2024-2025学年广西柳州市高二上学期11月期中考试数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年广西柳州市高二上学期11月期中考试数学检测试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知圆的一般方程为，则半径是（

）A．1 B．3 C．4 D．92．等差数列中，若，，则公差（

）A．2 B．3 C．4 D．53．中国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之(等差数列)，上三人先入，得金四斤，持出；下四人后入得金三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.则第一等人(得金最多者)得金斤数是（

）A． B． C． D．4．已知直线：，：，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知，，，则向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．设直线的方程为，则直线l的倾斜角a的范围是（

）A． B．C． D．7．是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．8．与圆及圆都外切的圆的圆心在（

）A．椭圆上 B．双曲线上的一支上 C．抛物线上 D．圆上二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题中，有多项符合题目要求.9．下列命题正确的是（

）A．点关于平面对称的点的坐标是B．零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量C．若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量D．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量10．设椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于，则和的取值范围（

）A． B．C． D．11．如图，已知直线和椭圆，m为何值时，下列结论正确（

）A．当时，直线l与椭圆C有两个公共点B．当或25时，直线l与椭圆C只有一个公共点C．当或时，直线l与椭圆C没有公共点D．当时，直线l与椭圆C有公共点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知数列中，，，则.13．如图，M是抛物线上的一点，F是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，.

14．如图，三棱锥中，，点分别是的中点，则异面直线所成的角的余弦值是．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（1）已知数列的前n项和，求这个数列的通项公式；（2）已知数列的通项公式为前n项和为.求取得最小值时n的值.16．（1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆O上任意一点.线段的垂直平分线l与直线相交于点Q，当点P在圆O上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？（2）当m变化时，指出方程表示的曲线的形状.17．已知圆，直线.(1)求证：直线恒过定点；(2)直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长.18．如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．19．已知和为椭圆上两点.(1)求C的离心率;(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．

1．B【详解】因为圆的一般方程为所以圆的标准方程为，所以圆的半径为3,故选：B2．A【详解】由，得故选：A3．A【详解】由题设知在等差数列中，，.所以，，解得，故选：A4．B【详解】当时，，，，所以；当时，可得，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．5．A【详解】因为，，，所以向量在方向上的投影向量为.故选：A.6．D【详解】直线的方程为，当时直线方程为，倾斜角，当时，直线方程化为，斜率，因为，所以，即，又因为，所以，综上可得，故选：D.7．B【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为，作于点G，于点H，连接，易得，又平面，则平面，又平面，则，有故．已知，故为所求．解法二：如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，所以，设平面的法向量，则令，则，所以，所以．设直线与平面所成角为，所以，所以．故选B．8．B【详解】由圆可知，圆心，半径，圆化为标准方程，圆心，半径，因此圆心距，所以两圆相离，设与两圆都外切的圆的圆心为，半径为，则满足，所以，即圆心的轨迹满足到两定点距离之差为定值，且定值小于两定点距离，根据双曲线定义可知，圆心的轨迹是某一双曲线的左支，即圆心在双曲线的一支上.故选：B.9．ABD【详解】对于A,关于平面对称的点轴的坐标不改变,轴的坐标相反，所以点关于平面对称的点的坐标是,故A正确；对于B,直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量,故B正确；对于C,当时,,不能作为直线l的方向向量,故C错误；对于D,在轴所在直线上且垂直于坐标平面,所以是坐标平面的一个法向量,故D正确.故选：ABD.10．AC【详解】解：因为双曲线的渐近线的斜率小于，所以，则，即，，即，故选：AC11．ABCD【详解】对于A，由方程组消去y，得①，．由，得．此时方程①有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．故A正确；对于B，由，得，．此时方程①有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点．故B正确；对于C，由，得，或．此时方程①没有实数根，直线与椭圆没有公共点．故C正确；对于D，由选项A与选项B可知，D正确.故选：ABCD12．##【详解】因为，所以数列是等差数列，公差，又，所以．故．13．4【详解】抛物线的准线为，过M作MB垂直于直线，垂足为B，作FA⊥MB于A，直线与x轴交于点K，如图：

则轴，即，四边形ABKF是矩形，中，，由抛物线定义知，，而，则，解得，所以.故4.14．【详解】如下图，连结，取中点，连结，，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.

15．（1）（2）【详解】（1）因为，当时，，所以，又时，不满足上式，故数列的通项公式为.（2）当，，解得：，当和时，，所以Sn取得最小值时，.16．（1）点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线,理由见详解；（2）见解析.【详解】（1）如图,连接.因为为的垂直平分线,所以,所以为定值,又因为点在圆外,所以,根据双曲线定义,点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线.（2）对于方程,当时,方程为,即,表示轴;当时,方程为,即x=0,表示轴;当且时,方程为,若,即时,方程为圆,表示以原点为圆心的单位圆;若,即或时,方程表示双曲线;若且时,即且时,方程表示椭圆;综上,当时,表示轴;当时,表示轴;时,方程表示以原点为圆心的单位圆;或时,方程表示双曲线;且时,方程表示椭圆;17．(1)证明见解析(2)当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为【详解】（1）直线的方程可化为联立，解得故直线恒过定点（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短则直线的斜率为由得直线的斜率为，解得此时的方程为，即圆心到直线的距离为∴最短弦长故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为18．(1)证明见解析(2)【详解】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，则，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）连接，由，则，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，由是的中点，得，所以，设平面和平面的一个法向量分别为，则，，令，得，所以，所以，设平面和平面所成角为，则，即平面和平面所成角的正弦值为.19．(1)(2)直线的方程为或.【详解】（1）由题意得，解得，所以.（2）法一：，则直线的方程为，即，，由（1）知，设点到直线的距离为，则，则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点，设该平行线的方程为：，则，解得或，当时，联立，解得或，即或，当时，此时，直线的方程为，即，当时，此时，直线的方程为，即，当时，联立得，，此时该直线与椭圆无交点.综上直线的方程为或.法二：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，设，则，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，设，其中，则有，联立，解得或，即或，以下同法一；法四：当直线的斜率不存在时，此时，，符合题意，此时，直线的方程为，即，当线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程有，则，其中，即，解得或，，，令，则，则同法一得到直线的方程为，点到直线的距离，则，解得