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河北省秦皇岛市部分示范高中2024年高考数学三模试题姓名:__________班级:__________考号:__________题号一二三四总分评分一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x2<9},B={x|x−2⩽0}A.{0,1,C.{x|2⩽x<3} D.{x|−3<x⩽2}2.已知m,n表示两条不同的直线,α表示平面,则()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m⊥n,则n⊥αC.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m⊥α,n⊂α,则m⊥n3.已知函数f(x)=x2+1A.y=g(x)f(x) C.y=f(x)+g(x)−1 D.y=f(x)−g(x)−14.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a4A.32 B.2 C.3 5.若(1+1x)(1+xA.3 B.4 C.5 D.66.已知复数z1,z2满足|zA.3 B.23 C.32 7.已知正数a,b,c满足alnb=beA.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在[−π3,π6]上单调,A.1 B.2 C.3 D.4二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)9.美国数学史专家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的《TheMathematicalUniverse》一书中写道:“相比之下,数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’,在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明,甚至不需要任何解释,很难比它更优雅了”.如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”,该图(ABCD为矩形)完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式,则可推导出的正确选项为()A.AD=sin2x B.AB=sin2xC.DE=cos2x D.S10.双曲线C:x2−y2=m2(m>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P(t,s)(s≠0)为C的右支上一点,分别以线段PF1,A.|B.|OM|=mC.点(t,0)为圆O1D.圆O1与圆O211.在正四面体ABCD中,P,Q分别为棱AB和CD(包括端点)的动点,直线PQ与平面ABC,平面ABD所成角分别为α,β,则()A.sinα−sinβ的正负与点P,Q位置都有关系B.sinα−sinβ的正负由点Q位置确定,与点P位置无关C.sinα+sinβ的最大值为4D.sinα+sinβ的最小值为6三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.已知a,b为平面向量,若a为单位向量,|b|=43,a与b的夹角为π6,则a13.从0,2,4,6中任意选1个数字,从1,3,5中任意选2个数字,得到没有重复数字的三位数,在所组成的三位数中任选一个,则该数是偶数的概率为14.已知数列{an}是给定的等差数列,其前n项和为Sn,若a9a10<0,且当m=四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=π3且a+b=7,△ABC的外接圆半径为(1)求△ABC的面积;(2)求△ABC边AB上的高h.16.如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PC⊥平面ABC,AC=3,PC=2BC=2,E,F分别为PA,PC的中点,平面BEF与平面ABC的交线为BD,D在圆O(1)在图中作出交线BD(说明画法,不必证明),并求三棱锥D−ACE的体积;(2)若点M满足BM=12BD+λBP(λ∈R),且CM17.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,过点M(1,0)的直线(1)求C的方程(2)记C的左焦点为F,若过F,A,B三点的圆的圆心恰好在y轴上,求直线l的斜率.18.将保护区分为面积大小相近的多个区域,用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号,统计抽取到的每个区域的某种水源指标xi和区域内该植物分布的数量yi(i=1,2,⋅⋅⋅,15)(1)求样本(x(2)假设该植物的寿命为随机变量X(X可取任意正整数),研究人员统计大量数据后发现,对于任意的k∈N*,寿命为k+1的样本在寿命超过(i)求P(X=k)(k∈N(ii)推导该植物寿命期望E(X)的值(用k表示,X取遍1,2,⋅⋅⋅,附:样本相关系数r=i=1xiyi19.帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m,n,函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为:R(x)=a0+a1x+⋅⋅⋅+amxm1+b1x+⋅⋅⋅+bnx(1)求函数f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶帕德近似R(x),并求(2)在(1)的条件下(i)求证:R(x)ln(x+1)(ii)若f(x)−m(x2+1)R(x)⩽1−cosx
答案解析部分1.【答案】D【解析】【解答】解:A={x∣x2<9}={x|−3<x<3}则A∩B={故答案为:D.【分析】先解不等式求得集合A,B,再根据集合的交集运算求解即可.2.【答案】D【解析】【解答】解:A、若m∥α,n∥α,则m,B、若m∥α,m⊥n,则n与α可能平行,可能相交,也可能n⊂α,故B错误;C、若m⊥α,m⊥n,则n与α可能平行,也可能n⊂α,故C错误;D、若m⊥α,n⊂α,由线面垂直的性质定理可知m⊥n,故D正确.故答案为:D.【分析】根据空间直线与平面的位置关系逐项分析判断即可.3.【答案】A【解析】【解答】解:易知函数f(x)=x2+1A、y=h(x)=g(x)f(x)=4sinB、y=f(x)g(x)=C、y=h(x)=f(x)+g(x)−1=x但h(−x)≠h(x),D、y=h(x)=f(x)−g(x)−1=x但h(−x)≠h(x),故答案为:A【分析】根据函数图象,结合函数f(x),4.【答案】C【解析】【解答】解:设等比数列{an}的公比为q(q≠0),因为a所以q3=(故答案为:C.【分析】根据S6与a5.【答案】B【解析】【解答】解:因为(1+1且(1+x)n的展开式的通项为T可知(1+1x)(1+x)n即n+n(n−1)2=10,解得n=4故答案为:B.【分析】由题意可知:(1+1x)6.【答案】D【解析】【解答】解:令z1=a+bi,z2则z1所以a+c=2①,b+d=−5②①平方可得a2+2ac+c2=4③,而|z又因为|z1|=|两边平方得a2+b③④⑤相加并化简得2ac+2bd=−9,而|z=(故答案为:D【分析】根据复数模长的相关知识,结合已知条件整体代换运算即可.7.【答案】A【解析】【解答】解:由alnb=ca,可得c=lnb,即令h(x)当h'(x)>0时,x∈所以h(x)>h(0)由bec=ca得ec·因为ec>0,c>0,ec故答案为:A.【分析】化c=lnb为b=ec,利用作差法,构造函数h(x)8.【答案】B【解析】【解答】解:因为函数f(x)的图象关于点(−2π3,所以−2πω3+φ=k1由函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)在得T2≥π6−(−π3解得−12<k≤52当k=0时,ω=13,则−2π9+φ=则ωπ+φ=5π9,此时当x∈[−π3,π6]时,故f(x)=sin(1当k=1时,ω=1,则−2π3+φ=k1则ωπ+φ=5π3,此时当x∈[−π3,π6]时,故f(x)=sin(x+2π当k=2时,ω=53,则−10π9+φ=则ωπ+φ=16π9,此时当x∈[−π3,π6]时,故f(x)=sin(53x+π9故答案为:B.【分析】根据f(x)的对称性求出ω=23(k+12),(k∈Z),结合函数的单调性可得9.【答案】A,C,D【解析】【解答】解:如图所示:
A、在Rt△AEF中,EF=sinx,AF=cosx所以EC=sinx⋅sinx=sin2则AD=BC=BF+FC=2sinB、AB=coC、在Rt△ADE中,因为AD=sin2x,AE=1,则D、S△ABFS△AEF=1故答案为:ACD.【分析】根据图形,结合解直角三角形,二倍角正弦公式和三角形面积公式求解判断即可.10.【答案】B,C,D【解析】【解答】解:A、易知双曲线C的标准方程为x2m2−y2m因为O1为PF1的中点,O2为B、因为O2为PF2的中点,O为F则|OM|=|OOC、设点Q为圆O1和圆O2的另一个交点,连接PQ,由可得O1O2⊥PQ,O1O2则点Q必在x轴上,可得点Q的坐标为(tD、若BD为圆O1与圆O2的一条公切线,B,D为切点,连接O1B,O2D,过点O2作O由|O1O得sin∠A可得∠AO2O1=π4,由O故答案为:BCD.分析】由中点中位线性质即可判断AB;由圆与圆关系及切线性质求得sin∠A11.【答案】B,D【解析】【解答】解:取AB的中点E,连接DE,CE,过点Q在平面内分别作垂足分别为M,在正四面体ABCD中,△ABD,△ABC均为等边三角形,
因为E为AB的中点,所以又因为DE∩CE=E,DE,CE⊂平面DEC,所以AB⊥平面因为MQ⊂平面DEC,所以AB⊥MQ,因为MQ⊥DE,DE∩AB=E,DE,AB⊂平面ABD,所以MQ⊥平面所以直线PQ与平面ABD所成的角为∠QPM,即β=∠QPM,同理可得α=∠QPN,所以的正负只由点Q位置确定,与点P位置无关,故A错误,B正确;设AB=1,则DE=CE=32,且在△DEC中,DE=CE=3由余弦定理可得:cos∠DCE=所以sin∠EDC=所以QM+QN=DQsin则sinα+将正四面体ABCD补成正方体SCTD−ARBW,如图所示:连接WR,在线段WR上取点K,使得WK=DQ,因为DW//CR且所以四边形DWBC为平行四边形,所以DW⊥平面ARBW,因为WR⊂平面ARBW,所以DW⊥WR,所以平行四边形DWRC为矩形,则DC//因为DQ//WK且DQ=WK,所以四边形则KQ//DW,且因为DW⊥平面ARBW,PK⊂平面ARBW,所以DW⊥PK,设AB∩WR=O,因为四边形ARBW为正方形,所以AB⊥WR,所以KP2=O则KP所以PQ=Q则(sinα+sinβ)(sinα+sinβ)故答案为:BD.【分析】取AB的中点E,连接DE,CE,过点Q在平面内分别作QM⊥DE,QN⊥EC,垂足分别为12.【答案】−5【解析】【解答】解:因为|a→|=1,所以a→故答案为:−5.【分析】根据向量数量积的定义及运算性质求解即可.13.【答案】4【解析】【解答】解:若从0,2,从1,3,由选出的3个数字组成三位数有3!种组法,共3×3×3!其中偶数有C3若从0,2,4,由选出的3个数字组成三位数有C21×2!=4所以该数为偶数的概率为P=18+6故答案为:411【分析】根据分类加法、分步乘法计数原理及古典概型计算即可.14.【答案】21【解析】【解答】解:设等差数列{an}的公差大于零,因为a且n≤9时,an<0,n≥10时,不妨取m>n,则Sm设k=|S30−S9若n<9,m=30,则|S30−因为|S因此这就说明n=n若m<30,则|Sm−S9|≤i=10故答案为:21.【分析】设等差数列{an}的公差大于零,不妨取m>n,则Sm−Sn=i=n+1mai,设15.【答案】(1)解:在△ABC中,csinC=2×4根据余弦定理得42即16=(a+b)所以3ab=49−16=33,所以ab=11,所以S△ABC(2)解:S△ABC=1【解析】【分析】(1)由题意,利用正弦定理及余弦定理求出ab,再利用三角形面积公式计算即可;(2)根据三角形面积公式求解即可.16.【答案】(1)解:过点B作BD∥AC,交圆O与点D,因为E,F分别为PA,PC的中点,所以EF∥AC,又因为BD∥AC,所以EF∥BD,故BD为平面BEF与平面ABC的交线,因为AB是圆O的直径,所以∠ADB=∠ACB=90°,又因为BD∥AC,所以∠CBD=180°−∠ACB=90°,所以四边形ACBD为矩形,因为AC=3,AD=BC=1,所以S因为PC⊥平面ABC,E为PA的中点,所以点E到平面ACD的距离为12所以V三棱锥D−ACE(2)解:以C为坐标原点,分别以CA,CB,CP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示:则A(3,0,0),B(0,1所以CB=(0,1,0),BP=(0,设平面PBD的法向量为n=(x则n⋅BD不妨取z=1,得n=(0因为CM与平面PBD所成角的正弦值为105所以|cos⟨CM所以20λ2−8λ−1=0,所以λ=【解析】【分析】(1)由线线平行即可找到直线BD,再利用等体积法求解体积即可;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法求解即可.17.【答案】(1)解:当l⊥x轴时,|AB|=3,则点(1,±32)在C上,则e=c故C的方程为x2(2)解:设圆心P(0,m),A(x1,显然直线l的斜率存在,设l:y=k(x−1),由|PA|2=|PB|又x12=4(1−y1则y1,y2分别是方程3y又联立l:y=k(x−1)与x24+所以x1+所以y故−3k24故直线l的斜率为k=±5【解析】【分析】(1)由题意可得点(1,±3(2)设圆心P(0,m),A(x1,y1),B(x2,y2),l:y=k(x−1),由|PA|218.【答案】(1)解:由i=1(xi−x得样本相关系数r=i=1(2)解:(i)依题意,P(X=1)=P(X=k+1∣X>k)=0.又P(X=k+1∣X>k)=P(X=k+1)则P(X=k+1)=0.当k⩾2时,把k换成k−1,则P(X=k)=0.两式相减得P(X=k)−P(X=k+1)=0.即P(X=k+1)P(X=k)又P(X=2)=0.所以P(X=k+1)P(X=k)=0.从而{P(X=k)}是首项为0.1,公比为0.9的等比数列,所以P(X=k)=0.(ii)由定义知,E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+⋅⋅⋅+kP(X=k)+⋅⋅⋅,而i=1iP(X=i)=0显然i=1i×0于是0.两式相减得0.因此i=1iP(X=i)=0当k足够大时,k×0.9则i=1iP(X=i)≈10,可认为E(X)=10所以该植物寿命期望E(X)的值是10.【解析】【分析】(1)由题意,利用相关系公式计算即可;(2)(i)由题意可得P(X=k+1∣X>k)=P(X=k+1)P(X>k),得P(X=k+1)P(X=k)(ii)由定义知,E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+⋅⋅⋅+kP(X=k)+⋅⋅⋅,由错位相减法可得i=1kiP(X=i)19.【答案】(1)解:由题可知函数f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶帕德近似为f'(x)=1由f(0)=R
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