2025届辽宁省三省一区高三上学期第一次质量检测数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1辽宁省三省一区2025届高三上学期第一次质量检测数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A B.C. D.【答案】D【解析】因为，而，】故.故选：D.2.设复数，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得.故选：A.3.命题“或”的否定形式是（）A.且 B.或C.且 D.或【答案】A【解析】命题“或的否定形式是且.故选：A4.公差不为的等差数列满足，则的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，，则，所以，所以，当且仅当且时，即时等号成立，所以的最小值为.故选：C.5.已知，则（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】由，可得，所以，所以，即，所以或.故选：C.6.已知函数的图象上存在关于原点对称的两个点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数定义域可知，，当时，设，要题目条件成立，只需的图象与的图象有公共点，即方程在时有解，所以，即在时有解，作出函数的图象如图，由图象可知，，得，综上所述，，故选：D.7.已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题可知，，若，则，若时，则.因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，显然时成立，当时，则，且这两个不等号不能同时取到，故解得且，综上所述：.故选：B.8.若曲线的一条切线为，则的最大值为（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】设切点，因为，所以，切线方程为，整理得，所以，设得，又因为时，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故选：B.二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列四个条件中，能成为的充分条件的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，若，则，是的充分条件，A正确；对于B，若，则，是的必要不充分条件，B错误；对于C，当时，则，是充要条件，C正确；对于D，，则，即是的充分条件，D正确.故选：ACD.10.已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】因为等比数列各项均为正数，所以公比，又，所以数列递增或递减或为常数列，化简不等式，得，所以，所以一个大于，一个小于，所以有且，所以数列为递减数列，即，故A正确，B正确；又因为，所以，，所以C正确，D不正确.故选：ABC11.下列关于平面向量的命题，正确的是（）A.已知点在直线AB上，若点为直线AB所在平面内任意一点，满足，则B.向量在向量上投影向量为C.向量满足，则D.若，则向量与向量共线【答案】BD【解析】对A：当点在直线AB上时，和取值不确定，故A错；对B：向量在向量上的投影向量的数量为，故向量在向量上的投影向量为，B正确；对C：向量共线时，和不唯一，故C错；对D：若，则，所以有与共线，即或者，得到或者，所以共线，D正确.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.满足不等式的的集合为______；【答案】【解析】，得，即，故答案为：.13.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值集合为______；【答案】【解析】因为不等式在上恒成立，令可得，解得，若，则上恒成立，原不等式等价于在x∈0,+∞因为二次函数的图像开口向上，对称性，当，即时，则在上恒成立，符合题意；当，即时，则，可知，符合题意；综上所述：的取值集合为.故答案为：.14.已知函数有且只有一个零点，则______，若在内恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】1【解析】由题，因，则.则在是增函数，是减函数，所以.因为，当时，，且只有一个零点，符合题意；若，则，构造函数，则在上递增，又，则结合，则，使得，与已知矛盾；若，则，构造函数，则.构造函数，则.,则在是增函数，是减函数，则，得在上递减，则.又，所以，使得，与已知矛盾；综上可知，．，当时，成立，当时，由第一空分析可知，，设，则.设，则..得在是增函数，在是减函数，故，所以，即实数的取值范围是.故答案为：；.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数.（1）当时，若是函数的一个正极大值点，且的最小值为，求实数的值；（2）若函数在区间上是单调函数，且，求实数的取值集合.解：（1）当时，函数取到极大值，有，解得，当时，取到最小正值，即，解得.（2）函数在区间上是单调函数，所以函数的最小正周期，则，可得，由，且在区间上是单调函数，所以，又，所以和相差最小正周期的整数倍或者为极值点，根据周期范围可得符合题意的有三种情况：（i），则；（ii），则；（iii），则.所以，的取值集合为.16.已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，，于是有，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，因此，.假设存在正整数m，n，使得成等差数列，则，即，整理得，显然是50的正约数，又，则或25，50.当时，即时，与矛盾，当时，即时，，符合题意，当时，即时，无解所以存在正整数使得成等差数列，此时.17.已知中，点在边BC上，且.（1）当面积最大时，求值；（2）当周长最大时，求的面积．解：（1）当面积最大时，显然，此时，所以；（2）设，因为，由余弦定理得：，化简得：，设，得，化简得，所以，解得，所以周长最大值为，此时，由余弦定理解得，所以，所以的面积为.18.已知函数，函数的图象与的图象关于中心对称.（1）求函数的解析式；（2）证明：；（3）若在时恒成立，求实数的取值范围.（1）解：（2）证明：的定义域为，设，，，得，得，所以在单调递增，在单调递减，，所以；设，，得，得，所以在单调递减，在单调递增，，所以；综上所述，成立.（3）解：，设令，得当时，，所以在单调递减，当时，，所以在单调递减，所以，所以当时，在时恒成立，下面证明当时，在时不恒成立，，设，当时，在单调递减，值域是，当时，，使得，此时，，即在时不恒成立；综上所述，实数的取值范围是.19.已知数列中，对，都有，设，．其中表示集合中元素的最小值，表示集合中元素的最大值．（1）数列为，满足：，写出的通项公式；（2）设为负整数，证明：的充要条件是数列是公差为的等差数列；（3）设函数，已知，求函数的值域.（1）解：由题意得：，当时，，所以；（2）证明：充分性：若是公差为的等差数列，因为，所以是递减数列，所以，必要性：若，假设是第一个使得的项，则，与矛盾，所以是递减数列，所以，所以数列是公差为的等差数列；（3）解：因为，所以，且存在，使得，下面证明，假设中存在小于1的项，则设是第一个小于1的项，因为，所以，因为，所以时，，所以，则，与矛盾，所以，又因为，所以或，所以的值域是.辽宁省三省一区2025届高三上学期第一次质量检测数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，则（）A B.C. D.【答案】D【解析】因为，而，】故.故选：D.2.设复数，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得.故选：A.3.命题“或”的否定形式是（）A.且 B.或C.且 D.或【答案】A【解析】命题“或的否定形式是且.故选：A4.公差不为的等差数列满足，则的最小值为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，，则，所以，所以，当且仅当且时，即时等号成立，所以的最小值为.故选：C.5.已知，则（）A. B.C.或 D.【答案】C【解析】由，可得，所以，所以，即，所以或.故选：C.6.已知函数的图象上存在关于原点对称的两个点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由函数定义域可知，，当时，设，要题目条件成立，只需的图象与的图象有公共点，即方程在时有解，所以，即在时有解，作出函数的图象如图，由图象可知，，得，综上所述，，故选：D.7.已知集合，集合，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题可知，，若，则，若时，则.因为是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，显然时成立，当时，则，且这两个不等号不能同时取到，故解得且，综上所述：.故选：B.8.若曲线的一条切线为，则的最大值为（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】设切点，因为，所以，切线方程为，整理得，所以，设得，又因为时，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以.故选：B.二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列四个条件中，能成为的充分条件的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】对于A，若，则，是的充分条件，A正确；对于B，若，则，是的必要不充分条件，B错误；对于C，当时，则，是充要条件，C正确；对于D，，则，即是的充分条件，D正确.故选：ACD.10.已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，记的前项积为，则下列选项中正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】因为等比数列各项均为正数，所以公比，又，所以数列递增或递减或为常数列，化简不等式，得，所以，所以一个大于，一个小于，所以有且，所以数列为递减数列，即，故A正确，B正确；又因为，所以，，所以C正确，D不正确.故选：ABC11.下列关于平面向量的命题，正确的是（）A.已知点在直线AB上，若点为直线AB所在平面内任意一点，满足，则B.向量在向量上投影向量为C.向量满足，则D.若，则向量与向量共线【答案】BD【解析】对A：当点在直线AB上时，和取值不确定，故A错；对B：向量在向量上的投影向量的数量为，故向量在向量上的投影向量为，B正确；对C：向量共线时，和不唯一，故C错；对D：若，则，所以有与共线，即或者，得到或者，所以共线，D正确.故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.满足不等式的的集合为______；【答案】【解析】，得，即，故答案为：.13.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值集合为______；【答案】【解析】因为不等式在上恒成立，令可得，解得，若，则上恒成立，原不等式等价于在x∈0,+∞因为二次函数的图像开口向上，对称性，当，即时，则在上恒成立，符合题意；当，即时，则，可知，符合题意；综上所述：的取值集合为.故答案为：.14.已知函数有且只有一个零点，则______，若在内恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】1【解析】由题，因，则.则在是增函数，是减函数，所以.因为，当时，，且只有一个零点，符合题意；若，则，构造函数，则在上递增，又，则结合，则，使得，与已知矛盾；若，则，构造函数，则.构造函数，则.,则在是增函数，是减函数，则，得在上递减，则.又，所以，使得，与已知矛盾；综上可知，．，当时，成立，当时，由第一空分析可知，，设，则.设，则..得在是增函数，在是减函数，故，所以，即实数的取值范围是.故答案为：；.四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数.（1）当时，若是函数的一个正极大值点，且的最小值为，求实数的值；（2）若函数在区间上是单调函数，且，求实数的取值集合.解：（1）当时，函数取到极大值，有，解得，当时，取到最小正值，即，解得.（2）函数在区间上是单调函数，所以函数的最小正周期，则，可得，由，且在区间上是单调函数，所以，又，所以和相差最小正周期的整数倍或者为极值点，根据周期范围可得符合题意的有三种情况：（i），则；（ii），则；（iii），则.所以，的取值集合为.16.已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.解：（1）设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，，于是有，所以数列的通项公式是.（2）由（1）知，，因此，.假设存在正整数m，n，使得成等差数列，则，即，整理得，显然是50的正约数，又，则或25，50.当时，即时，与矛盾，当时，即时，，符合题意，当时，即时，无解所以存在正整数使得成等差数列，此时.17.已知中，点在边BC上，且.（1）当面积最大时，求值；（2）当周长最大时，求的面积．解：（1）当面积最大时，显然，此