结构力学课件：矩阵位移法

矩阵位移法教学目标：了解梁单元、桁架单元、平面刚架单元在局部坐标系和整体坐标系中的刚度矩阵及其转换公式。

掌握利用单元定位向量集成整体刚度矩阵和形成等效结点荷载向量的方法。理解矩阵位移法的基本概念。矩阵位移法教学内容：9.1单元分析——单元刚度矩阵9.2整体分析——结构整体刚度矩阵9.3整体分析——矩阵位移法的基本方程及等效结点荷载向量9.4矩阵位移法基本解题步骤9.5矩阵位移法计算连续梁9.6矩阵位移法计算刚架9.7矩阵位移法计算桁架和组合结构本章小结矩阵位移法引

言1.传统位移法分析未知结点位移回代杆端力表达式求杆端力，绘内力图将结构离散化分析每个杆件的杆端力建立平衡方程求解结点位移BACMBMABBC

9-1概述理论基础：传统的结构力学数学形式：矩阵计算手段：电子计算机2.矩阵位移法与传统位移法的比较：理论同源，作法有别。前者以手算为主，后者以电算为主。化整为零——单元分析单元刚度矩阵单元刚度方程聚零为整——整体分析整体刚度矩阵整体刚度方程

9-1概述9.1单元分析——单元刚度矩阵教学目标：了解和掌握梁单元、桁架单元、平面刚架单元在局部坐标系的刚度矩阵。教学内容：一般单元的局部坐标系下单元刚度矩阵单元刚度方程单元刚度矩阵的性质特殊单元

9.1单元分析9.1.1局部坐标系下单元刚度矩阵9.1单元分析基本单元：结构中具有代表性的杆件。

除发生弯曲变形外，也会产生轴向和剪切变形。单元选取：以杆件的联结点、边界点为结点。

结点之间的杆件部分作为单元。

单元一般为直杆（也可以为曲杆）

本章中只取直杆单元作为基本单元，进行矩阵位移法分析。①②③④ABDEC多跨梁ABDE①②③④C刚架⑤⑥FG直杆单元e一般单元

1.一般单元符号规则12eEAIl1212局部坐标系单元编号结点编号杆端位移编号杆端力编号■弯矩、转角：绕杆端顺时针为正；■其它：与坐标轴同向为正。凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部坐标系而言的。

2.杆件单元局部码——局部坐标系12

杆端位移向量

杆端力向量12

3.单元杆端位移向量和单元杆端力向量由单元杆端位移求单元杆端力时所建立的方程。首先在杆端两端加上人为控制的附加约束，

使体系发生任意指定的位移。然后根据位移推算相应的杆端力。12

4.单元刚度方程轴向变形4.单元刚度方程弯曲变形

4.单元刚度方程忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，得

4.单元刚度方程局部坐标系下的一般单元刚度方程

4.单元刚度方程（1）单元刚度系数的意义即第3个杆端位移为1，其它杆端位移为0时,产生的第6个杆端力的值。000001单元刚度矩阵的性质一般地，刚度系数即第

j个杆端位移分量取单位值1，其它杆端位移为0时所引起的第i个杆端力分量的值。（2）单元刚度矩阵是对称矩阵依据：反力互等定理单元刚度系数的意义单位杆端位移引起的杆端力单元刚度矩阵的性质局部坐标系下的一般单元刚度矩阵对称单元刚度矩阵的性质（3）一般单元刚度矩阵是奇异矩阵矩阵行列式等于零，逆阵不存在。由杆端位移可求解杆端力，且是唯一解由杆端力求杆端位移，可能无解；如有解也是非唯一解。单元刚度矩阵的性质当只给定6个杆端力分量时，一是无法保证力状态的合法性，二是无法确定杆的支承条件。前者可能造成无解，后者可能造成非唯一解（存在刚体运动）。12单元刚度矩阵的性质(1)连续梁单元5.特殊单元的单元刚度矩阵及单元刚度方程单元特点：单元的杆端没有线位移，只有角位移单元刚度方程为：非奇异，可逆单元刚度矩阵为：0000由于不计算，所以划去1、2、4、5行由于为0，所以划去1、2、4、5列(1)连续梁单元由一般单元推导至特殊单元5.特殊单元的单元刚度矩阵及单元刚度方程(2)桁架单元单元特点：只有轴向变形，没有弯曲和剪切变桁架中链杆单元的单元刚度矩阵是怎样的？奇异性？5.特殊单元的单元刚度矩阵及单元刚度方程(3)其它特殊单元单元特点：只有轴向变形，没有弯曲和剪切变5.特殊单元的单元刚度矩阵及单元刚度方程00009.1.2整体坐标系下单元刚度矩阵整体分析的主要目的是将单元集合成整体（结构）。由单元刚度矩阵按刚度集成规则形成整体刚度矩阵。教学目标：掌握一般单元的坐标转换矩阵掌握一般单元在整体坐标系下单元刚度矩阵。教学内容：单元坐标转换矩阵整体坐标系下单元刚度矩阵xy需要有一个统一的坐标系统

1.单元坐标转换矩阵xy(e)xyFx2Fy2M2M1Fy1Fx1由x轴到

x轴的夹角α以顺时针转向为正。xy(e)xyFx1Fy1M1Fx2Fy2M2Fx1Fy1xy

1.单元坐标转换矩阵xy(e)xyFx1Fy1M1Fx2Fy2M2Fx1Fy1xy

1.单元坐标转换矩阵

1.单元坐标转换矩阵正交矩阵

1.单元坐标转换矩阵局部坐标系的刚度矩阵整体坐标系的刚度矩阵

2.整体坐标系的单元刚度矩阵

已有关系：单元刚度矩阵(局部坐标系)

2.整体坐标系的单元刚度矩阵元素kij的物理意义对称性奇异性整体坐标系的单元刚度矩阵整体坐标系的单元刚度方程整体坐标系的单元刚度方程的性质

2.整体坐标系的单元刚度矩阵例9-1：图示刚架结构，已建立单元的局部坐标系和结构的整体坐标系；

横梁AB横截面b×h=240mm×400mm；

斜杆AC横截面b×h=200mm×300mm

吧；E=3.0×104N/mm2。

求各单元在整体坐标系下的单元刚度矩阵。

建立整体坐标系杆单元编号建立单元局部坐标系解：示例

3.示例（1）单元基本参数（统一单位：kN、m）（2）局部坐标系下的单元刚度矩阵（3）整体坐标系下的单元刚度矩阵单元①：单元②：试写出图示刚架的单元刚度矩阵（整体坐标系）。设各杆的E、A、I为相同且为常数，其值同前例。4m5m2m3m整体坐标系单元编码单元局部坐标系局部坐标系下单元刚度矩阵坐标转换矩阵整体坐标系下单元刚度矩阵计算步骤：

4.课堂练习单元坐标转换矩阵整体坐标系下单元刚度矩阵

5.小结9.2整体分析——结构整体刚度矩阵教学目标：理解单元定位向量的物理意义；掌握单元集成法集成整体刚度矩阵。教学内容：

结点位移编码

单元定位向量

单元集成法

刚架的整体刚度矩阵9.2.1结构位移编码——总码单元编号:坐标系的设定:结点编号及结点位移编码（总码）：（先处理法）以每根杆件为独立单元进行顺序编码设定整体及局部坐标系。局部坐标系的x轴均与杆件轴线重合。当局部坐标与整体坐标的方向一致时，采用同一设定，以减少坐标变换的工作量。对结构体系中的每个结点（包含支座处结点）进行顺序编码。每个结点处有三个结点位移分量。这三个分量按照整体坐标系的x轴、y轴及转动方向的顺序进行编码。9.2整体分析后处理法先处理法例9-19.2.2单元定位向量（1）→1（2）→2（3）→3（4）→4（5）→0（6）→5单元①局部码总码（1）→0（2）→0（3）→0（4）→1（5）→2（6）→3单元②局部码总码局部码与总码的对应关系结点整体力向量结点整体位移向量例：求图示结构整体刚度矩阵。9.2.3单元集成法整体刚度矩阵（1）

传统位移法分析—考虑结点的贡献分别考虑每个结点位移对{F}的单独贡献由△1引起的结点力偶由△2引起的结点力偶由△3引起的结点力偶

1.传统位移法叠加原理：整体刚度矩阵

1.传统位移法分别考虑每个单元对[F]的单独贡献，然后进行叠加。单元①的贡献2.单元集成法（2）

单元集成法分析—考虑单元的贡献单元①的贡献矩阵2.单元集成法单元②的贡献②②2.单元集成法叠加原理：思路：2.单元集成法

单元对应关系单元定位向量局部码—总码①→1→2②→2→32.单元集成法单元定位向量2.单元集成法利用单元定位向量进行换码。将这些元素一一累加到[K]中对应的位置——称为对号入座。单元第i

号杆端力第

号结点力单元第

j

号位移第

号结点位移定位向量换码换码例：2.单元集成法采用“边定位，边累加”，由[k]e

直接形成总体刚度矩阵。1231(1)2(2)(1)1(2)2(1)1(2)2123（3）单元集成法的实施方案2.单元集成法1232(1)3(2)(1)2(2)3(1)2(2)31232.单元集成法例9-1形成结构整体刚度矩阵单元①例9-1形成结构整体刚度矩阵单元②单元定位向量连续梁的整体刚度矩阵单元第i

号杆端力第

号结点力单元第

j

号位移第

号结点位移定位向量编码（总码、局部码）、单元刚度矩阵、单元定位向量、整体刚度矩阵（总刚）

5.小结9.3整体分析——矩阵位移法的基本方程及等效结点荷载向量教学目标：掌握等效结点荷载的计算。理解等效结点荷载的概念。

掌握矩阵位移法的基本方程教学内容：结点荷载与非结点荷载

单元集成法求等效结点荷载

矩阵位移法的基本方程

9.3整体分析9.3.1矩阵位移法的基本方程第一阶段，主动控制结点位移——结点位移单独作用。第二阶段，主动控制结点位移，使其为零，荷载的影响被限制在所在的单元。

——荷载单独作用整体的结点附加约束力向量第三阶段，叠加回原结构。矩阵位移法的基本方程等效结点荷载向量9.3.2等效结点荷载向量1.结点荷载的等效作用于结点上的荷载按照其所对应的总码，直接写入等效结点荷载的相应位置即可。正负按照整体坐标系的坐标轴正向及顺时针转向为正值。2.非结点荷载的等效表9-3单元固端约束力（局部坐标系）2.非结点荷载的等效坐标变换单元①:单元②:定位集合至整体整体等效结点荷载3.

等效结点荷载向量的集成过程非结点荷载单元固端力向量坐标变换整体坐标系下对号入座整体固端力向量反号等效结点荷载向量非结点荷载单元固端力向量坐标变换对号入座整体单元等效结点荷载向量反号等效结点荷载向量单元等效结点荷载向量3.

等效结点荷载向量的集成过程——可调整9.4矩阵位移法基本解题步骤教学目标：掌握矩阵位移法计算结构内力。教学内容：计算步骤

算例9.4.1初始数据准备阶段1.整体坐标系及局部坐标系的设定2.结点编码以结点为对象进行正整数编码，包括与基础联结的支座结点单元编号结点位移编码——总码，一般采用先处理法进行编码，已知为零的结点位移编码编为零。局部码——默认编码3.单元定位向量λe4.坐标转换矩阵Te9.4.2单元分析阶段1.集成单元刚度矩阵2.集成单元等效结点荷载9.4.3整体分析阶段1.集成整体刚度矩阵2.集成整体结点荷载——单元集成法9.4.4基本方程的建立及求解阶段1.矩阵位移法的基本方程2.解方程

，求结点位移向量3.求各单元的杆端内力——单元集成法反回代【例9-1续】：已经完成了初始数据准备阶段、单元分析阶段及整体分析阶段。现进行第四及第五阶段，作出内力图。阶段4：矩阵位移法基本方程及求解：阶段5：回代，求单元杆端力叠加法求各杆的杆端内力:结构内力图:弯矩图(kN.m)剪力图(kN)轴力图(kN)9.5矩阵位移法计算连续梁连续梁一般为水平方向，不需要进行坐标变换。采用先处理法进行结点位移编码。已知为零的结点位移令其编码为零。连续梁的矩阵位移法计算【例9-2】：忽略轴向变形的前提下，用矩阵位移法计算图示连续梁结构，并绘制结构的弯矩图。1.初始数据准备结点编码单元编号局部坐标系结点位移编码单元定位向量2.单元分析阶段单元刚度矩阵单元固端力向量单元等效结点荷载向量连续梁的矩阵位移法计算3.整体分析阶段整体刚度矩阵4.等效结点荷载向量结点荷载非结点荷载连续梁的矩阵位移法计算5.基本方程的建立及求解阶段6.回代求杆端内力单元定位向量反回代连续梁的矩阵位移法计算7.弯矩图（kN.m）连续梁的矩阵位移法计算9.6矩阵位移法计算刚架刚架的矩阵位移法计算在某些工程结构中，刚架结构的轴向变形对结构的影响很小，可以忽略不计。矩阵位移法计算时也可以忽略杆件的轴向变形。9.6.1矩阵位移法计算刚架——忽略杆件的轴向变形考虑轴向变形不考虑轴向变形会出现多个数据换码到同一个座位的情况不考虑轴向变形会出现多个数据换码到同一个座位的情况9.6.2有铰结点的刚架

铰结点所联结的单元杆端不能产生相对移动，但可产生相对转动。

铰结点所联结的各个杆端的转角位移进行分别编码。9.7矩阵位移法计算桁架和组合结构9.7.1桁架（1）用链杆组成；（2）只承受结点荷载作用；（3）杆件的内力只有轴力，每根杆件均只发生轴向变形。桁架斜杆单元：局部坐标系下整体坐标系下扩容单元刚度方程单元刚度矩阵坐标转换矩阵【例9-3】：如图所示桁架结构，EA=100，矩阵位移法计算各杆轴力。1.初始数据准备结点编码单元编号局部坐标系结点位移编码单元定位向量2.单元分析阶段(1)局部坐标系下各单元的单元刚度矩阵【例9-3】：如图所示桁架结构，EA=100，矩阵位移法计算各杆轴力。(2)坐标转换矩阵(3)整体坐标系下的单元刚度矩阵【例9-3】：如图所示桁架结构，EA=100，矩阵位移法计算各杆轴力。3.整体分析阶段整体刚度矩阵4.等效结点荷载向量5.基本方程的建立及求解阶段【例9-3】：如图所示桁架结构，EA=100，矩阵位移法计算各杆轴力。6.回代求杆端内力（1）局部坐标系下单元杆端结点位移向量（2）计算单元杆端力【例9-3】：如图所示桁架结构，EA=100，矩阵位移法计算各杆轴力。7.轴力图【例9-3】：如图所示桁架结构，EA=100，矩阵位移法计算各杆轴力。9.7.2组合结构

在计算组合结构时，先区分杆件类型。对于梁式杆，采用一般单元的单元刚度方程及相应的计算公式。对于桁架杆，采用桁架单元的单元刚度方程及相应的计算公式。【例9-4】：如图所示组合结构。横梁横截面b×h=300mm×400mm；柱及桁架杆横截面b×h=400mm×400mm；E=3.0×104N/mm2，忽略梁式杆件的轴向变形。绘制结构的内力图。1.初始数据准备结点编码单元编号局部坐标系结点位移编码单元定位向量【例9-4】：如图所示组合结构。横梁横截面b×h=300mm×400mm；柱及桁架杆横截面b×h=400mm×400mm；E=3.0×