2024-2025学年江苏省苏州市高二上学期期中数学检测试题（附解析）

2024-2025学年江苏省苏州市高二上学期期中数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线，若，则（）A.或 B. C.或 D.【正确答案】B【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验.因为，，所以，所以，解得或，当时，，，直线重合，不满足要求，当时，，，直线平行，满足要求，故选：B.2.已知等差数列前项和为，若，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式、等差数列性质计算即得.在等差数列中，由，得.故选：D3.已知等比数列的各项均为负数，记其前项和为，若，则（）A.－8 B.－16 C.－32 D.－48【正确答案】B【分析】利用等比数列的性质先计算，再根据条件建立方程解公比求值即可.设的公比为，则由题意可知，，化简得或（舍去），则.故选：B4.已知圆C的圆心在x轴上且经过，两点，则圆C的标准方程是（）A B.C. D.【正确答案】A【分析】设出圆的标准方程，利用待定系数法计算即可.因为圆C的圆心在x轴上，故设圆的标准方程,又经过，两点，所以，解得，所以圆的标准方程.故选：A.5.已知点，，点A关于直线的对称点为点B，在中，，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先根据对称的性质求出点的坐标，设，再由可求出点的轨迹方程，由图可知中边上的高为圆的半径时，面积最大，从而可求得结果.设的坐标为，则，则的坐标为，设，，．所以.故选：C6.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（）A.6 B. C. D.【正确答案】D【分析】求出直线方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值.两点，B0,3，则，直线方程为，圆的圆心，半径，点到直线的距离，因此点到直线距离的最小值为，所以面积的最小值是.故选：D7.已知和分别是双曲线的左右焦点，以为直径的圆与双曲线交于不同四点，顺次连接焦点和这四点恰好组成一个正六边形，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】设双曲线和圆在第一象限的交点为，根据正六边形可得点的坐标，然后再根据点在双曲线上得到间的关系式，于是可得离心率．由题意得，以为直径的圆的半径为，设双曲线和圆在第一象限的交点为，由正六边形的几何性质可得，∴点的坐标为，又点在双曲线上，∴，即，整理得，∴，解得或，又，∴，∴．故选：C．8.已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则（）A.当时，数列单调递减 B.当时，数列单调递增C.当时，数列单调递减 D.当时，数列单调递增【正确答案】D【分析】根据数列的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.数列是各项为正数的等比数列，则公比为，由题意，得，时，，有，，数列单调递增，A选项错误；时，，，若数列单调递增，则，即，由，需要，故B选项错误；时，，解得，时，，由，若数列单调递减，则，即，而不能满足恒成立，C选项错误；时，，解得或，由AB选项的解析可知，数列单调递增，D选项正确.故选：D思路点睛：此题的入手点在于求数列的通项，根据的定义求得通项，再讨论单调性.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则以下四个命题正确的是（）A.圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1B.圆与圆恰有三条公切线，则C.不存在点，使得D.直线经过定点【正确答案】ABD【分析】A选项，圆心到的距离，为半径的一半，A正确；B选项，根据公切线条数得到两圆外切，从而由圆心距和半径之和相等，列出方程，求出；C选项，求出⊥直线时，OP最小，此时最大，求出此时，C正确；D选项，四点共圆，且为直径，设，求出此圆的方程，两圆方程相减得到直线的方程为，求出定点坐标.A选项，的圆心为，半径为2，圆心到的距离，为半径的一半，故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，A正确；B选项，圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切，即，解得，B正确；C选项，当点运动到⊥直线时，OP最小，此时最大，设，因为的斜率为，则，解得，故，，此时切线长，故，故，故存在点，使得，C错误；D选项，因为⊥，⊥，故四点共圆，且为直径，设，则的中点为，半径为，故以为直径的圆方程为，化简得，与相减后得到，即直线方程为，令，解得，直线经过定点，D正确.故选：ABD结论点睛：设Ax1,y110.在数列中，如果对任意，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差.则下列说法错误的是（）A.等比数列一定是比等差数列，且比公差B.等差数列一定不是比等差数列C.若数列是等差数列，是等比数列，则数列一定是比等差数列D.若数列满足，，则该数列不是比等差数列【正确答案】ABC【分析】根据比等差数列定义直接验证可判断A；令，依定义验证可判断B；令，，然后依定义验证可判断C；根据递推公式求出前4项，然后依定义验证可判断D.若为等比数列，公比，则，，所以，故选项A错误；若，是等差数列，则，故为比等差数列，故选项B错误；令，，则，此时无意义，故选项C错误；因为数列满足，，所以，，故，所以不是比等差数列，故选项D正确.故选：ABC.11.法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（）A.椭圆的蒙日圆方程为B.若为正方形，则的边长为C.若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，则面积的最大值为18D.若是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或【正确答案】ABD【分析】A选项，求出，可得到蒙日圆方程；B选项，设出边长，得到方程，求出答案；C选项，，由基本不等式求出最值；D选项，直线与的交点即为所求点，联立后得到点坐标，进而得到.解：对于A，椭圆的四个顶点处的切线，恰好围成长、宽分别为和的矩形，蒙日圆为此矩形的外接圆，半径，故椭圆的蒙日圆方程为，故A正确；对于B，由题意可知正方形是圆的内接正方形，设正方形的边长为，可得，解得，即正方形的边长为，故B正确；对于C，由题意可得，则为圆一条直径，则，由勾股定理可得，所以当且仅当时，等号成立，因此，面积的最大值为9，故C错误；对于D，过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，，当为直角时，点在椭圆的蒙日圆上，即为直线与圆的交点，由，解得或，即点的坐标为或，则直线（为坐标原点）的斜率为0或，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在中，，则以为焦点，且过点的双曲线的离心率为______.【正确答案】3【分析】由双曲线定义以及焦距、离心率公式即可列式求解.由题意知.故3.13.数列满足，且，则该数列前5项和可能是___________(填一个值即可）【正确答案】5（答案不唯一）【分析】由条件可得，即有或，结合运算即可得．因为，即，所以或，又，故该数列前5项可能为：1、1、1、1、1，或1、1、1、1、2，或1、1、1、2、2，或1、1、2、2、2，或，或1、2、4、8、8，或1、2、4、8、16，该数列前5项和可能是5、6、7、8、、23、31.故5（答案不唯一）.14.已知直线l：的图象与曲线C：有且只有一个交点，则实数k的取值范围是_____________．【正确答案】或【分析】求出动直线所过定点，化简曲线为半圆，作出图象，数形结合可得解.由可得，即直线过定点，由可得，即曲线C：，作出曲线与直线的图象，如图，当直线过点时，斜率，当直线过点时，斜率，直线与曲线相切时，圆心到直线的距离，即，解得或（由图可知不符合题意，舍去），由图可知，当直线斜率满足或时，直线与曲线只有一个交点.故或四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列满足.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，且，若，求的最小值.【正确答案】（1）（2）10【分析】（1）设等差数列的公差为，然后利用公式构建基本量的方程求解即可.（2）先将等差数列的通项代入,得到数列的通项,再求和,解不等式即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，则解得，故.【小问2详解】由（1）可得，则，所以,则数列是是等差数列，故.因为，所以，所以，所以或.因为，所以的最小值是10.16.已知直线过点.（1）若直线在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程；（2）已知的一个顶点为A，AB边上的中线CM所在的直线方程为，AC边上的高BH所在的直线方程为.求BC所在直线的方程.【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）分直线在两坐标轴上的截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将代入得到直线方程；（2）根据垂直得到直线的方程为，将代入，求出直线的方程，联立直线CM和直线的方程求出，再设，则，在直线，在，从而得到方程组，求出，得到，利用两点式求出直线方程.【小问1详解】当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线的方程为，，将代入得，，解得，故直线的方程为，当截距不为0时，设直线的方程为，将代入得，解得，故直线的方程为，所以直线方程为或；【小问2详解】因为⊥，高BH所在的直线方程为，所以设直线的方程为，将代入得，，解得，故直线的方程为，联立与得，故，设，则，在直线上，故①，又在上，故②，联立①②得，，故，BC所在直线的方程为，即.17.已知圆．（1）直线过点且与圆相切，求直线的方程；（2）圆与圆交于两点，求公共弦长．【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）根据直线斜率是否存在分类讨论，再结合点到直线距离及直线与圆相切列出关系式求解即可得出答案.（2）先联立方程组求出公共弦所在直线方程；再根据点到直线距离求出圆心到直线的距离；最后根据弦长公式即可得出答案.【小问1详解】由圆可得：圆心坐标为，半径为1°若直线斜率不存在，则直线方程为，此时点到直线的距离为，故直线与圆相切，符合题意；2°若直线斜率存在，设直线方程为，即.由直线与圆相切可得：，解得．此时直线的方程为：，综上直线的方程为：或．【小问2详解】联立，得：直线方程为．圆心到直线距离为，故公共弦长．18.若数列共有项，都有，其中为常数，则称数列是一个项数为的“对数等和数列”，其中称为“对数等和常数”.已知数列是一个项数为的对数等和数列，对数等和常数为.（1）若，，，求的值；（2）定义数列满足：，，2，3，…，m.（i）证明：数列是一个项数为的对数等和数列；（ii）已知数列是首项为1024，公比为的等比数列，若，求的值.【正确答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）由题干信息可得，即可得答案；（2）（i）注意到，即可证明结论；（ii）由题可得表达式，后由裂项求和法可得答案.【小问1详解】依题意，又，所以，即.【小问2详解】（i）依题意，则，因此，从而，即数列是一个项数为的对数等和数列.（ii）依题意，，即，即，则，又，故，即，此时，即，，注意到，所以.19.已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到双曲线渐近线的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线与椭圆交于两点．①若直线过椭圆右焦点，且的面积为，求实数的值；②若直线过定点，且，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）（2）①；②存在，【分析】（1）根据椭圆的定义和点到双曲线渐近线的距离求出椭圆方程；（2）①联立后根据弦长公式求出弦长