2023-2024学年广东省揭阳市揭东县高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省揭阳市揭东县高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1<x≤2}，B={x|x−1<0}，则A∩(∁RB)=A.{x|−1<x<1} B.{x|1<x≤2} C.{x|1≤x≤2} D.{x|−1<x≤2}2.已知复数z满足zi=1+i，则|z|=(

)A.1 B.2 C.3 3.等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1+aA.63 B.45 C.49 D.564.圆C1：x2+y2+2x+2y−2=0和圆CA.外离 B.相交 C.外切 D.内含5.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更.最多相差一两天.”中国农历的“二十四节气”，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从五月、六月、七月这六个节气中任选两个节气，则这两个节气恰在同一个月的概率为(

)A.12 B.13 C.156.如图，三棱锥P−ABC中，M为AC的中点，点O满足BO=3OM，记PA=a，PB=b，A.PO=13a+13b+7.正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素.如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为(

)A.618B.69

C.8.已知函数f(x)=e|x−2|+x2−4x+4，则使得不等式f(2m+1)<f(m+2)A.(13,12) B.(二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中，正确的有(

)A.直线y=a(x+2)+3(a∈R)必过定点(2,3)

B.直线y=2x−1在y轴上的截距为−1

C.直线3x−y+2=0的倾斜角为60°

D.点(1,3)到直线y−2=010.人均国内生产总值是人们了解和把握一个国家或地区的宏观经济运行状况的有效工具，即“人均GDP”，常作为发展经济学中衡量经济发展状况的指标，是最重要的宏观经济指标之一.在国家统计局的官网上可以查询到我国2013年至2022年人均国内生产总值(单位：元)的数据，如图所示，则(

)

A.2013年至2022年人均国内生产总值逐年递增

B.2013年至2022年人均国内生产总值的极差为42201

C.这10年的人均国内生产总值的80%分位数是71828

D.这10年的人均国内生产总值的增长量最小的是2020年11.已知双曲线C：x2−y24=1的左、右焦点分别为F1，F2，点在双曲线C的右支上，若∠A.若θ=60°，则S=43

B.若S=4，则|PF2|=23

C.若△PF1F2为锐角三角形，则S∈(4,412.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A.直线BD1⊥平面A1C1D

B.三棱锥P−A1C1D的体积为定值

C.异面直线AP三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.数列{an}满足a1=1a14.已知a=(4,−2,1)，b=(x−1,3,2)，且a⊥b，则15.求过两条直线x−2y+4=0和x+y−2=0的交点，且与3x−4y+2=0平行的直线方程

．16.已知函数f(x)=3cosωx+sinωx−1(ω>0)在区间(0,2π3)有且仅有四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知数列{an}是递增的等差数列，a2=3，若a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{an}18.(本小题12分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=2ccosC−bcosA．

(1)求C的值；

(2)若c=4，a+b=27，求△ABC的面积．19.(本小题12分)

已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，|F1F2|=2，M(2,25520.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=AB，点E，F分别为PB，PD的中点．

(Ⅰ)证明：PC⊥平面AEF；

(Ⅱ)求平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值．21.(本小题12分)

已知直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，圆C：(x−1)2+(y−2)2=25．

(1)若m=0，求直线l被圆C截得的弦长；

(2)当直线l被圆C截得的弦长最短时，求22.(本小题12分)

已知抛物线C：x2=−2py经过点(2,−1)．

(1)求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M、N两点，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过定点．参考答案1.C

2.B

3.A

4.C

5.C

6.D

7.B

8.B

9.BCD

10.ABD

11.ACD

12.AB

13.3n−1，n∈N∗14.2

15.3x−4y+8=0

16.{ω|1117.解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d(d>0)，

则a1=a2−d=3−d，a5=a2+3d=3+3d，

∵a1，a2，a5成等比数列，

∴a22=a1a5，即32=(3−d)(3+3d)，

化简整理，得d2−2d=0，

解得d=0(舍去)，或d=2，

∴a1=3−d=3−2=1，18.解：(1)因为acosB+bcosA=2ccosC，

由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，

又sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC，所以sinC=2sinCcosC，

又C∈(0,π)，所以sinC≠0，故cosC=12，所以C=π3．

(2)由余弦定理得c2=19.解：(1)不妨设椭圆C的焦距为2c，

因为|F1F2|=2，

所以2c=2，

解得c=1，

即F1(−1,0)，F2(1,0)，

此时|MF1|=9+45=755，|MF2|=1+45=35520.(Ⅰ)证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BC，①

又∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC，②

由①②，PA∩AB=A，可得BC⊥平面PAB，

∴BC⊥AE，③

又∵PA=AB，点E为PB的中点，∴PB⊥AE.④

由③④，BC∩PB=B，可得AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC．

同理可得AF⊥PC，AE∩AF=A，∴PC⊥平面AEF．

(Ⅱ)解：如图，以点A为坐标原点，AB为x轴正方向，AD为y轴正方向，AP为z轴正方向，

建立空间直角坐标系，设AB=2，则B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，

AD=(0,2,0)，AE=(1,0,1)，AF=(0,1,1)．

由(Ⅰ)可知PC是平面AEF的一个法向量，记为n1=(2,2,−2)，

又平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,−1)．

cos<n1,n21.解：(1)若m=0，直线l的方程为x+y−4=0，

由圆C：(x−1)2+(y−2)2=25.可得圆心C(1,2)，半径r=5，

所心圆心C到直线l的距离为d=|1+2−4|2=22，

所以直线l被圆C截得的弦长为25−12=32；

(2)直线l方程变形为(2x+y−7)m+(x+y−4)=0，

由2x+y−7=0x+y−4=0，得x=3y=1，所以直线l恒过定点P(3,1)，

22.解：(1)因为已知抛物线C：x2=−2py经过点(2,−1)，

所以22=−2p×(−1)，

解得p=2，

则抛物线C的方程为x2=−4y，其准线方程为y=1；