2024-2025学年山东省淄博市高二上学期第一次月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年山东省淄博市高二上学期第一次月考数学检测试题一、单选题1．现有质地相同的4个球，编号为1，2，3，4，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于4的概率是（

）A． B． C． D．2．设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．3．已知直线和直线，则是两直线平行的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知直线过点，且方向向量为，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．5．如图，平行六面体的所有棱长为2，四边形ABCD是正方形，，点是与的交点，则直线与所成角的余弦值为（

）

A．1 B． C． D．6．已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数（

）A．9 B． C．8 D．7．设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（

）A． B． C．1 D．8．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是对立的事件是(

).A．“恰有一名女生”和“全是女生”B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C．“至多有一名男生”和“全是男生”D．“至少有一名男生”和“全是女生”10．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M、N两点，且点为线段MN的中点，则下列说法正确的是（

）A．椭圆C的离心率为B．椭圆上存在点Q使得C．直线l的方程为D．的周长为11．已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为（

）A．圆上恰有一个点到直线的距离为B．四边形面积的最小值为C．存在唯一点，使得D．直线恒过定点三、填空题12．已知随机事件中，与相互独立，与对立，且，，则.13．已知点，直线被圆所截得弦的中点为，则MN的最大值是.14．加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是.四、解答题15．在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.(1)求比赛只需打三局的概率；(2)已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.16．已知以点为圆心的圆与直线相切.(1)求圆A的方程；(2)过点的直线l与圆A相交与M，N两点，当时，求直线l方程；(3)已知实数x，y满足圆A的方程，求的取值范围.17．如图，在直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点.

(1)证明：平面；(2)已知，，求CD与平面所成角的大小.18．在三棱台中，为中点，，，.(1)求证：平面；(2)若，，平面与平面所成二面角大小为，求三棱锥的体积.19．已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切.(1)求的方程；(2)设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交于另一点，①证明：直线经过定点；②求的内切圆半径的范围.答案：1．A从编号为1，2，3，4，的小球中一次性随机取两个球，有，，，，，，共6种情况，两个球的号码之和大于4的情况有，，，，共4种情况，所以两个球的号码之和大于4的概率.故选：A2．B时，倾斜角的范围是，当时，倾斜角的范围是，综上，倾斜角范围是．故选：B．3．A若直线和直线平行，则，解得或，因此，是两直线平行的充分不必要条件.故选：A.4．B由点，点.又直线的方向向量为，所以点到的距离.故选：B.5．B取的中点，连接，，因为，所以直线与所成角即为与所成的角，所以，

所以，即，又因为，所以，所以直线与所成角的余弦值为.故选：B．6．B圆可化为，圆心为，半径为.若圆M与圆恰有三条公切线，则两圆外切.圆可化为，圆心为，半径为，.由，所以，解得.故选：B7．C由三角形的面积公式可得，得，由，得，所以为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得，解得.故选：C8．B点关于的角平分线的对称点N必在上，因此共线，，，设，则，，，又，∴，中，由余弦定理得：，∴，化简得，∴，，中，，由余弦定理得，解得，故选：B．

9．CD对于A选项，“恰有一名女生”和“全是女生”不能同时发生，但可以同时不发生，所以A不是对立事件；对于B选项，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同时发生，即一名男生和一名女生的事件，所以B不是对立事件；对于C，“至多有一名男生”和“全是男生”不能同时发生，但必有一个发生，C是对立事件；对于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同时发生，但必有一个发生，D是对立事件.故选：CD.10．BCDA.由条件可知，，解得：，所以椭圆，所以，椭圆的离心率，故A错误；B.由椭圆方程可知，，，以为直径的圆与椭圆由4个交点，所以椭圆上存在点使得，故B正确；C.设，，代入椭圆方程，，两式相减得，由题意可知，，，所以，，所以，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，整理为，故C正确；D.因为直线过椭圆的焦点，所以的周长为，故D正确.故选：BCD11．BCD由圆，可知圆心，半径.对于A，由圆心到直线的距离为，所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为（当时，直线与圆的两个交点处分别取等号）.而，所以圆上有两个点到直线的距离为，故A错误；对于B，四边形的面积，由圆的性质可得切线长，所以当最小时（时）,，所以四边形的面积的最小值为1，故B正确；对于C，若，由，，则四边形为正方形，则，设，则，解得，即存在唯一P点，使得，故C正确；对于D，设，因为为过点作圆的切线，所以点在以为直径的圆上.又，所以以为直径的圆为，即.与圆联立，相减，即为直线的方程为.由，得，即直线恒过定点，故D正确.故选：BCD.12．/由与为对立事件，则，又与相互独立，则，所以.故答案为.13．由于直线恒过定点，圆的圆心，设，则，故，即，化简可得，故点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，由于在圆外，,故，即，则MN的最大值是.故答案为.14．由椭圆方程可知蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因为点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以直线和蒙日圆有公共点.即圆心到直线的距离不大于半径，即，所以，所以椭圆离心率，所以.故答案为.15．(1)(2)（1）设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”，则，，比赛只需打三局的概率为：.（2）甲需要打三局的概率为：，甲需要打四局的概率为：，甲需要打五局的概率为：，则甲最终获胜的概率为.16．(1);(2)或;(3).（1）由题意知点到直线的距离为圆的半径，由点到直线的距离公式可得,所以圆的方程为.（2）因为直线与圆相交与两点，且，利用垂径定理和勾股定理，可得圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直到直线的距离为，符合题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由题意可得，解得，所以直线的方程为，即，综上所述：直线的方程为或.（3）表示点到的距离的平方，又圆心到到的距离为，所以点到的距离的最小值为，最大值为所以的最小值为，最小值为，即的取值范围是.17．(1)证明见解析(2)（1）连结，交于点，连结，因为点分别是的中点，所以,平面，平面，所以平面；

（2）因为，，所以，所以，如图，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，

，，，，，，，设平面的法向量为，所以，令，则，，所以平面的法向量为，设与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的大小为.18．(1)证明见解析(2)（1）在三棱台中，为中点，则，又，，，四边形为平行四边形，，又，，，，，，平面，平面.（2），，，又，，平面，平面，连接，，，为中点，；以为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，设，则，，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得：，，；又平面的一个法向量，，解得：，即，平面，平面平面，平面，.19．(1)(2)①证明见解析