2024-2025学年江苏南京市高三上学期11月联考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年江苏南京市高三上学期11月联考数学检测试题注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设复数，在复平面内对应点关于实轴对称，，则的虚部为（）A. B.3 C. D.3.已知向量，，则（）A.“”是“”的充分条件 B.“”是“”的充分条件C.“”是“”的必要条件 D.“”是“”的必要条件4.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A. B. C. D.5.已知圆锥母线与底面所成角为，其内切球（球与圆锥底面及侧面均相切）的表面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.已知偶函数，，是函数的图象与轴相邻的两个交点，是图象在，之间的最高点或最低点，若为直角三角形，则（）A. B. C. D.7.已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（）A. B. C. D.8.已知，是函数在定义域上的两个极值点，若，则的值为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点，，直线.为圆：上的动点，下列选项中正确的是（）A.若圆关于对称，则 B.与圆总有公共点C.面积的最大值为 D.面积的最小值为10.根据气象学上的标准，从秋季进入冬季的标志为连续5天的日平均温度均低于.现将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入冬指标的有（）A.平均数为3，极差为2 B.中位数为7，众数为9C.众数为5，极差为6 D.平均数为4，方差为211.若数列满足，则称数列为项数列，集合是由所有项数列构成，现从集合中任意取出两个数列，，记随机变量，下列选项中正确的是（）A.中有16个元素B.的所有可能取值为0，1，2，，C.D.若期望，则的最小值为32三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为______.（用数字作答）13.已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为______14.在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的首项，且满足.（1）求数列的通项；（2）若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数.16.如图，在棱长为2正方体中，、分别是棱、的中点，为棱上的动点.（1）若点为中点，证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.17.在直角梯形中，已知，，，，.（1）求；（2）若动点，分别在线段，上，且与面积之比为，试求的最小值.18.已知是双曲线：的左焦点，且的离心率为2，焦距为4.过点分别作斜率存在且互相垂直的直线，.若交于，两点，交于，两点，，分别为与的中点，分别记与的面积为与.（1）求的方程；（2）当斜率为1时，求直线的方程；（3）求证：为定值.19.已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）若函数.（i）证明：曲线图象上任意两个不同点处的切线均不重合.（ii）当时，若，使得成立，求实数取值范围.高三数学答案一、选择题：1.【正确答案】C2.【正确答案】D3.【正确答案】B4.【正确答案】B5.【正确答案】C6.【正确答案】D7.【正确答案】A8.【正确答案】A9.【正确答案】BC10.【正确答案】ABD11.【正确答案】ACD二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.【正确答案】5613.【正确答案】14.【正确答案】三、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.【正确答案】（1）（2）40【分析】（1）方法1：将化为，代入计算，即可得到结果；方法2：将原式裂项，然后计算，即可得到结果；（2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果.【小问1详解】设公差为，方法1.，，，.方法2..，，.【小问2详解】由（1）知，.，即，，.16.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）连接，由线面平行判定定理证明即可；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，代入空间向量的线面角公式求出，再求出平面的一个法向量，代入空间向量的二面角公式求解即可；【小问1详解】如图所示：连接，点、分别是，的中点，，又，且，四边形是平行四边形，，，又平面，且平面，面.【小问2详解】以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则A2,0,0，，，，，，，设，，，设平面的一个法向量是，则，取得，因为直线与平面所成的角的正弦值为，所以，解得（负值舍去）故，则平面的一个法向量是，，设平面的一个法向量是m=x,y,z则，取得，所以，故平面与平面夹角的余弦值为.17.【正确答案】（1）6（2）4【分析】（1）作，垂足为，设，，，由，即可求解；（2）设，，由，得到，再结合三角形面积公式即可求解.【小问1详解】作，垂足为，设，，，由于，则，，又，所以，解得（舍去），所以.【小问2详解】设，由（1）.由题：，.又，..当且仅当时取等号.18.【正确答案】（1）（2）（3）证明见解析【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）分别联立直线，直线与双曲线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；（3）分别联立直线，直线与双曲线方程，表示出点坐标，即可得到直线的斜率以及直线的方程，再由点到直线的距离公式分别得到到的距离以及到的距离，即可得到结果.【小问1详解】由，得，又因为，所以，所以，所以.【小问2详解】由题知：，设Ax1,y1联立，消去可得，则，所以，则，又直线，互相垂直，则，设，则，联立，消去可得，则，所以，则，所以.【小问3详解】由题意可知，的斜率不为0，设：，Ax1,y1，B由可得，.所以，，，所以.所以，所以.同理可得：，.令，得.当，，时，直线的斜率.所以：，化简得：，即为.所以到的距离，所以到的距离，所以.由（2）知，当时，，所以.19.【正确答案】（1）答案见解析（2）（i）证明见解析；（ii）【分析】（1）对函数求导后，分和两种情况分析判断导数的正负，从而可求出函数的单调区间；（2）（i）设点和点，不妨设，然后根据导数的几何意义分别求出在两点处的切线，的方程，假设与重合，然后列方程组消去，得，化简后构造函数讨论即可；（ii）先解决对于，不等式恒成立，令，则在上恒成立，由，解得，然后利用证明当时，在上恒成立，从而可求出，使得成立时，的取值范围.【小问1详解】的定义域为，由，得，①当时，，在上单调递增；②当时，则当时，，单调递增；则当时，，单调递减；综上，当时在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；【小问2详解】（i）由，得，设点和点，不妨设，则曲线在点处切线方程为，即；同理曲线在点处的切线方程为；假设与重合，则，化简得，.两式消去，得，则，令，，由，所以在上单调递增，所以，即无解，所以与不重合，即对于曲线在任意两个不同点处的切线均不重合.（ii）当时，先解决对于，不等式恒成立，令，，则在上恒成立，由，解得.下面证明当时，在上恒成立.则当时，，令，则，则当时，由，，则，则在上单调递增，所以；当时，令，则，则在上单调