2025届山东省烟台市高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省烟台市2025届高三上学期11月期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，所以，所以，或，所以.故选：B.2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，；反之，当时，.则“”是“”的充要条件.故选：C.3.已知，，，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，可得.展开得到.，则；，则.将和代入中，得到，移项可得，解得.根据投影向量公式，得到.故选：B4.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由x<2，得，且，所以，因此，故函数的定义域为.故选：D.5.已知，则（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由得，，∴.故选：A.6.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】时，，显然，令得，当得，故在上单调递减，在上单调递增，又是定义在R上的奇函数，故在上单调递减，在上单调递增，又，故在R上为连续函数，故在区间上单调递减，又在区间上单调递减，所以，解得.故选：C7.已知定义在R上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为定义在R上的函数满足，所以关于对称，当时，，所以f'x<0所以在上单调递减，因为关于对称，所以在1,+∞上单调递增，由，则，可得：，即或，所以不等式的解集为.故选：D.8.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，若，，，，则海岛的高为（）A.16 B.24 C.32 D.40【答案】C【解析】由平面相似可知，，而，所以，而，即．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】A.由，得，因，所以，即，选项A正确.B.由，，，即，选项B错误.C.由，得，因为，所以，选项C正确.D.令，则不成立，选项D错误.故选：AC.10.已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，则（）A.函数的图象关于点对称B.是函数图象的一条对称轴C.若，则D.将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象【答案】ABD【解析】，又相邻两条对称轴之间的距离为，所以，所以，所以，，所以函数的图象关于点对称，故正确；，所以是函数图象的一条对称轴，故正确；若，所以，，由，可得，所以，所以或，故错误；将图象上所有的点向右平移个单位长度，得，故正确；故选：.11.设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（）A.任何一个三次函数均有“拐点”B.函数为区间上的“上凸函数”C.若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减D.若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则【答案】ABD【解析】对于A选项：对于三次函数，，再求导得到.令，则，解得，所以任何一个三次函数均有“拐点”，A选项正确.对于B选项：，，.当时，，，得出函数在区间上单调递减，所以函数是区间上的“上凸函数”，B选项正确.对于C选项：，，.令，得，因为“拐点”在轴右侧，所以，即.令可得，所以，的递减区间是，C选项错误.对于D选项：，，.令，即在有解.即则有正解.则Δ=a2并且因为函数为定义域上的“上凸函数”，所以在定义域上单调递减.恒成立.恒成立，,即，即，解得，由于保证拐点，则.D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的值为___________.【答案】【解析】对于，因为，所以，根据对数运算法则.因为，所以.根据对数运算法则.13.已知平行四边形ABCD中，，，，P是BC边上的动点，则的取值范围为______.【答案】【解析】以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图，则，，，，因为点P在边AB上，所以设点P的坐标为，，则当时，，即的取值范围为.14.函数，，.若时，函数为偶函数，试写出满足条件的b的一个值为_____；若当时，对，，，则a的取值范围为___________.【答案】1（答案不唯一）【解析】若时，为偶函数，则，即，所以或0，对，，，所以，因为时，在上单调递增，所以，所以，又，当时，在上单调递增，所以，即，解得，当时，在上单调递减，所以，所以，解得，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，无解，所以a的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，，求实数的取值范围.解：（1），令，，解得，，故的单调递增区间为，；（2），故，则，因为当时，，所以，实数的取值范围为.16.已知函数.（1）当时，求过点且与函数图象相切的直线方程；（2）当时，讨论函数的单调性.解：（1）当时，，求导可得，设函数在点的切线过点，所以，又，所以，又因为切线过点，所以，所以，解得，所以切线方程为，即.（2）由，可得，当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增，由，可得，所以函数在上单调递减，当时，由，可得，所以函数在上单调递增，当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增，由，可得，所以函数在上单调递减，综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.17.如图，某地一公园ABCD为等腰梯形，其中，，，（单位：百米），公园出入口分别为C，D和AB中点Q，公园管理部门准备在公园内部（不含边界）距离C，D两点相等的一点P处修建连接三个出口的道路PQ，PC，PD.设，，道路总长度为y.（单位：百米）（1）分别求y关于x和y关于θ的函数关系式；（2）请选用（1）中的一个关系式，求：当点P在何位置时三条道路的总长度最小.解：（1）如图，过A作于E,过B作于F,延长交于G.由于距离C，D两点相等的一点P，则.根据题意，，，由等腰梯形性质，知道,,在中,求得,且，则.在中,求得.故y关于x的关系式为：，即.在中，，且，则.并且,则.则y关于θ的关系式为：，即.（2）用,求导得到.令，则，，则.当,,单调递减；当,,单调递增；故当，y取得最小值.且综上所得，当时,三条道路的总长度最小.18.在中，角所对的边分别为，满足，是边上的点，.（1）求；（2）若，求面积的最大值.解：（1）由，可得，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以；（2）因为，所以，两边平方可得，又因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以所以面积的最大值为.19.已知函数，，.（1）证明：当时，曲线与有且只有两条公切线；（2）若函数与的图象有两个交点，求的取值范围.解：（1）当时，，，求导得，，设直线与相切于点，则切线斜率，直线与相切于点，则切线斜率，则，整理得，由题意可得：，消去可得：，令，则，则，可得，令，要证曲线与有且只有两条公切线，即证在上有且只有两个零点，求导可得，可得在定义域内单调递增，且，，故在上有唯一零点，且，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，可知的最小值为，又因为，则，注意到趋近0时，趋近，趋近时，趋近，所以在和上分别存在一个零点，故在上有且只有两个零点，故原命题得证.（2）由函数与的图象有两个交点，则有两个不等的实根，因为，所以，所以，所以，即有两个大于2且不等的实根，由，可得，所以，令，求导可得，所以在上单调递增，所以有两个实根，令，所以所两个大于1的实根，两边取对数可得，令，求导可得，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以时，，又当时，，当时，，所以与在上有两个交点，则，解得，所以函数与的图象有两个交点，的取值范围为.山东省烟台市2025届高三上学期11月期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得，所以，所以，或，所以.故选：B.2.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，；反之，当时，.则“”是“”的充要条件.故选：C.3.已知，，，则向量在上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，可得.展开得到.，则；，则.将和代入中，得到，移项可得，解得.根据投影向量公式，得到.故选：B4.若函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由x<2，得，且，所以，因此，故函数的定义域为.故选：D.5.已知，则（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由得，，∴.故选：A.6.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】时，，显然，令得，当得，故在上单调递减，在上单调递增，又是定义在R上的奇函数，故在上单调递减，在上单调递增，又，故在R上为连续函数，故在区间上单调递减，又在区间上单调递减，所以，解得.故选：C7.已知定义在R上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为定义在R上的函数满足，所以关于对称，当时，，所以f'x<0所以在上单调递减，因为关于对称，所以在1,+∞上单调递增，由，则，可得：，即或，所以不等式的解集为.故选：D.8.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，若，，，，则海岛的高为（）A.16 B.24 C.32 D.40【答案】C【解析】由平面相似可知，，而，所以，而，即．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】A.由，得，因，所以，即，选项A正确.B.由，，，即，选项B错误.C.由，得，因为，所以，选项C正确.D.令，则不成立，选项D错误.故选：AC.10.已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，则（）A.函数的图象关于点对称B.是函数图象的一条对称轴C.若，则D.将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象【答案】ABD【解析】，又相邻两条对称轴之间的距离为，所以，所以，所以，，所以函数的图象关于点对称，故正确；，所以是函数图象的一条对称轴，故正确；若，所以，，由，可得，所以，所以或，故错误；将图象上所有的点向右平移个单位长度，得，故正确；故选：.11.设在区间上的可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（）A.任何一个三次函数均有“拐点”B.函数为区间上的“上凸函数”C.若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减D.若函数存在拐点，且为定义域上的“上凸函数”，则【答案】ABD【解析】对于A选项：对于三次函数，，再求导得到.令，则，解得，所以任何一个三次函数均有“拐点”，A选项正确.对于B选项：，，.当时，，，得出函数在区间上单调递减，所以函数是区间上的“上凸函数”，B选项正确.对于C选项：，，.令，得，因为“拐点”在轴右侧，所以，即.令可得，所以，的递减区间是，C选项错误.对于D选项：，，.令，即在有解.即则有正解.则Δ=a2并且因为函数为定义域上的“上凸函数”，所以在定义域上单调递减.恒成立.恒成立，,即，即，解得，由于保证拐点，则.D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则的值为___________.【答案】【解析】对于，因为，所以，根据对数运算法则.因为，所以.根据对数运算法则.13.已知平行四边形ABCD中，，，，P是BC边上的动点，则的取值范围为______.【答案】【解析】以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，如图，则，，，，因为点P在边AB上，所以设点P的坐标为，，则当时，，即的取值范围为.14.函数，，.若时，函数为偶函数，试写出满足条件的b的一个值为_____；若当时，对，，，则a的取值范围为___________.【答案】1（答案不唯一）【解析】若时，为偶函数，则，即，所以或0，对，，，所以，因为时，在上单调递增，所以，所以，又，当时，在上单调递增，所以，即，解得，当时，在上单调递减，所以，所以，解得，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以，无解，所以a的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）当时，，求实数的取值范围.解：（1），令，，解得，，故的单调递增区间为，；（2），故，则，因为当时，，所以，实数的取值范围为.16.已知函数.（1）当时，求过点且与函数图象相切的直线方程；（2）当时，讨论函数的单调性.解：（1）当时，，求导可得，设函数在点的切线过点，所以，又，所以，又因为切线过点，所以，所以，解得，所以切线方程为，即.（2）由，可得，当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增，由，可得，所以函数在上单调递减，当时，由，可得，所以函数在上单调递增，当时，由，可得或，所以函数在和上单调递增，由，可得，所以函数在上单调递减，综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.17.如图，某地一公园ABCD为等腰梯形，其中，，，（单位：百米），公园出入口分别为C，D和AB中点Q，公园管理部门准备在公园内部（不含边界）距离C，D两点相等的一点P处修建连接三个出口的道路PQ，PC，PD.设，，道路总长度为y.（单位：百米）（1）分别求y关于x和y关于θ的函数关系式；（2）请选用（1）中的一个关系式，求：当点P在何位置时三条道路的总长度最小.解：（1）如图，过A作于E,过B作于F,延长交于G.由于距离C，D两点相等的一点P，则.根据题意，，，由等腰梯形性质，知道,,在中,求得,且，则.在