2024-2025学年黑龙江省绥化市肇东市高二上学期期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年黑龙江省绥化市肇东市高二上学期期中考试数学检测试卷一、单选题1.已知点，且直线AB与直线CD垂直，则的值为（）A.−7或0 B.0或7 C.0 D.7【正确答案】B【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解．当时，直线AB的斜率不存在，直线CD的斜率为此时直线AB的方程为x=0，直线CD的方程为，故;当时，则解得，综上，或.故选：B.2.已知两直线和，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用两直线平行的充要条件，列出关于的方程，即可得到答案.因为，所以，且，解得.故选：A.3.已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】求出PA，PB所在直线的斜率，判断直线l的倾斜角与斜率的变化，数形结合得答案．点，直线的斜率，直线的斜率，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足或，即或，所以直线l的斜率的取值范围为.故选：D4.在正方体中，直线与平面所成的角为（）.A. B. C. D.【正确答案】B【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可.如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，所以，设平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，则，令，即，所以，所以.故选：B5.空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（）A B.C. D.【正确答案】B【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，利用基底表示向量．点为的中点，则有，所以.故选：B.6.，若则（）A.6 B.7 C.8 D.9【正确答案】C【分析】根据空间向量的平行性质，列出方程组，解出的值，即可得答案.根据，则存在一个常数使得，所以可得，解之可得，所以故选：C7.设是一个随机试验中的两个事件，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先利用和事件的概率公式求出，然后利用求解即可.因为，，所以，又，所以，所以.故选：D.8.如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，为的中点，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值.在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A0,0,0、、、，所以，，，则.故选：A.二、多选题9.直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（）A若，则直线平面B.若，则直线平面C.若，则直线与平面所成角的大小为D.若，则平面、所成夹角的大小为【正确答案】BCD【分析】利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.对于A，若，则或，A错；对于B，若，则，B对；对于C，若，则直线与平面所成角的大小为，C对；对于D，若，则平面、所成夹角的大小为，D对.故选：BCD.10.已知直线，直线，则下列结论正确的是（）A.在轴上的截距为 B.过点且不垂直x轴C.若，则或 D.若，则【正确答案】ABD【分析】对于A：根据直线方程求截距即可；对于B：根据直线方程分析斜率和定点，即可得结果；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线垂直列式求参即可.对于选项A：因为直线，令，解得，所以在轴上的截距为，故A正确；对于选项B：因为直线的斜率，即斜率存在，直线不垂直x轴，且，即直线过点，故B正确；对于选项C：若，则直线、均，即两直线重合，不平行，故C错误；对于选项D：若，则，解得，故D正确；故选：ABD.11.对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（）A.若与互斥，则B.若与互斥，则C.若，则D.若与相互独立，则【正确答案】ABD【分析】利用两事件的互斥定义和互斥事件的概率加法公式易判断A,B；根据两事件的包含关系易求得积事件的概率，可判断C；利用独立事件的概率乘法公式可判断D.对于A，当与互斥时，，故，即A正确；对于B，当与互斥时，，故，即B正确；对于C，当时，，故，故C错误；对于D，若与相互独立，则，故D正确.故选：ABD.三、填空题12.甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为___________.【正确答案】【分析】甲恰好连胜两局有两种不同的情况，根据独立事件概率乘法公式可计算每种情况的概率，加和即为所求结果.甲恰好连胜两局有：前两局获胜，第三局失利和第一局失利，后两局获胜两种情况，甲恰好连胜两局的概率.故答案为.13.直线与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为______.【正确答案】【分析】求出点坐标，由直线的倾斜角得出旋转后直线的倾斜角，由斜截式得直线方程，再整理即得．在中令得，所以，又直线的斜率为，倾斜角为，将绕点顺时针旋转得到直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，直线方程为，一般式为.故．14.已知向量，且，则________，_________.【正确答案】①.##②.##【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.因为，，当时，所以，所以；因为，，，所以.故；.四、解答题15.已知平面，四边形为正方形．（1）证明：（2）求与平面所成角的正弦值．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得，，进而可得，可证结论．（2）求得的一个法向量，的一个方向向量，利用向量的夹角公式可求与平面所成角的正弦值.【小问1】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．则，∵，，∴∴；【小问2】设平面的一个法向量为，∵，，∴，∴，令，则，∴平面的一个法向量为；∵∴，∴与平面所成角的正弦值为.16.，，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是.（1）求，两人各自闯关成功的概率；（2）求，，三人中恰有两人闯关成功的概率.【正确答案】（1），两人各自闯关成功的概率都是.（2）【分析】（1）记三人各自闯关成功分别为事件，三人各自独立闯关，由题意结合独立事件的概率公式可列出方程组，从而解得，两人各自闯关成功的概率；（2）三人中恰有两人闯关成功为事件，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可．【小问1】记三人各自闯关成功分别为事件，三人闯关成功与否得相互独立，且满足，解得，，所以，两人各自闯关成功的概率都是.【小问2】设，，三人中恰有两人闯关成功为事件，则，所以三人中恰有两人闯关成功的概率为.17.如图，已知，，，直线．（1）证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；（2）若直线等分的面积，求直线的一般式方程；【正确答案】（1）证明见解析；定点为（2）【分析】（1）方程整理得，可得方程组，解之即得定点坐标；（2）判断为正三角形，推理点为的三等分点（靠近点），由求得，设，利用求出点坐标，即得直线方程.【小问1】由，整理得，由解得，即直线经过定点；【小问2】如图，因，，，,可得：,即为正三角形，又由，可知点为的三等分点（靠近点），则,由题意，直线必与边相交（否则若与边相交于点,则,不合题意），设交点为，依题意，由，可得,解得，则.设点，由,可得，解得，即,于是，,故直线的方程为：，即.18.直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12．（1）求直线的方程（2）求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积．【正确答案】（1）或（2）或【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案；（2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求.【小问1】由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，故可设直线方程为：，且，①又因为直线过点，所以，②由①②解得或，所以直线的方程为：或，即或.【小问2】由（1）可知，当直线的方程为时，；当直线的方程为时，，所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或.19.在棱长为4的正方体中，点在棱上，且.（1）求点到平面的距离；（2）求二面角的正弦值.【正确