2024-2025学年广西桂林市高二上学期11月期中考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广西桂林市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知直线过原点且与直线垂直，求直线一个方向向量是（）A． B． C． D．2．设向量，，若，则（）A． B． C． D．−23．已知点，，向量，求向量与夹角的余弦值（

）A． B． C． D．4．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围（

）A． B． C． D．5．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（

）A． B．C． D．6．如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（

）

A． B． C． D．7．若双曲线的渐近线与已知圆相切，则（

）A． B．3 C．2 D．8．设，过定点M的动直线和过定点N的动直线交于点，则的最大值是（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（

）A．若，则直线平面B．若，则直线平面C．若，则直线与平面所成角的大小为D．若，则直线与平面所成角的大小为10．已知圆，直线，则（

）A．当时，圆C上恰有两个点到直线的距离等于1B．圆C与圆恰有三条公切线C．直线恒过定点D．直线与圆C有两个交点11．已知方程表示的曲线为E，则（）A．当时，曲线E为焦点在轴上的椭圆B．当时，曲线E为焦点在轴上的椭圆C．当时，曲线E为焦点在轴上的双曲线D．当时，曲线E为焦点在轴上的双曲线三、填空题（本大题共3小题）12．过抛物线的焦点的直线交于两点，则抛物线的方程为．13．如图，已知、分别是四面体的棱AD、的中点，点在线段上，且，设向量，，，则（用表示）

14．已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．年月日是郑和下西洋周年纪念日，也是第个中国航海日.设立“航海日”对于我国开发海洋、维护海权、加强海防、实现建设航天强国和海洋强国的目的，有着十分深远的战略意义.在某次任务中，为了保证南沙群岛附近海域航行的安全，我国航海部门在南沙群岛的中心岛屿正西与正北两个方向，分别设立了观测站，它们与南沙群岛中心岛屿的距离分别为海里和海里.某时段，为了检测观察的实际范围（即安全预警区），派出一艘观察船，始终要求巡视行驶过程中观察船的位置到观测站的距离与南沙群岛中心岛屿的距离之商为.

(1)求小船的运动轨迹方程；(2)为了探查更远的范围，航海部门又安排一艘巡艇，从观测站出发，往观测站方向直线行驶，规定巡艇不进入预警区，求的取值范围.16．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点.(1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆C的标准方程；(2)若，且长轴长为，的面积为，求b的值.17．如图，已知在四棱锥中，平面平面，在四边形ABCD中，，，在中，，点是棱上靠近S端的三等分点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.18．已知点的坐标为，过点的直线与抛物线：交于两点，且，连接，直线斜率与直线的斜率之积为−2.

(1)求的值；(2)若线段AB的垂直平分线与抛物线交于，两点，求的面积.19．已知，分别为双曲线的左，右焦点，与轴分别交于点，，它的一条渐近线的斜率为，且右焦点到该渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程；(2)若过的直线与曲线交于，两点（不与两个顶点重合)，记直线，的斜率为，，证明：为定值．(3)若动点在曲线的左支上，定点，点为圆上一动点，则求的最小值．

答案1．【正确答案】D【详解】由题可知，直线过原点与直线垂直，则直线的斜率为，所以直线的方程为=0，故其中一个方向向量.故选：D2．【正确答案】C【详解】因为，可得，解得故选：C.3．【正确答案】B【详解】由题可知点，所以.故选：B.4．【正确答案】D【详解】根据题意，直线的斜率为，由此得，又因为，所以结合正切函数的单调性，可得.故选：D5．【正确答案】A【详解】根据椭圆的定义，设长轴长为2a，焦距为2c，由题可知，，即万千米，因为天平三号卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米，则，可得万千米，因此，所以椭圆的方程为.故选：A.6．【正确答案】B【详解】在直三棱柱中，，如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，因为，E、F分别为的中点，则，，，，，所以，，，

设平面的法向量为，则，即，取，则，，所以是平面的一个法向量，又因为，所以点F到平面的距离为.因为在直三棱柱中，分别为的中点，则且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，则点F到平面的距离即为直线到平面的距离.故选：B.7．【正确答案】A【详解】双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径r=1，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）.所以.故选：A.8．【正确答案】B【详解】对于动直线可知其过定点，动直线，即，可知其过定点，且，因此两条动直线相互垂直，

可知点Q的轨迹是以为直径的圆，且，则，可得，当且仅当时，等号成立，则，所以的最大值为.故选：B.9．【正确答案】BD【详解】对于A，若，则直线平面或直线平面，A错；对于B，若，则直线平面，B对；对于C，若，可知直线与平面所成角的正弦值为，则直线与平面所成角的大小为，C错；对于D，若，则，可知直线与平面所成角的正弦值为，则平则直线与平面所成角的大小为，D对.故选：BD.10．【正确答案】BCD【详解】对于A，当时，直线，圆心到直线的距离为，而圆C半径为6，因此只有4个点到直线的距离等于1，故A错误；对于B，圆的方程化为，其圆心为，半径为4，两圆的圆心距为，两圆外切，因此它们有三条公切线，故B正确；对于C，直线的方程为，由，，直线恒过定点，故C正确；对于D，36，即定点在圆C内，则直线与圆C相交且有两个交点，故D正确；故选：BCD.11．【正确答案】ACD【详解】对于A，根据题意知，可化为，当时，则，曲线E为焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，根据题意知可化为，当时，，曲线E为焦点在轴上的椭圆，故B错误；对于C，根据题意知可化为，当时，则，曲线E为焦点在轴上的双曲线，故C正确；对于D，根据题意知可化为，当时，则1，曲线E为焦点在轴上的双曲线，故D正确.故选：ACD12．【正确答案】.【详解】直线过点，所以抛物线的焦点，所以，，故抛物线的方程为.故13．【正确答案】．【详解】因为、分别是棱AD、的中点，且，所以.故答案为.14．【正确答案】【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，设，则，，因为，整理可得，即点P在以为圆心，半径的圆上，可知两圆有公共点，则，即，整理可得，解得或，所以实数的取值范围是.故答案为.15．【正确答案】(1)．(2)．【详解】（1）根据已知条件设以为坐标原点，为轴的正方向，建立平面直角坐标系，根据已知条件设且，

由有，；，即，整理得，它是以为圆心，为半径的圆．所以小船的运动的轨迹方程为：．（2）由（1）可知，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，所以直线截距式方程为化为一般式方程为，根据题意，，解得，所以综上可知的取值范围为．16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）已知，因为，所以，点在椭圆上，将其代入椭圆的，可得，即①，又因为，即②，联立①②，整理得，解得或，因为，所以，所以，故椭圆的标准方程为；（2）因为，所以的面积，则，因为长轴长为，即，根据椭圆的定义得，所以，即③，由余弦定理可得，整理得④，联立③④得：，即，则，所以，在椭圆中有，即，解得.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）取AD中点O，连接，过O点作，交于点M，由题可知，，，则，，且，因为，即，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.在四边形中，，则，且，则，以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，可得，且点E是棱上靠近S端的三等分点，则，可知.且，设平面的一个法向量为，则，令，则，可得.又因为，则，可得，且平面，所以平面.（2）由（1）易知，设平面的一个法向量为，则，令，则，可得.设平面与平面夹角的为，则，故平面与平面的夹角的余弦值为.18．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设Ax1,y1由题可知：点，则直线的斜率为：；因为直线斜率与直线的斜率之积为−2，则，解得k=1，又因为点，过点的直线与抛物线交于两点，故直线的方程为，即，联立方程，消去可得，则，可得，因为，则，整理可得，即，解得.（2）由题可知，直线垂直平分线段AB，

设线段AB的中点为，直线的斜率为，由（1）知，则，即，且，所以直线的方程为，即，联立方程，消去可得，可得，设，则，所以，且点到直线的距离为，所以的面积为.19．【正确答案】(1)．(2)证明见解析(3)【详解】（1）因为双曲线的一条渐