2024-2025学年江苏省泰州市高三上学期12月联考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省泰州市高三上学期12月联考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知复数满足的共轭复数为，则（

）A．6 B．5 C．4 D．32．函数的图象大致为（）A． B．C． D．3．若实数x，y满足，则的最小值为（）A．1 B． C． D．4．已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（

）A． B． C． D．5．已知，则“”是“”的（

）．A．充分不必要条件； B．必要不充分条件；C．充要条件； D．既不充分也不必要条件．6．已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的范围为（

）A． B． C． D．7．已知等差数列的前项和为，公差为，若也为等差数列，则的值为（

）A．2 B．3 C．4 D．88．已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是（）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（

）A．B．C．是数列中的最大值D．数列无最大值10．已知圆，为直线上一动点，过向圆引两条切线，为切点，则下列四个命题正确的是（）A．直线与圆总有两个交点.B．不存在点，使.C．直线过定点.D．过作互相垂直的两条直线分别交圆于、和、，则四边形面积的最小值为611．若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（

）A．点是图象的一个对称中心 B．点是图象的一个对称中心C．是周期函数 D．三、填空题（本大题共3小题）12．已知点C在以为直径的圆上，点D为的中点，若，，则的值为.13．已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为．14．若存在正数，使得不等式有解，则实数的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题）15．在中，，，，点D在边上，为的平分线.(1)求的长；(2)若点P为线段上一点，且为等腰三角形，求的值.16．如图，在五面体中，底面为正方形，.

(1)求证：；(2)若为的中点，为的中点，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值.条件①：；条件②.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分17．已知正项数列的前项和为，且．数列满足，为数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；18．已知椭圆：的离心率为，且过点，点与点A关于原点对称，过点作直线l与E交于，两点（异于A点），设直线与的斜率分别为，．(1)若直线l的斜率为，求的面积；(2)求的值．19．已知函数．(1)若，求的极小值．(2)讨论函数的单调性；(3)当时，证明：有且只有个零点．

答案1．【正确答案】B【分析】根据复数的模的公式，结合复数除法和乘法的运算法则和共轭复数的定义进行求解即可.【详解】由，所以，故选：B2．【正确答案】B【详解】由函数，则，当时，不等式显然成立；当时，由，则，故不等式成立；所以函数的定义域为，，所以函数为奇函数，故A、D错误；由，则，由，故C错误.故选：B.3．【正确答案】D【详解】由题设，令且，所以，显然的最小值为，当且仅当，即时取最小值.故选：D4．【正确答案】A【分析】利用与的关系可得是以3为首项，2为公差的等差数列；进而根据等差求和公式即可.【详解】因为为数列的前项积，所以可得，因为，所以，即，所以，又，得，所以，故是以3为首项，2为公差的等差数列；，故选：A5．【正确答案】B【详解】解，当时，即，则，此时解集为，当时，即，则，此时解集为，当时，即，则，此时解集为，故“”成立时，等价于；当“”成立时，等价于，故成立时，不一定推出成立，反之成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B6．【正确答案】D【详解】因为函数的图象关于原点对称，并且在区间上是增函数，所以，所以，又，得，令，得，所以在上的图象与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，所以，解得，综上所述，.故选.7．【正确答案】C【分析】根据等差数列通项公式的函数特点，结合等差数列的求和公式，可得答案.【详解】易知，若也为等差数列，则为完全平方，则，解得.故选：C.8．【正确答案】D【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，因为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆C:，设的中点为，因为为钝角，可知圆C在以为直径的圆内，可得，因为到直线的距离，可知，可得，所以，所以的取值范围是.故选：D.9．【正确答案】ABC【详解】对于A，由可得，（*），由可得.当时，因，则，即（*）不成立；当时，，（*）成立，故，即A正确；对于B，因，故B正确；对于C,D，由上分析，且，则是数列中的最大值，故C正确，D错误.故选：ABC.10．【正确答案】ACD【详解】选项A：因为直线过定点，且，即该定点在圆内，所以直线与圆总有两个交点，A说法正确；选项B：连接，因为为切点，所以与全等，

假设存在点，使，则，此时，因为，所以假设成立，即存在点，使，B说法错误；选项C：设，则，以为直径的圆的方程为，即，又圆，两圆作差可得公共弦直线方程为，消去可得，整理得，令可得直线过定点，C说法正确；选项D：设到直线，的距离为，则，

因为，，所以，又因为，当且仅当或过原点时等号成立，所以，四边形面积，即四边形面积的最小值为6，D说法正确；故选：ACD11．【正确答案】ABD【分析】对于A，令，求得，再令，代入得，可判断结论；对于B，令，求得，再令，代入得，可判断结论；对于C，当满足已知条件，但不符合结论，即可判断；对于D，令，证得时，是3为首项，1为公差的等差数列，可求.【详解】令，则，有，令，则，得，又，所以点是图象的一个对称中心，故A正确；令，则，令，则，又，所以点是图象的一个对称中心，故B正确；设，符合题意，但不是周期函数，故C错误；令，有，则，令，有，，所以时，是3为首项，1为公差的等差数列，所以，故D正确.故选ABD.12．【正确答案】【详解】由，由题意且，则.

故13．【正确答案】【详解】在椭圆中，，，则，即点、，如图，为椭圆上任意一点，则，又因为为圆上任意一点，.当且仅当、、、共线且、在、之间时等号成立．所以的最小值为.故答案为.14．【正确答案】【分析】由转化为，然后构造函数，再利用导数求函数的单调性，从而求解.【详解】因为，，所以，不等式可以化为，令，则，所以．当时，，故函数在上单调递增．当时，，不合题意，舍去．当时，，因为在上单调递增，，所以，即．令，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．当时，，所以在上单调递增，故，所以，即，矛盾，故舍去．当时，，所以当时，，所以，即．综上可得，实数的取值范围是．根据不等式构造函数，利用导数研究求解函数单调性，从而求解不等式.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为为的平分线，所以，所以，所以，所以，即，可得.（2）由余弦定理可得：，所以，所以，由角平分线定理可得：，又因为，所以，又因为，，所以，所以，又因为为等腰三角形，，所以为等边三角形，所以，则为的中点，在中，由余弦定理可得，所以，所以，在中，由余弦定理可得，因为，所以，所以.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：底面为正方形,则，又平面，平面，则平面，又平面平面，平面，故.（2）选①，取中点G,连接，因为，所以，易知为梯形的中位线，则，又平面，故平面，平面，则平面，且必相交，故平面，延长GM交BC于P,则P为中点，易得，故为矩形.以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标系如图：则，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面所成角为.

选②：取中点G,连接，易知为梯形的中位线，，则，由题，，则，故又平面，故平面，延长GM交BC于P,则P为中点，易得，故为矩形.以M为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标系如图：则，则，，，设平面的法向量为，则，即，令，则，设直线与平面所成角为.

17．【正确答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）利用与的关系作差可知数列为等差数列与公差，即可求得通项公式；（2）由（1）表示数列的通项公式，由裂项相消法求和即可；（3）分类讨论为偶数与奇数时转化不等式，再由基本不等式与函数的单调性求最值，最后由不等式恒成立问题转化求参数取值范围即可．【详解】解：（1）当时，；当时，因为，，所以，两式相减得，所以，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以．（2）由题意和（1）得：，所以数列前项和．（3）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即不等式恒成立，即需不等式恒成立．∵，等号在时取得．此时需满足．②当为奇数时，要使不等式恒成立，即不等式恒成立，即需不等式恒成立．∵是随的增大而增大，∴时，取得最小值．此时需满足．综合①、②可得的取值范围是．本题考查由与的关系求等差数列的通项公式，由裂项相消法求前n项和，还考查了数列中由不等式恒成立求参数取值范围，属于较难题.18．【正确答案】(1)；(2)【分析】（1）由条件列方程求可得椭圆方程，联立直线与椭圆的方程，结合弦长公式求出，再求点A到边的距离，由此可求面积；（2）先在条件直线的斜率不存在时，求出，再求，再利用设而不求法求出当直线的斜率存在时的值即可.【详解】（1）因为，所以，因为点在椭圆上，所以，所以，，所以椭圆的方程为，直线：，即，代入得，设，，则，，所以，又因为点到直线：的距离，所以的面积．

（2）当直线斜率不存在，即：时，，不妨取，，因为，，则，，所以，当直线斜率存在时，设：，代入：得，由已知方程的判别式，设，，则，，则．综上可知，．

19．【正确答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）先求导，判断函数单调性，找到极小值点，求出极小值.（2）求出，再求导，根据分类讨论，判断函数单调性.（