五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编18-空间向量与立体几何（含解析）

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编18-空间向

量与立体几何（含解析）

一、单选题

1.（2022•全国•统考高考真题）在正方体48co-AMG"中，E,F分别为力氏8。的中

点，则（）

A.平面妫EFJ.平面B.平面4E尸1平面RS。

C.平面qEF"平面AACD.平面4所〃平面4G。

2.（2018•全国•高考真题）在长方体A8CO-A8Ca中，AB=BC=\,e=百,则

异面直线AD,与。片所成角的余弦值为

A.，B.叵C.@D.也

5652

二、多选题

3.（2021•全国•统考高考真题）在正三棱柱ABC-中，AB=AA]=\t点p满足

丽二漩”函,其中，40,1],〃«0』],则（）

A.当4=1时，AAq尸的周长为定值

B.当4=1时，三棱锥P-A8C的体积为定值

C.当/1=；时，有且仅由一个点P,使得6P

D.当"=；时，有且仅有一个点尸，使得AB_L平面A8£

三、解答题

4.（2022•全国•统考高考真题）如图，直三棱柱ABC-ABC的体积为4,4ABC的面

积为2人.

⑴求A到平面A8C的距离;

⑵设。为人。的中点，AA^AB,平面ABC，平面A84A，求二面角A—3。—C的正

弦值.

5.(2022•全国•统考高考真题)如图，四面体A8CD中,

AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,E为AC的中点.

(1)证明：平面平面ACQ；

(2)设45=8。=2,/48=60。，点尸在8。上，当的面积最小时，求C尸与平面

丽所成的角的正弦值.

6.(2022•全国•统考高考真题)在四棱锥尸-A8CO中，尸。_1_底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,48=2,OP=J5.

试卷第2页，共14页

(1)证明：BDLPAx

(2)求PD与平面所成的角的正弦值.

7.(2022•全国•统考高考真题)如图，PO是三棱锥尸-A8C的高，PA=PB,ABJ.AC,

E是28的中点.

(1)证明：OE〃平面PAC；

(2)若NABO=NC8O=30°,尸。=3,24=5,求二面角C-AE-3的正弦值.

8.(2022・浙江•统考高考真题)如图，已知A8CO和COM都是直角梯形，ABUDC,

DC//EF,48=5,DC=3,EF=\,N8AD=NCDE=60。，二面角厂一£>C—8的平

面角为60。.设M,N分别为AE,8C的中点.

(1)证明：FN1AD：

(2)求直线BM与平面AOE所成角的正弦值.

9.(2022•北京・统考高考真题)如图，在三棱柱4BC-4禺a中，侧面BCG用为正方形,

平面8。。由，平面AB=BC=2,M,N分别为AB-AC的中点.

c

⑴求证：MN〃平面BCG四；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求直线AB与平面8MN所成

角的正弦值.

条件①：AB上MN；

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

10.(2022•天津•统考高考真题)直三棱柱ABC-A4G中，

AAi=AB=AC=2.AAi±AB1AClABt。为A4的中点，E为人片的中点，尸为C。的

中点.

⑴求证：EFH^ABC-,

(2)求直线BE与平面CC.D所成用的正弦值；

(3)求平面A.CD与平面CCQ所成二面角的余弦值.

11.(2021•全国•统考高考真题)已知直三棱柱ABC-AdG中，侧面朋8因为正方形,

AB=BC=2,E,尸分别为AC和CG的中点，。为棱A区上的点.BF1

试卷第4页，共14页

(1)证明：BFLDE；

(2)当印。为何值时，面B8£C与面。心所成的二面角的正弦值最小？

12.(2021•全国•统考高考真题)如图，四棱锥P-ABC。的底面是矩形，PDJJ后面

ABCD,PD=DC=1,M为的中点，且

(2)求二面角A—PM-8的正弦值.

13.(2021.全国•统考高考真题)在四棱锥Q-A8C。中，底面A8CD是正方形，若

AO=2.。。=Q月=氐QC=3.

(1)证明：平面Q4。，平面48C。；

(2)求二面角B-Q。-A的平面角的余弦值.

14.(2021•浙江•统考高考真题)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCD是平行四边

形，乙48C'=12(r,A8=l,3C'=4,Q4=Ji5,M,N分别为8C,PC的中点，

PDLDQPM1MD.

(1)证明：ABYPM；

(2)求直线AN与平面HW所成角的正弦值.

15.(2021・北京・统考高考真题)如图：在正方体A8CO-A4GA口，七为AA中点,

4G与平面CDE交于点尸.

(1)求证：F为B£的中点;

(2)点M是棱AA上一点，且二面角M-FC-七的余弦值为正，求罂的值.

3久巧

16.(2U21•天津•统考高考真题)如图，在棱长为2的正方体A88-ABGA中，E为

棱BC的中点，尸为棱CQ的中点.

(II)求直线AG与平面AEG所成角的正弦值.

(III)求二面角A-AG-E的正弦值.

试卷第6页，共14页

17.（2020.全国•统考高考真题）如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为

底面直径，AE=AD.AABC是底面的内接正三角形，尸为上一点，PO=£DO.

（1）证明：R4J_平面P8C；

（2）求二面角3—PC—E的余弦值.

18.（2020・海南•统考高考真题）如图，四棱锥F-A6C。的底面为正方形，PD_L底面

ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为/.

（1）证明：LL平面POC；

（2）已知。为/上的点，求P5与平面QCO所成角的正弦值的最大值.

19.（2020♦天津•统考高考真题）如图，在三棱柱ABC-AB©中，CG_L平面

ABaAClBC,AC=BC=2tCC、=3,点D,E分别在棱人4和棱CC.±,且

AO=1CE=2,M为棱44的中点.

(I)求证：GM_L/。；

(ID求二面角8一片七-0的E弦值；

(in)求直线AB与平面。瓦E所成角的正弦值.

20.(2020・北京・统考高考真题)如图，在正方体ABCO-AqCQ中，E为84的中点.

(I)求证：8G〃平面4〃昂

(II)求直线AA与平面ARE所成角的正弦值.

21.(2020・海南•高考真题)如图，四棱锥P-A8CO的底面为正方形，2。_1底面48。。.设

平面PAD与平面PBC的交线为/.

试卷第8页，共14页

/D

ALB

(1)证明：/_L平面POC；

(2)已知PO=4)=1,。为/上的点，QB=近,求PB与平面QCO所成角的正弦值.

22.(2020•江苏•统考高考真题)在三棱锥A—BCO中，已知CB=CD=«,BD=2,。为

8。的中点，AO_L平面8CQ,AO=2,E为4C的中点.

(1)求直线4B与。石所成角的余弦值；

(2)若点F在8C上，满足8尸=!成;设二面角F—OE—C的大小为仇求sin。的值.

23.(2019・全国•高考真题)如图，直四棱柱ABCD-4向的底面是菱形，44尸4,

AB=2,NB4£>=60。，E,M,N分别是8C,BBhA/。的中点.

(1)证明：MN〃平面C/DE；

(2)求二面角人-MA/W的正弦值.

24.（2018•全国•高考真题）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=26,

PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.

（1）证明：PO_L平面48C；

（2）若点M在棱3c上，且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面21M所成角的正

弦值.

25.（2018•全国•高考真题）如图，四边形A6CZ）为正方形，石,尸分别为的中点,

以0b为折痕把△DFC折起，使点C到达点尸的位置，且PF上B尸.

（1）证明：平面PEFJ•平面ABED：

（2）求OP与平面所成角的正弦值.

26.（2019•全国•统考高考真题）图1是由矩形AOEB,RsA8C和菱形BFGC组成的一

个平面图形，其中A8=l,BE=BF=2,N五BC=60。，将其沿A8,BC折起使得BE与8尸

重合，连结。G,如图2.

（1）证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面43C_L平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.

试卷第10页，共14页

图1图2

27.（2019•浙江•高考真题）如图，已知三棱柱ABC-ABG，平面平面

ABC,N43c=90。，^BAC=30。,4A=A。=AC,E,F分别是AC,4用的中点.

（1）证明：EF1BC-,

（2）求直线叱与平面ABC所成角的余弦值.

28.（2018・全国•高考真题）如图，边长为2的正方形力5CD所在的平面与半圆弧CD所

在平面垂直，M是CO上异于C,。的点.

（1）证明：平面AA">_L平面8MC；

（2）当三棱锥M-A8C体积最大时，求面M43与面M8所成二面角的正弦值.

29.（2019.北京•高考真题）如图，在四棱锥P-A8C。中，必_L平面ABC。，ADA.CD,

PFI

AD//BC,PA=AD=CD=2BC=3.E为尸。的中点，点尸在PC上，且一=-.

fPC3

(I)求证：。。_1_平面两。；

(II)求二面角f-AE-尸的余弦值；

(III)设点G在PB上，且P需G=：2.判断直线AG是否在平面A“内，说明理由.

30.（2019・天津•高考真题）如图，A£：_L平面A8CO,CF//AE,AD//BC,

AD1.AB,AB=AD=KAE=BC=2.

(I)求证：B/〃平面4£>E；

(II)求直线CE与平面8DE所成角的正弦值；

(III)若二面角E-BO-尸的余弦值为g,求线段C尸的长.

31.(2018・浙江・高考真题)如图，已知多面体4BC-ABG，AA,巴氏GC均垂直于平面

ABCABC=120°,AA=4,C,C=1,AB=8C=耳8=2.

试卷第12页，共14页

4

(I)求证：4片，平面4圈6；；

(II)求直线4G与平面ABB、所成角的正弦值.

32.(2018・北京•高考真题)如图，在三棱柱ABC-A禺G中，CQl平面ABC,D,E,

F,G分别为AA，AC,AG，叫的中点，AB=BC=下,AC=AAi=2.

(1)求证：人。_1_平面8七/；

(2)求二面角的余弦值；

(3)证明：直线产G与平面8CO相交.

33.(2018•江苏•高考真题)如图，在正三棱柱A8C-A/B/G中，AB=AA/=2,点P,。分

别为A/B/,BC的中点.

（1）求异面直线3P与AG所成角的余弦值：

（2）求直线CG与平面AQG所成角的正弦值.

34.（2018•天津高考真题）如图，AD//AC且AO=2BC,AO_LC£>,EG//A。且EG=4Z）,

CD"FGACD=2FG,OG_L平面488,DA=DC=DG=2.

（I）若M为C尸的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面CDE；

（ID求二面角E-6C-尸的正弦值；

（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面AOGE所成的角为60。，求线段DP的

长.

试卷第14页，共14页

参考答案：

1.A

【分析】证明律上平面即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系,

设⑷5=2,分别求出平面与石尸，A8Q,ACQ的法向量，根据法向量的位置关系，即可判

断BCD.

【详解】解：在正方体ABCO-AAGA中，

AC上BD且DD、±平面ABCD,

又防u平面A5CO,所以EF^LDR,

因为E,尸分别为A8,8c的中点，

所以所所以EF_LRD.

又8OnOR=O,

所以所立平面BZ)A，

又所u平面

所以平面用Ml平面8D",故A正确；

选项BCD解法一：

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设A8=2,

则4(2»2,2),E(2J,0),尸(LZO),5(ZZO)，A(20,2),A(20,0),C(0,2,0),

G(0,2,2),

则乔=(-1,1,0),瓯=(0,1,2),丽=(2,2,0)访=(2,0,2),

丽=(0,0,2),而=(_2,2,0),而=(-2,2,0),

设平面用EF的法向量为而=(%,y,zj,

则有卜.胃可取藁(3T).

7

[m-EBi=y\+2zi=0'

同理可得平面A3。的法向量为)=(1,TT)，

平面AAC的法向量为后=(1,1,0),

答案第1页，共77页

平面AG。的法向量为区=(1,1,-1),

则正•，=2—2+1=1。0,

所以平面用E尸与平面A8D不垂直，故B错误;

因为百与福不平行,

所以平面与E产与平面A'C不平行，故C错误;

因为正与彳不平行,

所以平面8也/与平面AC。不平行，故D错误,

故选：A.

选项BCD解法二：

解：对于选项B,如图所示，设4Bn与E=M,所r)BO=N,则MN为平面"EF与平面

AB。的交线，

在ABMN内,作BPLMN于点P,在AEMN内,作GPLMN,交硒于点G,连结BG,

则4BPG或其补角为平面用£尸与平面ABD所成二面角的平面角，

答案第2页，共77页

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2,PG2+PN2=GN\

底面正方形ABC。中，£尸为中点，则砂J_皮)，

由勾股定理可得WB?+NG?=BG2，

从而有：NB2+NG2=(92+PN2)+(PG?+PN2)=BG2,

据此可得PB?+PG~工BG2,即NBPG090s

据此可得平面8所_1_平面AB。不成立，选项B错误；

对于选项C,取入用的中点〃，则A〃||耳£,

由于A”与平面AAC相交，故平面耳E尸〃平面AAC不成立，选项C错误;

对于选项D,取AD的中点很明显四边形44尸”为平行四边形，则AM||87,

由于A"与平面AG。相交，故平面与£尸〃平面AG。不成立，选项D错误;

答案第3页，共77页

G

2.C

【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根

据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DDi为x,y,z轴建立空间宜角坐标系，则

D（O,0,0）,A（I,0,0）,4（LL扬,Ago,6）,所以珂=（TO,75）,函=（u,75）,

因为cos（石函）=墙蠲=三哭邛，所以异面直线g与叫所成角的余弦值为

苧，选C.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间

直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出

平面的法向量：第四，破“应用公式关”.

3.BD

【分析】对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将尸点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数.

答案第4页，共77页

易知，点尸在矩形8CG4内部（含边界）.

对于A,当;1=1时，BP=BC+pBB^=BC+juCC^,即此时Pe线段cq,△八男尸周长不是定

值，故A错误；

对于B,当〃=1时，丽=疵+函=函+入监,故此时尸点轨迹为线段BC，而5G//8C,

BCJ/平面ABC,则有尸到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当2=孑时，丽二；品+画,取BC,4G中点分别为Q,H,则丽=丽+〃丽,

亨0』,,

所以尸点轨迹为线段。〃，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A

P（0,0,〃），,0,；,0）,贝1」庭=,丽

“.而=M〃-l)=0,

所以〃=0或4=1.故”，。均满足，故C错误;

I——1—

对于D,当〃=5时，BPCBC+QBBT，取84，CG中点为M,N.丽=丽+湎,所

以产点轨迹为线段MN.

“=一2f；，一1，所以5+g）b—；=0=%=一；，此时尸与N重合，故D正确.

\/

故选：BD.

【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.

答案第5页，共77页

4.（1）72

⑵立

2

【分析】（1）由等体积法运算即可得解；

（2）由面面垂直的性质及判定可得3c4平面ABBA，建立空间直角坐标系，利用空间向

量法即可得解.

【详解】（1）在直三棱柱ABC-ABC中，设点4到平面ABC的距离为近

S

则匕.A“=1,A,BC,卜=手h=V^_ABC=1S&ABC•A%=g匕8C/G=1,

解得h=啦,

所以点A到平面\BC的距离为&；

（2）取A8的中点E,连接AE,如图，因为伍=48,所以AE_LA8,

又平面\BC1平面ABB^,平面ABCc平面ABB^=,

且AEu平面484A，所以AE_L平面ABC,

在直三棱柱ABC-A£G中，BBJ平面ABC,

由8Cu平面AB。，8Cu平面ABC可得AE_L8C,BB,1BC,

又u平面且相交，所以BC工平面4B&A,

所以8cB4,8局两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，

答案第6页，共77页

B

由(1)得AE=&，所以AA=AB=2,48=2、/2,所以8c=2,

则4(0,2,0),4(0,2,2),8(0,0,0),C(2,0,0),所以&:的中点。(11,1),

贝IJ丽=(1,1,1),丽=(0,2,0)屈=(2,0,0),

一frnBD=x+y+z=0

设平面ABD的一个法向量帆=(x,%z),则〈——

\'\thBA=2y=0

可取而=(1,0,-1),

=a+b+c=0

设平面BQC的一个法向量〃=(a,九c),则＜_

n•nC=2a=0

可取;2=(04,一1),

则8s/M----〃\片m帝n一&10一1，

所以二面角A-8Z)-C的正弦值为=亭

5.(1)证明过程见解析

⑵CF与平面的所成的角的正弦值为竽

【分析】(1)根据已知关系证明△AB恒△C8。，得到4B=CB,结合等腰三角形三线合一

答案第7页，共77页

得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；

（2）根据勾股定理逆用得到班■，£）£：,从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则

进行计算即可.

（1）

因为AO=C£>,E为AC的中点，所以AC_LDE；

在△A8O和△C8。中，因为AD=CDADB=/CDB,DB=DB,

所以aABZ注△C8Z）,所以AB=C8,又因为E为AC的中点，所以AC_L3E；

又因为DE,BEu平面BED,DEcBE=E,所以AC1平面BED,

因为ACu平面4CD,所以平面跳Z）_L平面4CQ.

（2）

连接石尸，由（1）知，AC_L平面8E。，因为E/u平面8瓦）,

所以AC_LE/，所以SMFC=；AC*'，

当时，E尸最小,即△AFC的面积最小.

因为△AB*ACBD,所以C8=A8=2,

又因为NACB=60。，所以是等边三角形，

因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=A

因为AOJ.CO,所以OE=1AC=1,

在中，DE2+BE2=BD2^所以应;_ZOE.

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,

则A（1,0,0）,8（0,V5,0）,0（0,0,1）,所以而=（-1,0,1）,通=（-1,6,0）,

设平面ABD的一个法向量为3=（My,z）,

n-AD=-x+z=0

取），=5则1=卜,后3）,

n-AB=-x+6y=0

又因为C（T,0,0）,F（0,#q）,所以#=11,日,5

4+

所以方二T，

答案第8页，共77页

设C尸与平面曲所成的角的正弦值为。

所以sin。=卜05(〃,(7尸1=,

所以。产与平面说所成的角的正弦值为勺叵.

7

【分析】(1)作。于E,CF/AB于广，利用勾股定理证明49X5Q,根据线面垂

直的性质可得PDJ■加，从而可得加工平面尸4£>,再根据线面垂直的性质即可得证；

(2)以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

(1)

证明：在四边形A8CO中，作于E,C尸于尸，

因为CD//AB,AD=CD=CB=l,AB=2,

所以四边形ABC。为等腰梯形，

所以AE=B尸=!，

2

故力E=*，BD=^DE2+BE2=>/3»

所以4。2+8£)2=钻2,

所以

因为PO1平面ABC。，8£>u平面ABC0,

所以

答案第9页，共77页

又PDcAD=D,

所以2D/平面尸4),

又因为R4u平面

所以班>_LB4；

(2)

解：如图,以点。为原点建立空间直角坐标系.

BD=g,

则A(l,0,0),网0,Go),尸(0,0，甸,

则丽=(-i,o,G),/=(o,-G,#),而=仅。6),

设平面Q48的法向量G=(x,y,z),

n-AP=-x+>/3z=0-//-\

则有｛一厂广，可取〃=,

«BP=-V3y+V3z=0

则8晰'加”牖=4，

所以P0与平面RW所成角的正弦值为日.

答案第10页，共77页

AZ

■>

y

7.（1）证明见解析

【分析】（1）连接80并延长交AC于点0,连接。4、PD,根据三角形全等得到。4=08,

再根据直角三角形的性质得到A0=DO,即可得到。为8。的中点从而得到OE//PQ,即可

得证；

（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同

角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】（1）证明：连接80并延长交AC于点。，连接。4、PD,

因为PO是三棱锥尸一A8C的高，所以PO/平面A6C,AO,8Ou平面48C,

所以PO_LAO、POLBO,

又PA=PB,所以△PQ4三△P08,即04=08,所以NOA8=NO8A,

又4B/AC,即NH4C=90。，所以NO48+NOAO=90。，ZOBA+ZODA=900,

所以N0QA=N04。

所以A0=£＞。，即40=00=08,所以。为8。的中点，又E为PB的中点，所以OEHPD,

又OE（Z平面A4C,P£）u平面PAC,

所以OE〃平面尸AC

答案第11页，共77页

p

c

E

AB

(2)解：过点A作上〃。尸，如图建立平面直角坐标系,

因为P0=3,AP=5,所以。人二^仍一尸。2=4,

又NOZM—NOOC—30°,月〒以Z?Z>_2O4_8,贝ijAD=4,A6=4石,

所以AC=12,所以O（2港,2,0）,B（4G,0,0）,P（26,2,3）,C（0,12,0）,

所以E（3G,1,£|,

则荏=（3收1目，通=（46,0,0）,前二（0,12,0）,

nAE=3gx+y+—z=0

设平面的法向量为日=(x,y,2),则，_2令z=2则产一3,

n•AB=4yBx=0

x=0,所以G=(O,-3,2)；

设平面AEC的法向量为G=(aec),则卜子=3扃+"|c=°

in-AC=12Z>=0

令a=6,则c=-6,b=0,所以m=(6,0,-6)；

/-----\n•m-124-75

所以8sg加丽二行/一年

设二面角C-AE-B的大小为8,则|cosM=卜05(〃,由，=\，，

所以sin6=Vl-cos26>=《，即二面角C—AE-B的正弦值为.

答案第12页，共77页

y

8.（1）证明见解析；

⑵出

14

【分析】（1）过点E、。分别做直线DC、48的垂线EG、并分别交于点G、H,由

平面知识易得尸C=BC,再根据二面角的定义可知，NBCF=60，由此可知，FN工BC,

FNLCD,从而可证得EV_L平面4BC。，即得EV_LAO；

（2）由（1）可知FN1.平面ABCD,过点N做AB平行线NK,所以可以以点N为原点，NK,

NB、所在直线分别为4轴、了轴、z轴建立空间直角坐标系N-个，z,求出平面AOE的

一个法向量，以及的，即可利用线面角的向量公式解出.

【详解】（1）过点E、。分别做直线OC、4A的垂线EG、并分别交于点G、H.

;四边形A8CZ）和EFCD都是直角梯形，AB"DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,

/BAD=NCDE=«。,由平面几何知识易知，

DG=AH=2/EFC=NDCF=NDCB=ZABC=90°,则四边形EFCG和四边形DCBH是矩

形，・■•在Rt^EGD和Rt^DHA,EG=DH=26，

VDCLCF.DCLCB,且CFcCB=C,

・••DCJ•平面BCF/BCF是二面角产一DC—B的平面角，则=60,

是正三角形,由DCu平面ABC。，得平面ABC。/平面BC产，

TN是8C的中点，RV_L8C,又OC_L平面尸，KVu平面8（不，可得尸N_LCO,

而8CcCD=C,工FN_L平面ABCO,而ADu平面ABCD..FN_LAT>.

（2）因为硒_L平面48c。，过点N做AB平行线NK,所以以点N为原点，NK,NB、

答案第13页，共77页

N〃所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系N-孙Z,

设A(5,"0),8(0,GO),D(3,-G,0),E(1,0,3),则,

3,一泉5,AD=(-2,-273,0),DE=(-2,>/3,3)

BM=

设平面ADE的法向量为万=(x,y,2)

fiAD=0得-2>26户。

取川=(Q,-I,G),

n-DE=0,-2x+Gy+3z=0

设直线8M与平面AOE所成角为。,

9.⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)取A8的中点为K,连接MK/VK,可证平面MKN〃平面8CC声，从而可证MM/

平面BCqB].

(2)选①②均可证明8四_L平面A8C,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间

向量可求线面角的正弦值.

【详解】(1)取AB的中点为K,连接MK.NK,

答案第14页，共77页

由三棱柱ABC-A&G可得四边形A8居A为平行四边形，

而5M=M4,,BK=K4,则MK//B4，

而MK<z平面8CG4,881U平面BCCe，故MK〃平面8CCM，

而CN=NA,BK=KA,则NK//BC,同理可得NK〃平面BCC^,

而NKRMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MMV〃平面BCC/i，而MNu平面MKN,故MN〃平面BCC4,

（2）因为侧面BCG4为正方形，故CB上BB1,

而CBu平面BCC国,平面平面

平面C8用平面人84A・〃马，故CU_L平面人8用4，

因为NA7/BC,故NK_L平面ABB4,

因为平面ABBA，故NKLAB,

若选①，则48_LMN,而NKJ.AB,NK[｝MN=N,

故AB上平面MNK,而MKu平面MNK,故A8LMK,

所以AB工,而CBLBB-CBcAB=B,故平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则8（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l』,0）,M（0,l,2）,

故丽=（020）,丽=（1,1,0）,丽=（0,1,2）,

设平面BNM的法向量为〃=（x,y,z）,

,\n-BN=0,fx+y=0，一..

则｛-DA#n,从而｛,0n»取z=-l,则〃=（一22-1）,

n-BM=01y+2z=0

设直线A8与平面所成的角为凡则

sin0=|cos（n,A8）|=~•

若选②，因为NKHBC,故NK_L平面AB81A，而KWU平面MKN,

故.NKA.KM,而B】M=BK=l,NK=l,故B、M=NK,

而4B=MK=2,MB=MN,故=&MKN,

答案第15页，共77页

所以NB&M=NMKN=90。,故

而C8_L8g,CBcAB=B,故Bg_L平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则5(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),M(0J2),

故丽=(020),丽=(1,1,0),丽=(0,1,2),

设平面BNM的法向量为3=(%y,z),

则［小鬻:,从而［'+：=:，取z=-l,则元=(-22-1),

［无8知=0l>'+2z=0'7

设直线A3与平面8NM所成的角为。，则

10.(1)证明见解析

⑶叵

10

【分析】(1)以点4为坐标原点，44、A&、AG所在直线分别为X、y、z轴建立空间

直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；

(2)利用空间向量法可求得直线的与平面CG。夹角的正弦值；

(3)利用空间向量法可求得平面A。。与平面CG力夹角的余弦值.

［详解】(1)证明：在直三棱柱ABC-A4G中，A4］，平面A4G，且AC_L48,则AG-LA^I

答案第16页，共77页

以点A为坐标原点，44、A4、AC所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间

则A(2,0,0)、5(2,2,0)、C(2,0,2)、A(。，。，。)、旦(0,0,2)、0(0,0,2)、0(0,1,0)、E(l,0,0)、

尸(中)，则乔=(()《』｝

易知平面ABC的一个法向量为正二(1,0,0),则函记=0，故而J_而，

•.•律(Z平面A8C,故E尸〃平面ABC.

(2)解：京=(2,0,0),QD=(0J,-2),丽=(120),

设平面a2的法向量为、(WJ,则｛；发二：二0

--EB-u4

取y=2,可得〃=(0,2,1),cos<E^W>=|^|-p|=-.

4

因此，直线把与平面CG。夹角的正弦值为机.

（3）解：汞=（2,0,2）,40=（0,1,0）,

v•A。=2占+2Z=0

设平面AC。的法向量为：=(孙生Z2),则2

v^D=y2=0

———u,v10

取勺=1可得哼则8S<〃,…丽=-瓦&=-而,

因此，平面ACD与平面夹角的余弦值为党

11.(1)证明见解析；(2)B、D=；

答案第17页，共77页

【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标

系，借助空间向量证明线线垂直；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进

而可以确定出答案；

【详解】（1）［方法一］:几何法

因为B尸_La4，A4//AB,所以

又因为AB_L8用，BFcBBi，所以平面8。。石.又因为AB=8C=2,构造正方

体A8CG—A4GG，如图所示，

过上作AB的平行线分别与AG,8C交于其中点M,N,连接&股,80，

因为E,尸分别为4C和CG的中点，所以N是BC的中点，

易证RS8C尸主Rt△片8N,则NCBF=NBBiN.

又因为NBBM+NBiNB=90。,所以NC8F+N4N5=90°,BF［B、N.

又因为B/lA4,4Nn44=B1,所以8产，平面

又因为EDu平面AMA6,所以M_LOE.

［方法二］【最优解】：向量法

因为三棱柱A8C-A4G是直三棱柱，，阴_L底面"C,

A4〃43,5b_LA与，/.Bb_LA8,又84c3*=8,.：AB1平面BCC}4.所以BA,BC,g

两两垂直.

以8为坐标原点，分别以8ABeB4所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.

答案第18页，共77页

B（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,B（0,0,2）,^（2,0,2）,C,（0,2,2）,E（l,l,0）,F（0,2,l）.

由题设。（a,0,2）（0<«<2）.

因为丽^（OZl）,方

所以乔・诙=0x（l—a）+2xl+lx（_2）=0,所以防_LOE.

［方法三］:因为B尸_LA£,%即AB,所以故即^人公二。，BF-AB=0,所

以

旃•丽=犷例+西+丽）•丽+乔•（丽+西”丽.丽+乔.函

=而（_g丽-g呵+萨西=_g旃.丽一;丽屈+而•西=_g萨前+丽•西

।2।

7研国COSNFBC+］明.］网cosN五3g=-］X百x2x忑+石x2x仅=0,所以

BFLED.

（2）［方法一］【最优解】：向量法

设平面DFE的法向量为〃7=（x,y,z）,

因为乔=（一1,1,1），丽=（1-a,l,-2）,

,\m-EF=0an\-x+y+z=0

，F\fhDE=O,］［l-a）x+y-2z=0,

令z=2-a,则而=（3,l+a,2-a）

因为平面BCG用的法向量为丽=（2,0,0）,

设平面BCC&1与平面DEF的二面角的平面角为6,

答案第19页，共77页

63

贝ijcos=—][=/,=/i=

同网2xj2/_24+14>/2/一2。+14

I27

当a=5时，2/—2〃+4取最小值为万,

［方法二］:几何法

如图所示，延长Eb交AG的延长线于点5,联结OS交8c于点。则平面n平面

BB&C二FT.

C

作B"工FT,垂足为"，因为。瓦J■平面3片GC,联结则NDHB］为平面BB£C与

平面。在所成二面角的平面角.

设8Q=八fe［0,2］,&T=s,过C1作C0//A4交DS于点G.

由簧十器得ST。八

B.DBT_L_=工3r

又m=而，即扣—)5所以

B.HBJB、Hs„„5

又占二方，即丁=而用后所以与萨

所以*廊E=添寸户=层评•

答案第20页，共77页

Y2/一21+5

所以，当f=g时，（sinNO”8Jmm=乎.

［方法三］:投影法

如图，联结FB-FN,

力EF在平面BB&C的投影为用NF,记面BB£C与面。在所成的二面角的平面角为。,

q

则cos”世世.

S^DEF

设4。=/（04/42）,在Rsoq尸中，DF=J始£>2+4尸2=J/2+5

在RsEC/中，EF=1EC?+FC?=尽过。作BN的平行线交硒于点Q.

在RtZXDEQ中，DE=y］QD2+EQ2=^5+（\-1）2.

在.》EF中，由余弦定理得cosZDFE=DF^+EF-