2024-2025学年山东省青岛市高三上学期部分学生调研数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年山东省青岛市高三上学期部分学生调研数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若集合，，则（）A． B．C． D．2．已知都是实数，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A．向右平移个单位 B．向左平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位4．已知平面向量，满足，且，则在方向上的投影向量为（）A． B．C． D．5．函数的大致图象为（）A．

B．

C．

D．

6．“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n是奇数，就将它乘3后加1.不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.若n经过5次运算后首次得到1，则n的所有不同取值的和为（）A．16 B．32 C．37 D．57．若正数a，b满足，则（）A．128 B．108 C．2 D．18．定义在上的函数对，，都有，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知三条直线l，m，n和三个平面，，，则（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则10．已知函数，则（）A．的定义域（）B．是y=fx图象的一条对称轴C．在区间上单调递增D．的最大值为11．已知实数，满足，则（）A． B．C． D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知等差数列（）中，，成等比数列，，则.13．已知曲线在处的切线与曲线相切，则.14．已知集合，若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为.四、解答题（本大题共5小题）15．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求A；(2)若，内切圆半径，求a.16．已知数列满足：，，.(1)求数列的通项公式；(2)记表示不超过x的最大整数，，求17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面PAD与平面PBD夹角为45°.(1)点P，A，B，C，D均在同一球面上，求该球的体积；(2)点E，F，G分别在棱AB，BC，PB上，当为等边三角形时，求直线AD与平面EFG所成角的正弦值18．已知函数（且），当时，.(1)求；(2)若为的极小值，求的取值范围；(3)证明.19．如果一个实数是有理数，或是对有理数进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，或是对这些结果继续进行有限次加、乘和开二次方根运算的结果，则称这个实数为可解数.如果一个角的正弦值和余弦值都是可解数，则称这个角为可解角.如：角都是可解角.(1)判断，，是否为可解数（无需说明理由）；(2)证明：角是可解角；(3)已知每个可解数a都是某些整系数多项式函数（）的零点，这些多项式中，x的最高次数n最小，且系数，，，…，的最大公约数为1的多项式函数称为a的最小多项式函数.任一可解数a的最小多项式函数中x的最高次数n必为（）.例如：的最小多项式函数不是，而是.证明：角不是可解角，并求整数度数的锐角中最小的可解角.

答案1．【正确答案】C【详解】因为，所以,所以,,所以.故选：C.2．【正确答案】B【详解】当时，无意义，当时，由不等式性质可得，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3．【正确答案】D【详解】，所以将函数的图象向右平移个单位即得函数的图象，故选：D．4．【正确答案】A【详解】由已知，在方向上的投影向量为，故选：A．5．【正确答案】A【详解】当时，，，所以，故D错误；因为为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，故C错误；当时，，，因为，所以函数在上存在单调减区间，故B错误；故选：A6．【正确答案】C【详解】如果正整数按照上述规则经过5次运算得到1，则经过4次运算后得到的一定是2；经过3次运算后得到的一定是4；经过2次运算后得到的为8或1（不合题意）；经过1次运算后得到的是16；所以开始时的数为5或32.可得5+32=37.故选：C.7．【正确答案】B【详解】令，则，，，因为，所以，所以，故选：B．8．【正确答案】B【详解】不妨设，所以.设，则在上单调递减.又，即，所以为偶函数.又不等式可化为：，即，所以.故选：B9．【正确答案】AD【详解】对于选项A：若，，则，故A正确；对于BC,在正方体中，选项B：取为平面，为平面，，符合题设，但平面，故B错误；选项C：取为平面，为平面，，但平面与平交，故C错误；对于选项D：若，，显然，所以，故D正确；故选：AD.10．【正确答案】ABD【详解】由得，A正确；，所以是是y=fx图象的一条对称轴，B正确；，，时，，递减，，递减，从而递减，所以递减，所以递减，C错；时，，，同理选项C可得在上递增，的最小正周期是，所以，D正确．故选：ABD．11．【正确答案】BC【详解】因为，所以，即，则，令，，，则，，所以，因为，所以，故A错误，B正确；，因为，所以，故C正确，D错误.故选：BC12．【正确答案】25或13；【详解】设公差为，因为，，成等比数列，所以，即，所以或，若，则，，则，，，，故13或25.13．【正确答案】/【详解】因为，则，当，可得，即切点坐标为，切线斜率为，则切线方程为，即；又因为，则，设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为，即，可得，解得.故答案为.14．【正确答案】【详解】设为的奇子集，则若，令，若，令为把中的去掉后剩下的元素形成的集合，则中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，显然每个奇子集，均恰有一个偶子集与之对应，每个偶子集，均恰有一个奇子集与之对应，故的奇子集与偶子集个数相等；对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知，在时，这个子集中有一半为奇子集，在时，由于，将上边的3换成5，同样可得其中有一半为奇子集，于是在计算奇子集元素之和时，含元素的和是，奇子集容量之和是.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)1【详解】（1）由正弦定理得因为，所以所以即，且，所以（2）又因为所以，即，所以①，由余弦定理得②，所以，所以，解得16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）解：由题知：，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列所以，所以；（2）因为，，两式作差得，所以，易求得，，，因为，所以是递减数列，当时，，所以，综上，.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为底面ABCD为矩形，所以，又因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD，所以平面PCD，所以，同理：，又因为，平面ABCD，所以平面ABCD，由题知，由平面ABCD为矩形知：，所以，所以，ABCD为正方形，记PB中点为，可求得：，所以O为该球的球心，其半径因此，该球的体积（2）若平面EFG与平面PAC不平行，依平行性，不妨将点G放在点P的位置，不妨设E不在A的位置，则，，不合题意若平面平面PAC，则，所以，所以为等边三角形，又因为平面平面PAC，两平面的法向量共线，所以直线AD与平面EFG所成角等于AD与平面PAC所成角以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则P0,0,1，，A1,0,0，，设平面PAC的一个法向量为，则，所以，令，得显然，设AD与平面PAC所成角为，则18．【正确答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）由知，的最小值为所以解得，即（2）函数fx的定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数为偶函数，故只需研究的情况，若，则，令，则，所以ℎx在0,+∞所以，在0,+∞上单调递增，依对称性，在上单调递减，故为极小值若，，令gx=f令，即，解得（舍），所以因为，当时，，f'x在上单调递减，所以f'x在上均小于，所以在上单调递减，而，故不合题意，综上，的取值范围为；（3）结合（2）：令，则，解得令，即，得，则，解得，所以．19．【正确答案】(1)是可解数，是可解数，不是可解数(2)证明见解析(3)证明见解析；是整数度数的锐角中的最小可解角【详解】（1）根据题意可知：是可解数，是可解数，不是可解数（2）设，则又因为，所以，解方程，得是可解数，又显然是可解数，所以72°角是可解角.（3）先证明角不是可解角.因为，所以，即是的零点根据已知结论，若是可解数，那么它的最小多项式函数最高次项次数只能是1或2，即有整系数一次或二次因式，法1：假设，整数a，b，c的最大公约数为1，整数p，q互质，不妨令，，（，完全同理）则若，，当时，，则且，无解；若，，当时，，则且，无解；若，，当时，，则且，无解；若，，当时，，则且，无解；同理，若，，也均无解说明不可能是可解数，20°角不是可解角法2：有整系数一次或二次因式，说明存在有理零点设它的有理零点为，m，n是互质的整数.于是，，所以，