2025届四川省大数据精准教学联盟高三上学期一模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省大数据精准教学联盟2025届高三上学期一模考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知为虚数单位，则值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为故选：B.2.已知集合，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时，，此时，即可以推出，若，所以，得到，所以推不出，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A.3.若双曲线：的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线方程为，由题知，所以离心率，故选：B.4.如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为点为中点，所以，又，，所以，故选：C.5.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间50,60，60,70，…，90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（）A.图中的值为B.这天中有天的日销售量不低于kgC.这天销售量的中位数的估计值为kgD.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在天中，大约有天可以满足顾客的需求），则每天的苹果进货量应为kg【答案】D【解析】对于选项A，由图知，解得，所以选项A正确，对于选项B，由图知日销售量不低于kg的频率为，由，所以选项B正确，对于选项C，设中位数为，由，解得，所选项C正确，对于选项D，设第分位数，则有，得到，所以选项D错误，故选：D.6.函数，的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为定义域关于原点对称，又，即为奇函数，所以选项A和B错误，又当时，，当时，，此时，又易知当时，，所以时，，结合图象可知选项C错误，选项D正确，故选：D.7.已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为，若正四棱锥的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上，不妨设球半径，该球的体积为，即，又正四棱锥的高与底面正方形的边长相等，则，即.故选：C8.已知，且满足，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，则，所以fx又，所以，，由，即为的零点，而，即为的零点，作出大致图象如上，易知，因为，综上.故选：A.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的最小正周期为，则（）A.的最大值为2B.上单调递增C.的图象关于点中心对称D.的图象可由的图象向右平移个单位得到【答案】ACD【解析】易知，其最小正周期为，所以，即，显然，故A正确；令，显然区间不是区间的子区间，故B错误；令，则是的一个对称中心，故C正确；将的图象向右平移个单位得到，故D正确.故选：ACD10.已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（）A.B.C.当不共线时，的周长为D.设点到直线的距离为，则【答案】BCD【解析】对于A，由题意知：，，，，A错误；对于B，为椭圆的焦点弦，，B正确；对于C，，的周长为，C正确；对于D，作垂直于直线，垂足为，设Px0,，，，，D正确.故选：BCD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的极小值一定小于B.函数有6个互不相同的零点C.若对于任意的x∈R，，则的值为D.过点有且仅有1条直线与曲线y=fx相切【答案】ACD【解析】对于A，易知，令，易知上单调递减，上单调递增，而时恒成立，且，，所以使得，则在上单调递减，在上单调递增，即时，取得极小值，极小值为，故A正确；对于B，由上知在上单调递减，在上单调递增，且，，则，使得，又知则，显然存在两个不同的根，且也存在两个不同的根，即函数有4个互不相同的零点，故B错误；对于C，若对于任意的，，即，令，若，则，根据上证的性质知，使得，即上单调递减，此时，不符合题意，若，则有在上单调递减，上单调递增，即，符合题意，若，此时，则区间上一定存在子区间使得单调递增，而，则含有小于零的值，不符合题意，故C正确；对于D，设过与曲线相切的切线切点为，则，整理得，令，可得上单调递减，上单调递增，即时取得极大值，，则使得，且的根唯一，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则________.【答案】【解析】由题意可知，所以，故答案为：13.已知数列an满足，，，设an的前项和为，则________.【答案】【解析】由，所以，所以数列为等差数列，并设其公差为，首项为，又因为，即，解得，因为，所以，，所以.14.条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为，其中为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为，某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖机会.设表示第一次抽中奖品时的抽取次数，表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则________.【答案】2【解析】由题意可知可取，所以，，，又因为，所以.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角；（2）若的平分线交边于点，且，，求的面积.解：（1）因为，所以，则，所以，因为，所以；（2）根据题意及余弦定理有，所以，则，根据正弦定理有，所以.16.如图，在三棱锥中，平面，.（1）求证；平面平面；（2）若，，三棱锥的体积为100，求二面角的余弦值.（1）证明：由题意得平面，因为平面，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：因为，，，所以，又因为三棱锥的体积为，即，得，由题意可得以为原点，分别以平行于，及，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，则，设二面角为，则.所以锐二面角的余弦值为.17.已知函数.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）若，证明：.解：（1）由，则，因为在上单调递减，所以在上恒成立，所以，即，构造函数，所以，当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当x=1时取得极大值也是最大值，即，所以，所以的取值范围为.（2）由题意得的定义域为，当时，要证，即证：，等价于证明构造函数，即证；所以，令，因为函数的对称轴为，所以在上单调递增，且，，所以存在，使，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有极小值也是最小值，又因为，得，所以，令，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，即，所以即证，所以可证.18.甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投个球，每投进一个球记分，未投进记分.（1）求甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率；（2）记甲、乙每轮投篮得分之和为.①求的分布列和数学期望；②若，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为，当为何值时，的值最大？解：（1）甲在一轮投篮结束后得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次，所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为.（2）①由题知可能取值为，，，，，，所以的分布列为数学期望.②由①知，由题知，所以，由，得到且，整理得到，即，得到，所以，由题有，所以，得到，又，所以或或.19.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.解：（1）设直线，Ax1联立，得，得由韦达定理可知：由题可知：因为面积的最小值为，且，所以.（2）设，，由题可知，，两式求差可得，所以，所以直线方程，整理得，同理：方程为：，令可得，可知，方程为：，因为过焦点12,0，所以有，方程为：，令可得，由，可知，因为，，得，取对数可得，由题可知，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；所以有，解得.（3）不存在，理由如下假设存在，则一定有因为，得化简得因为显然所以在无解；故不存在连续的三项为等差数列.四川省大数据精准教学联盟2025届高三上学期一模考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知为虚数单位，则值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为故选：B.2.已知集合，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】当时，，此时，即可以推出，若，所以，得到，所以推不出，即“”是“”的充分不必要条件，故选：A.3.若双曲线：的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为双曲线的渐近线方程为，由题知，所以离心率，故选：B.4.如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为点为中点，所以，又，，所以，故选：C.5.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间50,60，60,70，…，90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（）A.图中的值为B.这天中有天的日销售量不低于kgC.这天销售量的中位数的估计值为kgD.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在天中，大约有天可以满足顾客的需求），则每天的苹果进货量应为kg【答案】D【解析】对于选项A，由图知，解得，所以选项A正确，对于选项B，由图知日销售量不低于kg的频率为，由，所以选项B正确，对于选项C，设中位数为，由，解得，所选项C正确，对于选项D，设第分位数，则有，得到，所以选项D错误，故选：D.6.函数，的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为定义域关于原点对称，又，即为奇函数，所以选项A和B错误，又当时，，当时，，此时，又易知当时，，所以时，，结合图象可知选项C错误，选项D正确，故选：D.7.已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为，若正四棱锥的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上，不妨设球半径，该球的体积为，即，又正四棱锥的高与底面正方形的边长相等，则，即.故选：C8.已知，且满足，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】令，则，所以fx又，所以，，由，即为的零点，而，即为的零点，作出大致图象如上，易知，因为，综上.故选：A.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的最小正周期为，则（）A.的最大值为2B.上单调递增C.的图象关于点中心对称D.的图象可由的图象向右平移个单位得到【答案】ACD【解析】易知，其最小正周期为，所以，即，显然，故A正确；令，显然区间不是区间的子区间，故B错误；令，则是的一个对称中心，故C正确；将的图象向右平移个单位得到，故D正确.故选：ACD10.已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（）A.B.C.当不共线时，的周长为D.设点到直线的距离为，则【答案】BCD【解析】对于A，由题意知：，，，，A错误；对于B，为椭圆的焦点弦，，B正确；对于C，，的周长为，C正确；对于D，作垂直于直线，垂足为，设Px0,，，，，D正确.故选：BCD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的极小值一定小于B.函数有6个互不相同的零点C.若对于任意的x∈R，，则的值为D.过点有且仅有1条直线与曲线y=fx相切【答案】ACD【解析】对于A，易知，令，易知上单调递减，上单调递增，而时恒成立，且，，所以使得，则在上单调递减，在上单调递增，即时，取得极小值，极小值为，故A正确；对于B，由上知在上单调递减，在上单调递增，且，，则，使得，又知则，显然存在两个不同的根，且也存在两个不同的根，即函数有4个互不相同的零点，故B错误；对于C，若对于任意的，，即，令，若，则，根据上证的性质知，使得，即上单调递减，此时，不符合题意，若，则有在上单调递减，上单调递增，即，符合题意，若，此时，则区间上一定存在子区间使得单调递增，而，则含有小于零的值，不符合题意，故C正确；对于D，设过与曲线相切的切线切点为，则，整理得，令，可得上单调递减，上单调递增，即时取得极大值，，则使得，且的根唯一，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则________.【答案】【解析】由题意可知，所以，故答案为：13.已知数列an满足，，，设an的前项和为，则________.【答案】【解析】由，所以，所以数列为等差数列，并设其公差为，首项为，又因为，即，解得，因为，所以，，所以.14.条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为，其中为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为，某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖机会.设表示第一次抽中奖品时的抽取次数，表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则________.【答案】2【解析】由题意可知可取，所以，，，又因为，所以.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求角；（2）若的平分线交边于点，且，，求的面积.解：（1）因为，所以，则，所以，因为，所以；（2）根据题意及余弦定理有，所以，则，根据正弦定理有，所以.16.如图，在三棱锥中，平面，.（1）求证；平面平面；（2）若，，三棱锥的体积为100，求二面角的余弦值.（1）证明：由题意得平面，因为平面，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：因为，，，所以，又因为三棱锥的体积为，即，得，由题意可得以为原点，分别以平行于，及，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，所以，，，设平面的一个法向量为，则，令，得，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，则，设二面角为，则.所以锐二面角的余弦值为.17.已知函数.（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）若，证明：.解：（1）由，则，因为在上单调递减，所以在上恒成立，所以，即，构造函数，所以，当时，；当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当x=1时取得极大值也是最大值，即，所以，所以的取值范围为.（2）由题意得的定义域为，当时，要证，即证：，等价于证明构造函数，即证；所以，令，因为函数的对称轴为，所以在上单调递增，且，，所以存在，使，所以当时，，即，当时，，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，有极小值也是最小值，又因为，得