2024-2025学年山东省淄博市高三上学期期中考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省淄博市高三上学期期中考试数学检测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，3}，集合B＝{y|y＝x2，x∈A}，则集合B的子集个数为（）A．7 B．8 C．16 D．322．（5分）已知i是虚数单位，a∈R，则“（a+i）2＝2i”是“a2＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）在（0，2π）内，使sinx＞|cosx|的x的取值范围是（）A． B．（，]∪（，] C． D．4．（5分）设a＝，b＝，c＝log2（log23），则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b5．（5分）在等比数列{an}中，若a1•a5•a12为一确定的常数，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列各数为常数的是（）A．T6 B．T8 C．T10 D．T116．（5分）在△ABC中，已知sin2A+sin2C+cos2B＝sinCsinA+1，且满足，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形7．（5分）若正数x，y满足xy﹣2x﹣y＝0，则的最小值是（）A．2 B． C．4 D．8．（5分）设函数f（x）＝，g（x）＝lnx，若对任意实数x∈（0，+∞），f（x）•g（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．φ B．（]∪[1，+∞） C．[） D．[]二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）设数列{an}的前n项和为Sn，，S1＝32，则下列说法正确的是（）A．{an}是等差数列 B．S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，公差为﹣9 C．当n＝16或n＝17时，Sn取得最大值 D．Sn≥0时，n的最大值为32（多选）10．（6分）在锐角△ABC中，tanB＝3tanC，角A、B、C对边分别为a，b、c，则下列式子不正确的是（）A．a＝2c•cosB B． C．tanA•tan2C≥ D．若AC上有一动点P，则最小值为（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），且对任意的x∈R，都有f（x）+f'（x）＞0，则下列说法正确的是（）A．ef（1）＜f（0） B．ef（1）＞f（0） C．2f（ln2）＜ef（1） D．2f（ln2）＞ef（1）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知数列{an}满足，则a2024＝．14．（5分）对任意实数x，以[x]表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分，如[4.2]＝4，[﹣7.6]＝﹣8等．定义{x}＝x﹣[x]，称它为x的小数部分，如{3.1}＝0.1，{﹣7.6}＝0.4等．若直线kx+y﹣k＝0与y＝{x}有四个不同的交点，则实数k的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量＝（cosx，﹣sinx），，x∈R．设f（x）＝•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（∠BAC）＝1，AB＝2，，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD长．16．（15分）已知函数f（x）＝ln（ax+1）﹣x为R上的偶函数，a＞0且a≠0．（1）求a；（2）求g（x）＝ef（x）在x＝1处的切线方程．17．（15分）已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且3a1，a3，5a2成等差数列，S4+5＝5a3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝an•log3an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（17分）已知函数f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a），a∈R．（1）当a＞﹣2时，研究f（x）的单调性；（2）若a≥0，当x＝x1时，函数f（x）有极大值m；当x＝x2时，f（x）有极小值n，求m﹣n的取值范围．19．（17分）若函数y＝f（x）对定义域上的每一个值x1，在其定义域上都存在唯一的x2，使f（x1）f（x2）＝1成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”．（1）判断函数g（x）＝sinx在R上是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数f（x）＝2x﹣1在定义域[0，m]上为“依赖函数”，求实数m的值；（3）当时，已知函数h（x）＝（x﹣a）2在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的t∈R，不等式h（x）≥﹣t2+s﹣2t+4都成立，求实数s的最大值．

答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，3}，集合B＝{y|y＝x2，x∈A}，则集合B的子集个数为（）A．7 B．8 C．16 D．32【正确答案】B【分析】根据集合间的关系可解出B，在根据子集相关知识可解．解：因为集合A＝{﹣1，1，2，3}，则集合B＝{y|y＝x2，x∈A}＝{1，4，9}，又集合B中有3个元素，则集合B的子集个数为23＝8个．故选：B．2．（5分）已知i是虚数单位，a∈R，则“（a+i）2＝2i”是“a2＝1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，求出a的值，即可求解．解：（a+i）2＝2i，则a2+2ai﹣1＝2i，即，解得a＝1，a2＝1，解得a＝1或a＝﹣1，故“（a+i）2＝2i”是“a2＝1”的充分不必要条件．故选：A．3．（5分）在（0，2π）内，使sinx＞|cosx|的x的取值范围是（）A． B．（，]∪（，] C． D．【正确答案】A【分析】由题意可得sinx＞0，讨论当x＝时，当0＜x＜时，当＜x＜π时，运用同角的商数关系，结合正切韩寒说的图象，即可得到所求范围．解：由sinx＞|cosx|≥0，可得sinx＞0，再由x∈（0，2π），可得x∈（0，π），当x＝时，sinx＝1，cosx＝0，显然成立；当0＜x＜时，由sinx＞cosx，即tanx＞1，可得＜x＜；当＜x＜π时，sinx＞﹣cosx，即有＞1，则tanx＜﹣1，解得＜x＜，综上可得x∈．故选：A．4．（5分）设a＝，b＝，c＝log2（log23），则（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b【正确答案】D【分析】根据题意，利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性比较大小，即可得到本题的答案．解：根据＝＞＝0.8，可得0.8＜a＜1，由y＝是R上的增函数，可得＞，即b＞1．因为21.6＝＝＞＝3，y＝log2x是（0，+∞）上的增函数，所以log23＜log221.6＝1.6，可得log2（log23）＜log21.6，又因为1.65＜16，可得1.6＜＝＝20.8，所以log21.6＜log220.8＝0.8，可得c＝log2（log23）＜0.8．综上所述，c＜a＜b，D项符合题意．故选：D．5．（5分）在等比数列{an}中，若a1•a5•a12为一确定的常数，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列各数为常数的是（）A．T6 B．T8 C．T10 D．T11【正确答案】D【分析】由已知可得a6为常数，然后结合等比数列的性质即可求解．解：因为等比数列{an}中，a1•a5•a12＝a5•a6•a7＝为常数，则a6为常数，又数列{an}的前n项积为Tn，则T11＝a1a2…a11＝为常数．故选：D．6．（5分）在△ABC中，已知sin2A+sin2C+cos2B＝sinCsinA+1，且满足，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【正确答案】C【分析】根据正弦定理和余弦定理得，再根据向量数量积得，则得到，即可判断三角形形状．解：由题意得sin2A+sin2C＝sinCsinA+1﹣cos2B，即sin2A+sin2C＝sinCsinA+sin2B，由正弦定理得a2+c2＝ac+b2，即a2+c2﹣b2＝ac，则，因为B∈（0，π），所以，又，所以＝，故，因为，所以．综上可知三角形为等边三角形．故选：C．7．（5分）若正数x，y满足xy﹣2x﹣y＝0，则的最小值是（）A．2 B． C．4 D．【正确答案】C【分析】由xy﹣2x﹣y＝0得，代入后利用基本不等式即可求解．解：因为正数x，y满足xy﹣2x﹣y＝0，所以，则x﹣1＞0，所以，当且仅当，即x＝2时，等号成立．故选：C．8．（5分）设函数f（x）＝，g（x）＝lnx，若对任意实数x∈（0，+∞），f（x）•g（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．φ B．（]∪[1，+∞） C．[） D．[]【正确答案】D【分析】由题意，讨论x∈（0，1）时g（x）＜0，则f（x）≤0，求得a的取值范围；x∈[1，+∞）时g（x）≥0，则f（x）≥0，求得a的取值范围，再取它们的公共部分即可．解：函数f（x）＝，g（x）＝lnx，当x∈（0，1）时，g（x）＜0，由题意知f（x）＝ax﹣1≤0，解得a≤，∴a≤1；当x∈[1，+∞）时，g（x）≥0，由题意知f（x）＝2ax﹣1≥0，解得a≥，∴a≥；综上，实数a的取值范围是≤a≤1．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）设数列{an}的前n项和为Sn，，S1＝32，则下列说法正确的是（）A．{an}是等差数列 B．S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，公差为﹣9 C．当n＝16或n＝17时，Sn取得最大值 D．Sn≥0时，n的最大值为32【正确答案】AC【分析】先根据已知条件得出数列是等差数列，；再根据an，Sn的关系求出an＝﹣2n+34，根据等差数列的定义即可判断选项A；根据可求出S3，S6﹣S3，S9﹣S6即可判断选项B；利用二次函数性质可判断选项C；根据Sn≥0解不等式即可判断选项D．解：由，S1＝32可得：数列是以32为首项，﹣1为公差的等差数列．则．所以，对于选项A：∵，∴当n＝1时，；当n≥2时，；∵﹣2×1+34＝a1，∴an＝﹣2n+34，∵an+1﹣an＝[﹣2（n+1）+34]﹣（﹣2n+34）＝﹣2，∴数列{an}是等差数列，故选项A正确；对于选项B：∵，∴，，，∴S6﹣S3＝72，S9﹣S6＝54，则2（S6﹣S3）＝S3+（S9﹣S6），（S6﹣S3）﹣S3＝﹣18，所以S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，公差为﹣18，故选项B错误；对于选项C：∵，n∈N*∴当n＝16或n＝17时，Sn最大，故选项C正确；对于选项D：令，得0≤n≤33，n∈N*，即满足Sn≥0的最大正整数n＝33，故选项D错误．故选：AC．（多选）10．（6分）在锐角△ABC中，tanB＝3tanC，角A、B、C对边分别为a，b、c，则下列式子不正确的是（）A．a＝2c•cosB B． C．tanA•tan2C≥ D．若AC上有一动点P，则最小值为【正确答案】ABD【分析】由题设，结合三角恒等变换及正弦定理可判定A；由余弦定理及基本不等式可判定B；根据两角和的正切公式结合基本不等式可判定C；根据平面向量数量积运算结合二次函数的最值可判定D．解：A项，对于A，tanB＝3tanC，则，即sinBcosC＝3cosBsinC，即sin（B+C）＝sinA＝4cosBsinC，由正弦定理得：a＝4c•cosB，故A项错误；B项，由a＝4c•cosB及余弦定理，可得，化简得2b2＝a2+2c2，由基本不等式知，，当且仅当a2＝2c2，即时等号成立，所以，故B项错误；C项，在锐角△ABC中，由，且tan（A+B）＝﹣tanC，整理得tanA•tanB•tanC＝tanA+tanB+tanC，由基本不等式可得：tanA•tanB•tanC＝tanA+tanB+tanC≥，整理得tanA•tanB•tanC≥，当且仅当tanA＝tanB＝tanC时，等号成立，又由tanB＝3tanC，可得＝，故C项正确；D项，过B作BD⊥AC，则CD＝BC•cosC＝acosC，又P在CD之间运动时，与的夹角为钝角，因此要求•的最小值，P应在CD之间运动，即，又＝＝，所以当时，取得最小值为，故D项错误．故选：ABD．（多选）11．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），且对任意的x∈R，都有f（x）+f'（x）＞0，则下列说法正确的是（）A．ef（1）＜f（0） B．ef（1）＞f（0） C．2f（ln2）＜ef（1） D．2f（ln2）＞ef（1）【正确答案】BC【分析】令g（x）＝exf（x），由题意得，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，逐一判断ABCD即可．解：∵令g（x）＝exf（x），对任意的x∈R，都有f（x）+f'（x）＞0，∴g'（x）＝exf（x）+exf'（x）＝ex[f（x）+f'（x）]＞0，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴g（0）＜g（1）⇒f（0）＜ef（1），故A错误，B正确；g（ln2）＜g（1）⇒eln2f（ln2）＜ef（1）⇒2f（ln2）＜ef（1），故C正确，D错误．故选：BC．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【正确答案】（﹣∞，）．【分析】求出函数的导函数，依题意f'（x）＝0存在唯一的变号正实根，即（x﹣1）（ex﹣2ax）＝0存在唯一的变号正实根，当a≤0符合题意，当a＞0时参变分离可得没有除1之外的正实根，构造函数，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而求出a的取值范围．解：因为，x∈（0，+∞），所以，依题意可得f'（x）＝0存在唯一的变号正实根，即（x﹣1）（ex﹣2ax）＝0存在唯一的变号正实根，当a≤0时，ex﹣2ax＞0，方程只有唯一变号正实根1，符合题意，当a＞0，方程ex﹣2ax＝0，即没有除1之外的正实根，令，则，所以当0＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＞1时，g'（x）＞0，即g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝e，所以0＜2a＜e，综上可得a∈（﹣∞，）．故（﹣∞，）．13．（5分）已知数列{an}满足，则a2024＝．【正确答案】．【分析】求得数列的前几项，可得数列{an}是最小正周期为4的数列，即可得到所求值．解：，可得a2＝2a1﹣1＝﹣1＝，a3＝2a2﹣1＝﹣1＝，a4＝2a3＝，a5＝2a4＝，a6＝2a5﹣1＝﹣1＝，...，可得数列{an}是最小正周期为4的数列，则a2024＝a4＝．故．14．（5分）对任意实数x，以[x]表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分，如[4.2]＝4，[﹣7.6]＝﹣8等．定义{x}＝x﹣[x]，称它为x的小数部分，如{3.1}＝0.1，{﹣7.6}＝0.4等．若直线kx+y﹣k＝0与y＝{x}有四个不同的交点，则实数k的取值范围是（﹣，﹣]∪[，）．【正确答案】见试题解答内容【分析】由题意分析y＝{x}是周期为1的函数，又y＝﹣k（x﹣1）恒过（1，0）得有4个不同的交点时的k的取值范围．解：直线kx+y﹣k＝0整理得：y＝﹣k（x﹣1），直线恒过（1，0），如图所示：当x0≤x＜1时，{x}＝x，又因为y＝{x}是周期为1的函数，由y＝{x}与y＝﹣k（x﹣1）图象可知：﹣k∈（﹣，﹣]∪[，），所以k∈（﹣，﹣]∪[，）．故（﹣，﹣]∪[，）．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知向量＝（cosx，﹣sinx），，x∈R．设f（x）＝•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，若f（∠BAC）＝1，AB＝2，，∠BAC的平分线交BC于点D，求AD长．【正确答案】（1），k∈Z；（2）2．【分析】（1）由平面向量数量积的运算和三角恒等变换化简后结合正弦函数的单调性即可求得；（2）由题可得，再由余弦定理求出AC，再由等面积法建立方程求解即可．解：（1）＝＝，令，k∈Z，则，k∈Z，所以函数的单调增区间为，k∈Z；（2）由题意得：，因为0＜∠BAC＜π，所以，即，所以，在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠BAC，即6＝4+AC2﹣2AC，解得，因为∠BAC的平分线交BC于点D，所以S△BAD+S△CAD＝S△ABC，所以＝，所以，解得AD＝2．16．（15分）已知函数f（x）＝ln（ax+1）﹣x为R上的偶函数，a＞0且a≠0．（1）求a；（2）求g（x）＝ef（x）在x＝1处的切线方程．【正确答案】（1）a＝e2；（2）．【分析】（1）由偶函数的定义可得f（﹣1）＝f（1），代入化简可得a的值．（2）由导数的几何意义可得g′（1）是g（x）在x＝1处的切线斜率，进而结合g（1）得到切线的点斜式方程，化简可得结果．解：（1）因为函数f（x）＝ln（ax+1）﹣x为R上的偶函数，所以有f（﹣x）＝f（x），当x＝1时，f（﹣1）＝f（1），即ln（a﹣1+1）+1＝ln（a+1）﹣1，ln（a+1）﹣ln（a﹣1+1）＝2，，解得a＝e2，此的，经检验，f（x）为R上的偶函数，所以a＝e2．（2）由（1）得，所以，则，则，又，所以g（x）＝ef（x）在x＝1处的切线方程为，即．17．（15分）已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且3a1，a3，5a2成等差数列，S4+5＝5a3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝an•log3an+1，求数列{bn}的前n项和Tn．【正确答案】（1）an＝3n﹣1，n∈N*；（2）Tn＝•3n+．【分析】（1）先设等比数列{an}的公比为q（q＞0），再根据等比数列的定义及等差中项的性质列出关于公比q的方程，解出q的值，进一步根据S4+5＝5a3代入计算出首项a1的值，即可计算出数列{an}的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和Tn．解：（1）由题意，设等比数列{an}的公比为q（q＞0），∵3a1，a3，5a2成等差数列，∴2a3＝3a1+5a2，即2a1q2＝3a1+5a1q，∵a1＞0，∴2q2＝3+5q，整理，得2q2﹣5q﹣3＝0，解得q＝﹣（舍去），或q＝3，又∵S4+5＝5a3，∴+5＝5•a1•32，解得a1＝1，∴an＝1•3n﹣1＝3n﹣1，n∈N*．（2）由（1）可得，bn＝an•log3an+1＝3n﹣1•log33n＝n•3n﹣1，∴Tn＝b1+b2+…+bn＝1•30+2•31+3•32+…+n•3n﹣1，3Tn＝1•31+2•32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n，两式相减，可得﹣2Tn＝1+31+32+…+3n﹣1﹣n•3n，＝﹣n•3n，＝﹣•3n﹣，∴Tn＝•3n+．18．（17分）已知函数f（x）＝ex（x2﹣ax﹣a），a∈R．（1）当a＞﹣2时，研究f（x）的单调性；（2）若a≥0，当x＝x1时，函数f（x）有极大值m；当x＝x2时，f（x）有极小值n，求m﹣n的取值范围．【正确答案】（1）f（x）在（﹣2，a）上单调递减，在（﹣∞，﹣2），（a，+∞）上单调递增；（2）[4e﹣2，+∞）．【分析】（1）对函数求导并结合a＞﹣2即可判断出f（x）的单调性；（2）根据（1）中结论可得m﹣n＝e﹣2（4+a）+aea，构造函数g（a）并求导得出其单调性即可求得m﹣n的取值范围．解：（1）易知函数f（x）的定义域为x∈R，则f'（x）＝ex（x+2）（x﹣a），又因为a＞﹣2，所以当x∈（﹣2，a）时，f′（x）＜0，当x∈（﹣∞，﹣2）或x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0；因此可得f（x）在（﹣2，a）上单调递减，在（﹣∞，