《多元函数的一致性问题分析》7000字

多元函数的一致性问题分析[摘要]函数的一致性问题是研究函数各种分析性质的重要组成部分，内容包括函数(列)的一致连续、一致可微、一致可导、一致有界、一致收敛等．本文在一元函数有关一致性概念与基本结论的基础上，着重探讨了多元函数（列）的各类一致性问题，包括多元函数的一致连续、一致可微、一致可导，以及多元函数列的一致有界、一致收敛等，推广建立了一些新的判定条件，并给出相关应用．文中给出的许多定理都具有条件相异、结论相同的特点，这对进一步丰富函数相关理论具有重要的意义．[关键词]多元函数（列）一致连续一致可微一致收敛一致有界目录引言……………11一元函数（列）的一致性问题……………11.1一致连续与一致可微…………………11.2一元函数列的一致收敛………………32多元函数的一致连续………………………62.1一致连续的定义与性质………………62.2一致连续的判别方法…………………93多元函数的一致可导与一致可微………123.1一致可导的定义与性质………………123.2一致可微的定义与性质………………154多元函数列的一致收敛…………………184.1多元函数列一致收敛的基本概念……………………184.2多元函数列一致收敛的判别方法……………………184.3多元函数列一致收敛的应用…………22结论…………………………23参考文献……………………25引言 函数的一致性问题是数学分析课程中的重要内容，包括一元和多元函数(列)一致连续、一致可微、一致可导、一致有界、一致收敛等。但教材中关于多元函数（列）的一致性等问题很少涉及.另外，对于多元函数的一致性问题，多元与一元函数有什么本质区别？能否在一元函数的基础上进行推广？是否可以建立一些一致性新的判定的充分条件或充要条件？本文就此问题进行专门讨论．同时，考虑将某些定理适当改变条件或者减弱条件，研究它的结论是否仍然成立？或有什么变化？研究多元函数（列）的一致性问题的充分条件或必要条件，这是本文关注的主要内容．另外，通过构造一些非一致的反例来说明某些条件不可减弱，这在理论和应用中也很有意义．1一元函数（列）的一致性问题1.1一致连续与一致可微 定义1.1.1设在区间满足：，,，当时，有，则称在一致连续.定义1.1.2设在区间可微，且对,，当时，有，则称在一致可微.下面介绍一元函数一致连续和一致可微的几个常用判定定理.定理1.1.1设在一致连续当且仅当在连续，且，均存在有限极限.定理1.1.2设在区间满足Lipschitz条件：,,有，则在一致连续.定理1.1.3设在连续，且存在有限极限，则在一致连续.定理1.1.4设在区间存在有界导数，则在一致连续.定理1.1.5设在区间一致连续的充要条件是对：，都有.定理1.1.6设在有限区间一致连续的充要条件是将柯西序列映射成柯西序列（即为柯西序列时，亦为柯西序列）.证明充分性设若不然，在有限区间非一致连续，则，,，有.注意到为有限区间，，因此中存在收敛子列.因为，故中相应的子列也收敛于相同的极限.从而序列收敛成为柯西序列.而其像序列却有，不是柯西序列，与已知条件矛盾.必要性已知，对，当时，有,（1-1）又是柯西序列，则对此，当时，有，从而由（1-1）式得，.所以亦为柯西序列.定理1.1.7设在区间一致可微的充要条件是在一致连续.证明必要性任取,介于之间.由在一致可微知，对，当，亦有，于是，，所以，故在一致连续.充分性由在一致连续知，,且时，有，由微分中值定理知，存在介于与之间，有且.故，所以在一致可微.定理1.1.8设在一致可微的充要条件是在有连续的导数且均存在有限极限.证明必要性因为在一致可微，由定理1.1.7知，在一致连续，所以在连续且均存在有限.充分性由于在连续且均存在，所以在一致连续，同样由定理1.1.7可知，在一致可微.1.2一元函数列的一致收敛定义1.2.1设和是定义在区间的函数列，若对,,，有，则称在一致收敛于.下面介绍一元函数列一致收敛的几个常用判定定理.定理1.2.1设在区间一致收敛的充要条件是：对，,,，有.定理1.2.2设在区间一致收敛于的充要条件是.定理1.2.3设和在闭区间上连续，则在一致收敛于的充要条件是对，都有.证明充分性首先证明，是在上的极限函数.任取，考虑以为极限的常数列，那么，从而这表明函数列在点点收敛于.其次，若在非一致收敛于，依定义1.2.1，，取,,，使；取,,，使；一般地，取，,，使,.因为为闭区间，所以数列存在收敛子列，设.于是，.但这与，矛盾.故连续函数列在一致收敛于连续函数.必要性由于，又.即得.又连续函数列在闭区间上一致收敛时，极限函数在也连续，从而.定理1.2.4设在上满足，，且在上收敛于，则在上一致收敛于.证明任取，因为在点处收敛，由柯西收敛原理可知，对，，当时，有.取，则当时，有，对,，使上述不等式成立.于是，开区间族覆盖，根据有限覆盖定理知，可以从中选取有限个开区间，不妨设覆盖区间.取，则当时，对任意，存在，使得，所以,即在上一致收敛于.定理1.2.5设可微函数列在上收敛，在上一致有界，则在上一致收敛.证明由于在上一致有界，有定义可知，，对一切，有.于是，对,，由微分中值定理可知，,由定理1.2.4可得在上一致收敛.2多元函数的一致连续2.1一致连续的定义及性质定义2.1.1（二元函数一致连续）（1）函数在给定平面区域上关于一致连续是指，对以及内任何两点，，存在，当时.同理可得出函数在给定平面区域上关于一致连续的定义.（2）函数在给定平面区域上一致连续是指，对以及内任何两点，，存在，当时，有.定理2.1.1设在有界闭区域上连续，则上一致连续.定理2.1.2在有界区域一致连续的充要条件是在连续，且对（其中为的边界），都存在有限极限.证明充分性构造函数,易知在上连续，从而在上一致连续，又在内，所以在一致连续.必要性由在有界区域一致连续知，对，对，，当时，有.于是，，当,：,时，由于，从而，再由柯西收敛原理可知，存在.定理2.1.3设在区域满足：对，都有，其中为正常数，则在一致连续.证明，取，则对：,，有，由定义2.1.1可知，在一致连续.在1.1节中的定理1.1.3，对于二元函数是否也有类似的结论？设在区域连续，且存在，那么在一致连续是否成立呢？答案是否定的.例2.1.1在连续，且，但在上却非一致连续.事实上，取,对，取,，则，从而在上非一致连续.若将存在改为,均存在，则有以下定理.定理2.1.4若在区域连续，且对，，都存在，则在一致连续.证明由,知，,对,，当,时，有,（2-1）当，时，也有,（2-2）将分成以下三个区域：,,，从而有在一致连续，即对上述,,：，则，取，则对上述,,，，当，时，有1），有,；2），有,；3），有；4），有，由.由（2-1）式知，；5），有，由，于是由（2-2）式知，，综上可知在一致连续.例2.1.2判断在的一致连续性.证明，有.，有，所以由定理2.1.4知，在上一致连续.2.2一致连续的判定方法定义2.2.1设区域上的任意两点，若对，有，则称区域为凸区域.定理2.2.1设在凸区域存在有界偏导数，则在一致连续.证明由假设可知，，使对，有，于是对，：，（1）若、之一属于，不妨设，则.（2）若、均不属于，将的连线等分，并记分点依次为,,,,（其中），并记.因为为凸区域，所以这些分点都在内，且当足够大时能使点也都属于.于是，综上，对,：，有，即在一致连续.定理2.2.2设在区域连续，且存在（其中），则在一致连续.证明因为存在，由柯西收敛原理知，，对于满足的点，都有.记.由于在有界区域上连续，从而在上一致连续，故对上述,，当时，有.取,，当时或同属于或同时满足，于是，所以在一致连续.注：该定理只是充分条件并非必要条件，其逆命题不成立，这一点与定理2.1.2有区别.例如在一致连续，但不存在.定理2.2.3在区域一致连续的充要条件是对：，都有.证明充分性设若不然在非一致连续，则，使对,:，有.取，则:，有，而，但有，此与假设矛盾.必要性由一致连续定义可知，对:，有.对，因，所以对此，，，有，从而，即.定理2.2.4在有界区域一致连续的充要条件是将柯西序列映射成柯西序列（即为柯西序列时，亦为柯西序列）.证明仿照定理1.1.6的证明可得.例2.2.1判断在上的一致连续性.证明显然在点连续，为凸区域.又，，故有界，由定理2.2.1得，在上一致连续.定理2.2.5对于，都有，则在上一致连续.证明，取，对：，有：故由一致连续定义，在一致连续.证毕.3多元函数一致可导与一致可微3.1一致可导的定义与性质定义3.1.1（二元函数一致可导）函数在给定平面区域上关于一致可导是指，假设二元函数在该区域内有偏导数，对以及内任何两点，，存在，当时，有.同理可得出函数在给定平面区域上关于一致可导的定义.注3.1.1该定义中的仅与任意给出的有关，与平面区域内的点无关.定义3.1.2设在区域关于与均一致可导，则称在一致可导.例3.1.1在一致可导.事实上，，由于,于是，，取，对于任意两点及，当时，（3-1）式成立.由定义可知，在关于一致可导.同理可得，在关于一致可导，从而在一致可导.定理3.1.1设在区域关于存在偏导数，则以下三个条件等价：1）在关于一致可导；2），对于内的任意点及，当，时，有；3）在关于一致连续.证明1）2）设及是内的任意点，由1）知，，当,时，有，，于是，对上述，当,时，有，所以，2）式成立.2）1），对内的任意点及，当，时，2）式成立.在2）式中令，则，即在关于一致可导.1）3）由1）及2），，对于内的任意点及，当,时，有,,，从而，所以在关于一致连续.3）1）由于在关于一致连续，故，，，当时，有，从而，即在关于一致可导.推论3.1.1设在区域关于存在偏导数.，则以下三个条件等价：1）在关于一致可导；2）对，对于内的任意点及，当，时，有；3）在关于一致连续.推论3.1.2若在区域关于存在偏导数.，且满足，其中是正常数，则在关于一致可导.定理3.1.2（一致可导的必要条件）若在区域一致可导，则，在连续.证明因为在一致可导，由定理2.2.1知，,在分别关于和一致连续，从而,在连续.3.2一致可微的定义与性质[12-14]定义3.2.1设在区域两个偏导数存在，若对,，，当时，有，（3-2）则称在一致可微.记.显然，由定义3.2.1可知，若在一致可微，则在可微且连续.定理3.2.1（一致可微的充分条件）若在区域一致可导，且（或）在一致连续，则在一致可微.证明由在一致连续知，对,，当时，有.由于在关于一致可导，对上述，对，当时，有.对上述，取，对，当,时，利用一元函数微分中值定理，可得,所以在一致可微.推论3.2.1若,均在区域一致连续，则在一致可微.证明因为,均在一致连续，所以与在一定分别关于和一致连续，于是在一致可导，从而在一致可微.定理3.2.2（一致可微的必要条件）若在区域一致可微，则在一致可导，且,在连续.证明由假设，对，对中的任意两点及，当时，有.在上式中分别令及可得，，即在一致可导，从而,在连续.下面给出二元函数一致可微的充要条件.定理3.2.3在区域一致可微的充要条件是：.（3-3）证明必要性由定义，对，对内的任意点及，当时，有.于是，当时，有，所以（3-3）式成立.充分性设（3-3）式成立，则,当时，有，从而，对且时，有.由定义3.2.1可知，在一致可微.定理3.2.4在区域一致可微的充要条件是：对，且时，有.（3-4）证明必要性由定义知，，当且时，有，故当且时，有.充分性由条件及二元函数极限的Cauchy准则知，当时，二重极限存在.又累次极限，故.在（3-4）式中令可得，，即在区域一致可微.定理3.2.5在区域一致可微的充要条件是对满足条件的任意点列：,且有，函数列在一致收敛于，即,,，有.证明必要性由定义，，对，当时，有.于是，对于满足定理条件的点列，必存在，当时，有，从而当时，有.充分性设若不然，在非一致可微，则,对，，存在，，当时，有.由及在一致收敛于，于是，当和,有.产生矛盾.例3.2.1证明在任意有界区域一致可微，但在非一致可微.证明由于在任意有界区域一致连续，故在关于一致可导，同理在关于一致可导.因此在一致可导，从而在一致可微.但当时，,，取及，使得，虽然，但是，所以在非一致可微.4多元函数列的一致收敛及应用4.1多元函数列一致收敛的基本概念[15]定义4.1.1设和是定义在区域的函数列，若对，,，有，则称在一致收敛.4.2多元函数列的一致收敛的判别方法定理4.2.1在区域一致收敛的充要条件是：对,，使得,，有.（4-1）证明充分性由假设条件可知,对,,，不等式对成立，故由Cauchy收敛原则，在点点收敛，记其极限为.现固定（4-1）式中的，令，则对，，有，即在一致收敛于.必要性设在一致收敛于，即，使得，，有，于是，时，有.定理4.2.2在区域一致收敛于的充要条件是：.证明充分性由可知，,，，有，所以在区域一致收敛于.必要性设，则对,,，有，由上确界的定义可得，.定理4.2.3设和在有界闭区域上连续，则在一致收敛于的充要条件是：，.证明仿定理1.2.3可证.定理4.2.4设在有界闭区域上满足，,其中，且在收敛于，则在一致收敛于.证明任取.因为在处收敛，由Cauchy收敛原理可知，,，当时，有.取，则当时，有，这表明，,,，上述不等式成立.于是，开区域族覆盖有界闭区域，根据有限覆盖定理知，可以从中选取有限个开区域，不妨设也覆盖.取，则当时，对，存在，使得，所以，即在一致收敛于.定理4.2.5设可微函数列在凸区域收敛，且在均一致有界，则在一致收敛.证明由假设条件知，，使对,，有.于是对于,，由二元微分中值定理可知，（），由定理4.4可得，在一致收敛.定理4.2.6设在区域连续且一致收敛于，则在连续.证明由在一致收敛知，,,,有.注意到对，在连续，所以对，,，当时，有.于是，对上述，当时，有，所以在连续.定理4.2.7设在区域一致收敛，且,均是有界函数，则在一致有界.证明设对，使对，有.由函数列一致收敛的柯西原理知，对,,,有.于是,有.令，则对，有.即在一致有界.4.3多元函数列一致收敛的应用引理4.3.1[7]二元函数函数列在给定区域上一致收敛于，将该区域内的一个聚点记为，如果对每个，都有，则和都存在，且.注4.3.1该引理表明，条件为一致收敛时，二元函数列的极限顺序可以互换，即.下面给出定理4.3.1说明应用二元函数列一致收敛解决函数连续问题.定理4.3.1二元函数列在给定某一区域上一致收敛于，并且函数列的每一项都在该区域上连续，那么在此区域上也连续.证明首先给出区域上任意一点，根据和引理6.3.1可知存在，并且所以在点处连续，再根据点的任意性可得出结论在上连续.定理4.3.2给出应用一致收敛得到二元函数可积性的问题.定理4.3.2二元函数列在有界闭区域上一致收敛于，并且函数列的每一项都在该区域上连续，那么在此区域上可积.证明根据定理4.3.1可知在上连续，所以与在此区域上均可积.定理4.3.3介绍应用一致收敛性解决一致连续性问题.定理4.3.3二元函数列在给定某一区域上一致收敛于，且函数列在该区域上一致连续，那么在此区域上也一致连续.证明由一致收敛定义知，对，（N为正整数），使得当时，对有，再根据一致连续可知，对上述，，对，当时，有.从而对于同样的，，当且时，可得到因此在区域上也一致连续，定理得证.例4.3.1判断在的一致收敛性.证明，当时，，.又，故在有界，所以,在是有界函数.，取，则,有，即在一致收敛于.由定理4.7知，在一致有界.同理可证，在一致有界.从而由定理4.5得，在一致收敛于.例4.3.2证明在区域非一致收敛.证明易知对，在连续，若在一致收敛于，则由定理4.6知，在连续.但显然在不连续，产生矛盾，所以在非一致收敛.结论本文针对数学分析中核心内容——函数的一致性进行研究，首先介绍了一元函数一致性的基本概念及性质，其中包括一致连续、一致可导、一致可微和一致连续.随后将一致性推广到多元函数中，并说明了其概念、性质以及判别方法，从而得出多元函数一致性内容之间的联系，