2024-2025学年重庆市高二上学期期中联合检测数学检测试题（附解析）

2024-2025学年重庆市高二上学期期中联合检测数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（

）A．1 B．3 C．8 D．93．椭圆的焦距是2，则m的值是（）A．3 B．5 C．3或5 D．不存在4．已知圆C经过点和点，且圆心在y轴上，则圆C的方程为（

）A． B．C． D．5．已知点是曲线上任意一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（

）A． B． C． D．8．如图，已知抛物线，圆，过C点的直线l与抛物线和圆依次交于P，M，N，Q，则等于（

）A．1 B．2 C．4 D．8二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线，圆，则下列说法正确的是（

）A．直线l必过点B．直线l与圆E必相交C．圆与圆E有3条公切线D．当时，直线l被圆E截得的弦长为10．已知抛物线过点，则（

）A．拋物线的标准方程可能为B．抛物线的标准方程可能为C．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条D．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条11．“嫦娥五号”是中国首个实施无人月面取样返回的月球探测器，是中国探月工程的收官之战，实现了月球区域着陆及采样返回.如图所示，月球探测器飞到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则以下说法正确的是（

）

A．椭圆轨道Ⅱ的焦距为B．椭圆轨道Ⅱ的短轴长为C．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大D．若不变，则椭圆轨道Ⅱ的离心率随的增大而增大三、填空题（本大题共3小题）12．过点作圆的切线，则切线方程为.13．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，若点，则的最小值为；14．若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为．四、解答题（本大题共5小题）15．已知直线．(1)经过点且与直线平行的直线；(2)经过点且与直线垂直的直线；(3)经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线．16．已知圆C过三点．(1)求圆C的方程；(2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程．17．已知双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，双曲线C的一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求双曲线C的方程；(2)经过点M(1,4)的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求直线l的方程．18．已知抛物线，其焦点为，点在抛物线C上，且．(1)求抛物线的方程；(2)为坐标原点，为抛物线上不同的两点，且，（i）求证直线过定点；（ii）求与面积之和的最小值．19．若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.(1)证明：椭圆为“质朴椭圆”.(2)是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由.(3)设斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与交于，两点，，试问是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.

答案1．【正确答案】A【详解】将直线变形为，即斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以.故选：A.2．【正确答案】D【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在，又因为两直线垂直，所以斜率乘积为，即，即，整理可得，所以，当且仅当时，等号成立；因此的最小值为.故选：D3．【正确答案】C【详解】∵，∴．当椭圆的焦点在x轴上时，，，．∴，．当圆的焦点在y轴上时，，，∴，∴．综上，m的值是3或5．故选：C4．【正确答案】C【分析】先利用待定系数法求得圆C的一般方程，进而得到圆C的标准方程.【详解】设圆C的方程为，则圆心，则有，解之得,则有圆C的方程为，即故选：C5．【正确答案】B在平面直角坐标系中作出曲线，这是一个半圆，的几何意义是半圆上的点与定点连线的斜率，由几何意义易得结论．【详解】曲线是以原点为圆心，2为半径的上半圆，如图，表示半圆上的点与定点连线的斜率，由图，，当时，直线与半圆相切，∴，即的取值范围是．故选：B．6．【正确答案】B【详解】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为，所以，因为在椭圆上，所以①，两式相减，得，根据，上式可化简为，整理得，又，所以，即，所以.故选：B.7．【正确答案】C【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可.【详解】如图所示由题意知，解得记的右焦点为，即，由双曲线的定义，得，即所以，当且仅当点在线段上时等号成立,所以的最小值为.故选：C.8．【正确答案】A【详解】圆，点C与抛物线的焦点重合，设，，所以，，∴．①当直线l的斜率不存在时，，∴；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为(),与抛物线方程联立消y，得，∴．综上，.故选：A．9．【正确答案】BC【分析】由直线方程确定过定点，判断定点与圆位置关系判断A、B；根据两圆圆心距离与半径间的关系判断C；应用点线距离及弦长的几何求法求弦长.【详解】A：由，则必过定点，错；B：将定点代入圆，有，故点在圆内，即直线l与圆E必相交，对；C：由题设且半径为，而且半径为，所以，即两圆外切，故两圆有3条公切线，对；D：由题设，则到直线的距离，故直线l被圆E截得的弦长为，错.故选：BC10．【正确答案】ABD【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解.【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确；对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确；对于C、D选项，过点A与对称轴平行的直线，以及抛物线在点A处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确.故选ABD.【规律方法】抛物线的标准方程：①y2=2px，当p>0时，为开口向右的抛物线；当p<0时，为开口向左的抛物线.②x2=2py，当p>0时，为开口向上的抛物线；当p<0时，为开口向下的抛物线.11．【正确答案】AC【分析】根据图中几何关系列方程组求出a，c，然后可得b，可判断AB；分离常数，利用反比例函数的性质可判断CD.【详解】在椭圆中，由图可知，解得，所以，所以，A正确，B错误；，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递增，C正确；，当不变时，由反比例函数的性质可知，函数在上单调递减，D错误.故选：AC12．【正确答案】【详解】由题意可知：圆的圆心为，因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线，而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为，故切线方程为：即.故答案为.13．【正确答案】5【详解】抛物线C：y2=4x的准线为x=﹣1．设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小．当D，P，A三点共线时，|PA|+|PD|最小，为4﹣（﹣1）=5．故答案为5．14．【正确答案】【详解】依题意可得双曲线渐近线方程为，直线与双曲线没有交点，则，即，易知，又已知双曲线离心率,所以双曲线离心率的取值范围为.15．【正确答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）设所求直线的方程为，依题意有，解得，所以所求直线方程为；（2）设所求直线方程为，依题意有，解得，所以所求直线方程为；（3）联立，解得，即直线与的交点为，当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为，代入得，此时；当直线的截距都不为时，假设直线方程为，依题意，解得，此时直线方程为，即综上所述或.16．【正确答案】(1)(2)或【分析】（1）根据圆过点，得到圆心在上，设圆心坐标，再由圆心到圆上的点的距离相等求解；（2）设直线l的方程为：，根据为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离求解.【详解】（1）解：因为圆过点，故圆心在上，设圆心坐标，则，解得．故其半径．故圆的方程为：；（2）设直线l的方程为：，因为为等腰直角三角形，∴圆心到直线的距离，即，解得或－8，所以l：或．17．【正确答案】见详解解(1)因为双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±eq\f(a,b)x，所以eq\f(a,b)＝2，又焦点(0，c)到直线y＝2x的距离d＝eq\f(|－c|,\r(22＋(－1)2）＝1，所以c＝eq\r(5)，又c2＝a2＋b2，所以a2＝4，b2＝1，所以双曲线C的方程为eq\f(y2,4)－x2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的斜率为k，由题知x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)－x\o\al(2,1)＝1，,\f(y\o\al(2,2),4)－x\o\al(2,2)＝1，）两式相减得eq\f(y\o\al(2,1),4)－eq\f(y\o\al(2,2),4)－xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝0，即eq\f((y1＋y2)(y1－y2),4)＝(x1＋x2)(x1－x2)，即eq\f((y1＋y2)(y1－y2),(x1＋x2)(x1－x2）＝4，所以4k＝4，解得k＝1，所以直线l的方程为y－4＝x－1，即x－y＋3＝0，经检验直线l：x－y＋3＝0与双曲线C有两个交点，满足条件，所以直线l的方程为x－y＋3＝0.18．【正确答案】(1)(2)（i）证明见解析；（ii）【详解】（1）抛物线，其焦点为，准线方程为，可得，且，解得（另一个根舍去），，则抛物线的方程为；（2）（i）如图，设的方程为，，联立，可得，则，又，，由，可得，解得（另一个根舍去），所以直线恒过定点；（ii）由上小问可得，不妨设，则与面积之和为，，当且仅当，时，上式取得等号，则与面积之和的最小值为．19．【正确答案】(1)证明见解析(2)不存在实数，理由见解析(3)为“质朴椭圆”，理由见解析