2024-2025学年海南省海口市高三上学期第三次月考数学检测试题1（附解析）

2024-2025学年海南省海口市高三上学期第三次月考数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B．C． D．2．若是方程的解，则（

）A． B． C． D．3．已知等差数列的前项和为，若，公差，则的最小值为（

）A． B． C． D．4．函数的大致图象为（

）A． B．C． D．5．某人参加抽奖游戏，现有三叠外形、大小、图案均相同的卡片，分别有10张、15张、20张，若每叠中有2张中奖卡片，则随机选择一叠卡片抽取，中奖的概率是（

）A． B． C． D．6．若函数在区间上单调递减，则的取值范围为（

）.A． B．C． D．7．在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角和角，，它们的终边分别与单位圆交于点，，设线段的中点的纵坐标为，若，则角的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知偶函数定义域为，且对于任意的，都有，当时，，若方程有且只有6个实数根，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．设函数，则（）A．是偶函数 B．在区间上单调递增C．最大值为2 D．其图象关于点对称10．若函数在处取得极大值，则（

）A．，或B．的解集为C．当时，D．11．已知函数在区间上单调，且满足，下列结论正确的有（

）A．B．若，则函数的最小正周期为C．关于方程在区间上最多有4个不相等的实数解D．若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为三、填空题（本大题共3小题）12．已知f(x)是定义在上的奇函数，且．若，则；．13．已知，，，则.14．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则；若无极值点，则的取值范围是.四、解答题（本大题共5小题）15．已知函数．(1)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；(2)设的内角，，的对应边分别是，，，且，，，求的面积．16．如图，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面与平面交于.(1)求证：；(2)若，求二面角的余弦值.17．某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.(1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少?(2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.(3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.参考数据：若，则：；；.18．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若，求k的值；(3)设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.19．定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆的方程；（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；（3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.

答案1．【正确答案】D【详解】由题意可得：，，所以.故选：D.2．【正确答案】C【分析】先判断函数的单调性，再利用零点存在性原理即可求出解的区间.【详解】因为函数在定义上单调递增，又，，所以函数的零点所在区间是，即．故选：C.3．【正确答案】C【分析】根据题设写出等差数列通项公式得，利用单调性得时，时，即有时最小，进而求最小值.【详解】由题设，令，可得，又，故时，时，所以时最小，即最小为.故选：C4．【正确答案】C【详解】解：由题可知，的定义域为，，∴fx又，排除D，故选：C．5．【正确答案】C【详解】记事件在第叠卡片中抽奖，，事件中奖，则，．由全概率公式可得．故选:C.6．【正确答案】B【分析】根据函数的单调性可得不等式组，即可求解.【详解】因为，所以，又因为函数在区间上单调递减，所以解得，所以，所以可得，解得.故选:B.7．【正确答案】B【详解】由题意可得，，则，由可得，即，解得，即，又，则时，.故选：B8．【正确答案】C【详解】因为，所以的图象关于直线对称，又是偶函数，所以，所以是以为周期的周期函数.令，则是偶函数，图象关于轴对称，当时，作出与的图象，由图可知，与的图象有两个交点，不合题意.当时，作出与的图象，因为方程有且只有6个实数根，即方程在0,+∞上有且只有3个实数根，即与的图象在0,+∞上有且只有3个交点，由图可得，，解得.综上，.故选：C.9．【正确答案】AD【分析】首先根据辅助角公式化简函数，然后根据选项，依次判断函数的性质.【详解】，所以函数是偶函数，故A正确；时，，所以函数在区间上单调递减，故B错误；函数的最大值是，故C错误；当时，，所以函数图象关于点对称，故D正确.故选：AD10．【正确答案】BCD【详解】A选项，由题，则，因在处取得极大值，则或.当时，，令；.则在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极小值，不合题意；当时，，令；.则在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极大值，满足题意；则，故A错误；B选项，由A可知，，则.故B正确；C选项，当，则，则，由A分析，在0,1上单调递增，则，故C正确；D选项，令，由A可知，.则，又，则，故D正确.故选：BCD11．【正确答案】ABD【分析】对A：利用对称性直接求得；对B：根据对称中心与对称轴可得周期表达式，结合在区间上单调求出函数的最小正周期，即可判断；对C：先判断出周期，结合周期越大，的根的个数越少，解出在区间上最多有3个不相等的实数根，即可判断；对D：由题意分析，建立关于的不等式组，求出的取值范围.【详解】函数满足.对A：因为，所以，故A正确；对B：因为，所以函数的一条对称轴方程为.又为一个对称中心，由正弦图像和性质可知，函数的最小正周期满足，即.又在区间上单调，故，即，故，故B正确；对C：函数在区间上单调，且满足，可得，所以周期，又周期越大，的根的个数越少.当时，，又，，得.所以在区间上有3个不相等的实数根：，或，或，故至多3个不同的实数解，故C错误；对D：函数在区间上恰有5个零点，所以，所以，解得，且满足，即，即，所以，故D正确.故选ABD.12．【正确答案】【详解】由，得函数f(x)关于直线对称，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)是周期的函数，所以，故，.13．【正确答案】【详解】因，，，故，，故，，则.故14．【正确答案】0或；.【详解】,所以切线为,即,又因为与相切，所以只有一个解，当,,只有一个解符合题意，当a不为零时，符合题意，所以或；无极值点，则无零点，无根，或,解得或,所以.故答案为或；.15．【正确答案】(1)最大值0，此时；最小值，此时；(2)或.【详解】（1），，因为，有，所以，的最大值0，此时，的最小值，此时；（2），所以，由为三角形内角得，因为，，由余弦定理得，解得或，由，得或.16．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面，又因为平面与平面交于，平面，所以；（2）取中点，连接，，，因为，，所以是等边三角形，由三线合一得：，又因为是等腰直角三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，故三线两两垂直，如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，因为且由（1）知，所以四边形为平行四边形，可得，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，又平面的一个法向量可取，所以，设二面角的大小为，由题意为锐角，所以，所以二面角的余弦值为.17．【正确答案】(1)分；(2)5；(3)分布列详见解析；【详解】（1）由，又的近似值为76.5，的近似值为5.5，所以该校预期的平均成绩大约是（分）（2）由，可得，即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，该学生笔试成绩高于76.5的概率为所以随机变量服从二项分布，故（3）X的可能取值为，，，，，，所以X的分布列为X01234P所以18．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）当时，，，所以，所以切线的斜率为，又因为，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）因为，当时，，所以在上单调递增，又因为，与不符；当时，由得，所以在上单调递减，在上单调递增.所以，所以，设，则，由，可得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以有唯一解，且.（3）由（2）知当时，，当且仅当时，.所以当且时，，则.取（），所以，所以，，，所以.所以所以于是对于任意正整数n，，只需，又因为，所以，则m的最小值为.19．【正确答案】（1）；（2）；（3）证明见详解，定圆的方程为.【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆的方程；（2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求；斜率存在时，设联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求；（3）设，则，讨论有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求，，，由等面积法求，即可证结论，并写出定圆方程.【详解】（1）由椭圆，知，根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆；（2）设，则，直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论：①当直线的斜率不存在时，直线，若，由解得此时.若，同理得：；②当直线的斜率存在时，设，由得，有，又直线是圆的切线，故，可得，∴，则而，∴，即.综上，恒有；（3）是椭圆上的两个动点且，设，则，直线：有