回至PE，然后继续按上述方式旋转；射线EM从EA出发，以相同的速度绕E点按顺时针方向旋转至EP后停止运动，此时射线PN也停止运动．若射线PN、射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．①当射线PN平分∠EPF时，求∠MEP的度数（0°＜∠MEP＜180°）；②当直线EM与直线PN相交所成的锐角是60°时，则t＝．【答案】（1）150°；（2）①∠MEP＝60°或120°；②或【分析】（1）根据平行线的性质及三角形外角性质可得答案；（2）①由角平分线的定义得∠EPN＝30°，再根据三角形外角性质可得答案；②利用三角形外角性质列出方程，通过解方程即可得到问题的答案．【详解】解：（1）如图1，∵AB//CD，PF⊥CD，∴PF⊥AB，∴∠AMP＝90°，∵∠FPE＝60°，∴∠AEP＝∠FPE+∠AMP＝150°；（2）如图2，①当PN平分∠EPF时，∠EPN＝30°时，运动时间t＝＝3（秒），此时ME也运动了3秒，∴∠AEM＝3×10°＝30°，∴∠MEP＝150°﹣30°＝120°；PN继续运动至PF时，返回时，当PN平分∠EPF时，运动时间至＝9（秒）时，此时ME也运动了9秒，∴∠AEM＝9×10°＝90°，∴∠MEP＝150°﹣90°＝60°；当第二次PE运动至PF时，当PN平分∠EPF时，运动了（秒）∴∠AEM＝15×10°＝150°，∴∠MEP＝150°﹣150°＝0°，不符合题意；综上所述，∠MEP的度数为60°或120°；②如图3，当0≤t≤6时，此时∠EPN＝∠AEM＝10t，∠NEH＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝180°﹣∠HPE﹣∠PEH＝180°﹣10t﹣30°﹣10t＝150°﹣20t，当150°﹣20t＝120°时，t＝，当150°﹣20t＝60°时，t＝；当6＜t≤12时，此时∠EPN＝120°﹣10t，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝30°，不成立，当12＜t≤15时，此时∠EPN＝10t﹣120°，∠NEH＝∠AEM＝10t，∠PEN＝30°，∠PHE＝270°﹣20t，∠PHE＝270°﹣20t＝60°时，t＝（不合题意），∠PHE＝270°﹣20t＝120°，t＝（不合题意）故答案为：或．【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质及三角形外角性质是解决此题关键．20．（2022下·河南三门峡·七年级校考阶段练习）（1）“一条彩虹路，尽览红叶美，”渑池县以打造最美旅游公路为重点，弘扬地域文化、彰显仰韶特色．数学课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：如图1，已知，，，求的度数．小明同学的思路：过点P作，点G在点P的左侧，进而推出，由平行线的性质来求，得______．（2）图2、图3均是由一块直角三角尺和一把直尺拼成的图形，，，与相交于点E，有一动点P在边上运动，连接，，记，．①如图2，当点P在C，D两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；②如图3，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由．

【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）过点P作，点G在点P的左侧，根据平行线的性质及平行公理即可；（2）①过点P作，根据平行线的性质及平行公理即可；②过点P作，根据平行线的性质及平行公理即可．【详解】解：（1）过点P作，点G在点P的左侧．

图①∵，∴．∴，．又∵，，∴．故答案为：；（2）①与，之间的数量关系为．理由如下：如图①，过点P作．∵，∴．∴，．∴．∴与，之间的数量关系为．②与，之间的数量关系为．理由：如图②，过点P作．

图②∵，∴∴，．∴．【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理，熟练掌握平行线的性质及平行公理，作出合适的辅助线是本题的关键．21．（2023下·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）如图所示，的是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在两点上，是橡皮筋上一点，将橡皮筋拉紧后，随意拉动点．(1)当在平行木条中间时，请你探索之间有怎样的数量关系，并说明理由．

(2)若将点拉至木条的上方，且E，A，C三点不共线．上述结论是否仍成立？若不成立，请探索新的数量关系，并说明理由．

(3)继续将点拉至木条下方，且E，A，C三点不共线，你又能得出怎样的结论？（直接写出结论）

【答案】(1)和，理由见解析(2)不成立，理由见解析(3)；【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得出结论；（2）根据三角形外角的性质可得出结论；（3）根据两直线平行，内错角相等可得出结论【详解】（1）①理由：过E作的平行线，

∵，，∴，∴；∵∴②

理由：过E作的平行线，则，

∴，（2）不成立，①如图所示，．理由如下：如图，∵，∴∵是的外角，∴，∴．②如图所示，．

理由如下：如图，∵，∴，∵是的外角，∴，∴．（3）①如图所示，．理由如下：如图，过E作，则，∴，∵，∴．②如图所示，．理由如下：如图，过E作，则，∴，∵，∴【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．正确作辅助线是解题的关键．22．（2023下·湖南张家界·七年级统考期末）已知直线，直线EF分别与直线a，b相交于点E，F，点A，B分别在直线a，b上，且在直线EF的左侧，点P是直线EF上一动点（不与点E，F重合），设∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．(1)如图，当点在线段上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．【答案】(1)证明见详解(2)①；证明见详解；②；证明见详解【分析】（1）如图4过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；（2）①如图5过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出；②如图6过点作，利用平行线的传递性可知，根据平行线的性质可知，，根据等量代换就可以得出．【详解】（1）解：如图4所示：过点作，∵∴∴，，∵，∴；（2）解：①如图5过点作，∵∴∴，，∵，∴；②如图6过点作，∵∴∴，，∵，∴．【点睛】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．23