2024-2025学年河北省高三上学期联考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年河北省高三上学期联考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．若复数满足（为虚数单位），则（）A． B． C． D．2．已知表示不大于的最大整数，集合，则（）A． B． C． D．3．已知平面向量满足，则向量与的夹角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°4．《志愿军：存亡之战》和《浴火之路》是2024年国庆档的热门电影.某电影院在国庆节的白天、晚上分别可以放映5场和3场电影，若上述两部影片只放映一次，且不能都在白天放映，则安排放映这两部电影不同的方式共有（）A．17种 B．32种 C．34种 D．36种5．如图，正方体中，点在上，且，点在上，且，过点的平面将正方体分成上、下两部分，则上、下这两部分的体积比等于（）

A． B． C． D．6．已知定义在上的函数满足且是奇函数，则下列结论正确的是（）A．一定不是奇函数 B．一定不是偶函数C． D．7．已知是方程的两个根，则（）A． B． C． D．8．已知直线，椭圆，直线与椭圆交于点、，点在第三象限，与交于点，设是坐标原点，若，则（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．有个样本数据满足，去掉后，新样本的数字特征可能比原数据变小的是（）A．平均数 B．中位数 C．标准差 D．极差10．已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A． B．C．函数图象关于直线对称 D．函数在上单调递增11．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）A．B．函数为奇函数C．若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则D．若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为三、填空题（本大题共3小题）12．已知△的内角的对边分别为，且成等差数列，，则角．13．已知数列满足，设为数列的前项和，则．14．若袋子中有大小且形状完全相同的黑球个，白球个，现从中随机抽取3个球，表示抽到2个黑球1个白球的概率，则取得最大值时．四、解答题（本大题共5小题）15．为了解某校男生1000米测试成绩与身高的关系，从该校2000名男生中随机抽取100人，得到测试成绩与身高的数据如下表所示：身高范围（cm）测试成绩合格312182215不合格29559(1)该校2000名男生中身高在175cm及以上的人数约为多少？(2)根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，分析体育成绩合格与身高在范围内是否有关．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于、两点，点在抛物线上，且，直线交直线于点（其中是坐标原点）．(1)求抛物线的方程；(2)求证：．17．如图，正六边形的边长为2，将梯形沿翻折至，是的中点．

(1)若平面平面，求三棱锥的体积；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．18．已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：．19．若数列对任意都有成立，则称数列为“等距”数列，设为数列的前项和．(1)写出一个满足，且的“等距”数列的前5项；(2)若“等距”数列共有2024项，且，证明：对于任意整数，都有成立；(3)若“等距”数列满足，请分析项数满足的条件，并说明理由．

答案1．【正确答案】A【详解】，即，则，所以，，故选：A.2．【正确答案】C【详解】因为表示不大于的最大整数，且，所以，，所以，故选：C3．【正确答案】C【详解】由，得，代入，得，所以，即向量与的夹角为，故选：C4．【正确答案】D【详解】若均在晚上播放，则不同的安排方式有种，若白天一场，晚上一场，则有种，故放映这两部电影不同的安排方式共有种，故选：D5．【正确答案】A【详解】如图，设正方体的棱长为，在上取点，使得，

在上取点，使得，连接，易得四边形为平行四边形，则，，在上取点，连接，使得，易得四边形为平行四边形，所以，，所以，，所以过点的平面即平面，在上取点，使得，则，连接，在上取点，使得，则，连接，所以过点的平面分正方体下部分的体积为一个四棱锥和一个四棱锥，及三棱柱，所以，，所以.故选：A.6．【正确答案】D【详解】设函数，则，，所以.又为奇函数.所以满足题意.又为奇函数，故A错误；为偶函数，故B错误；，故C错误；是奇函数，则，，又因为，所以，故D正确.故选：D7．【正确答案】D【详解】因为是方程的两个根，即也是方程的两个根，所以，且可知，又由，则，再由两角差的正切公式可得：，因为，所以，即，则，故选：D.8．【正确答案】B【详解】联立与，将代入可得：，则，所以点坐标为.求直线与椭圆的交点、的坐标（设）联立与椭圆，将代入可得：因为在第一象限，所以，，即.由椭圆对称性和可得.即，转化成坐标即.即，解得.故选：B.9．【正确答案】ACD【详解】比如取个数为，，，10，则原数据的平均数为，去掉和10后，新数据的平均数为，所以平均数可能变小，故A对；当为偶数时，比如，原来和新数据的中位数均为，所以中位数不变，当为奇数时，比如，原来和新数据的中位数均为，所以中位数不变，故B错；去掉后，数据波动性变小，所以标准差变小，故C对；由于，所以原来的极差为，新数据的极差为，所以极差变小，故D对；故选：ACD10．【正确答案】BCD【详解】由图象可知，函数的振幅，已知函数，图象过点，将，代入函数，得到，即，因为，且在处的增长趋势知道，所以，则，图象还过，则，即，解得.由图象可知，函数的周期，根据周期公式，可得，令满足题意.故.因此，A错误，B正确.当，函数，则取得最小值.所以函数图象关于直线对称，C正确.，则，则，所以函数在上单调递增，D正确.故选：BCD.11．【正确答案】BCD【详解】对于A，，，化简后得，故A错误；对于B，的定义域为R，，所以是偶函数；的定义域为R，，所以是奇函数，所以函数为奇函数，故B正确；对于C，因为直线与函数和的图象共有三个交点，在R上单调递增，即直线与函数只有一个交点，所以直线与函数有两个交点，因为，当且仅当时，等号成立，所以，即，，解得，所以，则，故C正确；对于D，，，令，则，所以在上单调递增，则，又，当且仅当时，等号成立，所以最小值为1，因为存在，关于的不等式恒成立，所以，所以的取值范围为，故D正确；故选：BCD.12．【正确答案】【详解】由题意可得，又，不妨设，则，由余弦定理可得，且，所以.故13．【正确答案】【详解】由，得，又，所以是首项为1公差为1的等差数列，可得，所以，，，两式相减得，所以.故答案为.14．【正确答案】【详解】由题意，，，，设函数，则，令，即，解得，，易知，，因此，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；又，且，，，则，因此，当时，有最大值，此时取最大值；故15．【正确答案】(1)1020(2)有关.【详解】（1）样本中，身高在175cm及以上的频率为：，用该频率估计该校男生身高在175cm及以上的概率，则该校2000名男生中身高在175cm及以上的人数约为：（人）.（2）列列联表如下：身高在身高不在合计合格403070不合格102030合计5050100所以，因为，所以依据小概率值的独立性检验，体育成绩合格与身高在范围内有关.16．【正确答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）已知抛物线，其焦点的坐标为.因为点在抛物线上，所以.根据两点间距离公式，，.由可得.把代入上式，.两边同时平方，展开括号得.即，化简得，解得.所以抛物线的方程为.（2）在抛物线中，所以焦点的坐标为.不妨设A，B在第一象限，设过点的直线的方程为（存在且不为），当时，没有交点，不满足题意.将代入，得到，即，需满足；设，，根据韦达定理，，.根据两点间距离公式，，.因为，，所以（这里利用了，所以与同号）.由点在抛物线上，得，运用抛物线对称性，可取来证明.，则直线MF的方程为.直线的方程为，因为，所以的方程为.联立与，可得点纵坐标.根据两点间距离公式及坐标运算，，.（因为，所以）.综上所得，知道，即.原命题得证.17．【正确答案】(1)1(2)【详解】（1）取的中点，连接，

，因为正六边形的边长为2，所以，则，所以，因为平面平面，，平面平面，所以平面，所以是三棱锥的一个高，所以，所以三棱锥的体积为1；（2）过点作，以点为原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：

，因为正六边形的边长为2，是的中点，二面角的大小为60°，所以，则,,，设平面的法向量为，则，令，则，所以，，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.18．【正确答案】(1)在和上都是减函数；(2)；(3)证明见解析．【详解】（1）定义域是，时，，则，令，则，时，，递增，时，，递减，所以，即，所以在和上都是减函数；（2）对任意恒成立，即在上，恒成立，设，则，当时，，，是增函数，所以，当时，时，递减，，与已知矛盾，当时，，，单调递减，则，与已知矛盾，综上所述，的取值范围是；（3）由（2）知时，，即，令，则，，让从1取到，所得个不等式相加得：，所以19．【正确答案】(1)(2)证明见解析(3)或（），理由见解析【详解】（1）因为，，，设数列为.此时，且，，，，满足“等距”数列的定义.（2）假设存在，使得.因为，从到，如果