山西省2024-2025学年高二上学期11月期中联合考试数学检测试题（附解析）

山西省2024-2025学年高二上学期11月期中联合考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则的共轭复数（

）A． B． C． D．3．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则（

）A．1 B．2 C． D．04．从和两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是（

）A． B． C． D．5．图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为（

）A． B． C． D．6．已知椭圆，过点的直线交于、两点，且是的中点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．7．若动圆过定点，且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）8．已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知抛物线的焦点为，直线与在第一象限的交点为，过点作的准线的垂线，垂足为，下列结论正确的是（

）A．直线过点 B．直线的倾斜角为C． D．是等边三角形10．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的图象关于点中心对称D．在上单调递增11．若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，，分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（

）

A．若，则B．存在点H，使得平面C．线段长度的最小值是D．存在点H，使得三、填空题（本大题共3小题）12．已知单位向量满足，则与的夹角为.13．如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则.14．已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则.四、解答题（本大题共5小题）15．已知在中，，，，记的外接圆为圆.(1)求圆的标准方程；(2)求过点且与圆相切的直线的方程.16．如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，.

(1)证明：平面.(2)求二面角的余弦值.17．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与轴垂直的直线交于两点，是与的一个公共点，，.(1)求与的标准方程；(2)过点且与相切的直线与交于点，求.18．如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面.(1)证明.(2)点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.19．已知为坐标原点，双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左､右顶点分别为，圆过点(1)求的方程；(2)过点且斜率不为0的直线与双曲线的左､右两支的交点分别为，，连接并延长，交双曲线于点，记直线与直线的交点为，证明：点在曲线上.

答案1．【正确答案】A【详解】由题意得，所以.故选：A2．【正确答案】D【详解】因为，所以，则.故选：D.3．【正确答案】B【详解】由偶函数性质得，.故选：B4．【正确答案】D【详解】组成两位数的样本空间，样本点总数为8.能被3整除的数为24，42，有2个.故所求概率为.故选：D．5．【正确答案】C【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则点.设抛物线的方程为，由点可得，解得，所以.当时，，所以水面宽度为.故选：C.6．【正确答案】A【详解】若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在，设、，由题意可得，，则，两式相减可得，所以，，解得，因此，直线的斜率为.故选：A.7．【正确答案】D【详解】定圆的圆心为，与关于原点对称.设，由两圆外切可得，所以,所以的轨迹为双曲线的右支.设的轨迹方程为，则，所以轨迹方程为.故选：D8．【正确答案】B【详解】设，则，，因为，所以，即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上.点在直线上，所以直线与圆有公共点，则，解得故选:B.9．【正确答案】ABD【详解】抛物线的焦点为，而，所以直线过点，故A正确；设直线的倾斜角，因为直线的斜率为，，所以，即直线的倾斜角为，故B正确；因为，故C错误；因为点在抛物线上，由抛物线定义可知，，又，所以是等边三角形，故D正确.故选：ABD.

10．【正确答案】ABD【详解】.A：，所以的最小正周期为，故A正确；B：令，得，当时，，所以为函数的一条对称轴，故B正确；C：令，得，当时，，所以为函数的一个对称中心，故C错误；D：令，得，当时，，即的单调递增区间为，而为的真子集，故D正确.故选：ABD11．【正确答案】ABC【详解】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ，

则，，，，，故，，所以，即Q，B，N，P四点共面，若，则，解得，A正确；对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即，过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得，则，，，，故，，，，易得是平面的一个法向量，若平面，则，即，解得，符合题意，所以存在点H，使得平面，B正确，对于C：，当时，取得最小值，最小值为，C正确.对于D：若，则，得，无解，所以不存在点H，使得，D错误.故选：ABC12．【正确答案】/【详解】由，可得，解得，则，又，所以与的夹角为.故13．【正确答案】6【详解】棱长为的正方体中，连接，则是边长为的等边三角形，..故选：14．【正确答案】2【详解】由题意可知，，所以.因为，所以，即，所以，故2.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）（方法一）直线的方程为，、的中点为，所以线段的中垂线方程为，直线的方程为，、的中点为，线段的中垂线方程为.直线与直线的交点为，即圆的圆心为.点与点的距离为，即圆的半径为，所以圆的标准方程为.（方法二）设圆的标准方程为，则，解得故圆的标准方程为（2）圆的圆心为，，直线的斜率为，所以切线斜率为，所求切线方程为，整理得.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）

设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为n=x,y,z则即令，则.证明.因为，所以，平面ACD1，所以平面.（2）易知为平面的一个法向量，且..易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.17．【正确答案】(1)的标准方程为，的标准方程为(2)【详解】（1）记，则抛物线的方程为，其准线方程为.因为，所以，解得，则的标准方程为.不妨设点在第一象限，记，因为，所以，解得.因为，所以，即.由解得所以的标准方程为.（2）不妨设点在第一象限，则.设直线.联立得.由，解得，则.设.联立得，则，故.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：取的中点，连接.因为为等边三角形，所以.因为为等腰直角三角形，且，所以.因为平面平面，所以平面，所以.（2）因为平面平面，平面平面平面，所以平面.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，则.设平面的法向量为n=x,y,z则即令，则，所以.设直线与平面所成的角为，则，当且仅当时，等号成立.故直线与平面所成角的正弦值的最大值为.19．【正确答案】(1)(2)证明见解析【