清单05 反比例函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练）（原卷版）25学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单05反比例函数（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】反比例函数的概念（1）定义：形如y＝eq\f(k,x)(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝eq\f(k,x)；②y=kx-1;③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)【清单02】反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况k>0图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.【清单03】反比例函数图像特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．【清单04】反比例函数中系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝eq\f(k,x)(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.（2）常见的面积类型：【清单05】反比例函数与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.

【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.

【清单06】反比例函数的实际应用（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.【考点题型一】反比例函数的定义【典例1】下列函数中，y是x的反比例函数的是（

）A．y=x3 B．y=15x C．【变式1-1】下列各点在反比例函数y=−4x图象上的是（A．1,4 B．−2,2 C．2,2 D．−2,−2【变式1-2】若反比例函数y=kxk≠0经过点1,4A．4 B．2 C．−2 D．−4【变式1-3】已知函数y=m−2xm−3【考点题型二】反比例函数系数K的几何意义

【典例2】如图，点A在双曲线y1=2x(x>0)上，点B在双曲线y2=kx(x<0)上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，连接A．−6 B．−8 C．−9 D．−10【变式2-1】如图，点A在反比例函数y1=12x(x>0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2=4x(x>0)的图象于点C，

A．8 B．6 C．4 D．2【变式2-2】如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与反比例函数y=−4x和y=2x的图象交于点A和点B．若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y=6x(x>0)和y=kx(x>0)的图象交于P，Q两点，若

【考点题型三】反比例函数的图像

【典例3】反比例函数y=k2+4A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限【变式3-1】反比例函数y=−5A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、四象限 D．第二、三象限【变式3-2】反比例函数y=m−1x的图象在第二、第四象限，则m可能取的一个值为（A．0 B．1 C．2 D．3【考点题型四】反比例函数图像的对称性

【典例4】如图，双曲线y=kx与直线y=mx相交于A、B两点，B点坐标为(−2,−3)，则A点坐标为（A．(−2,−3) B．(2,3) C．(−2,3) D．(2,−3)【变式4-1】已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=kA．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，1）【变式4-2】如图，已知直线y=2x与反比例函数y=2x的图象交于M，N两点．若点M的坐标是1,2，则点N的坐标是【考点题型五】反比例函数的性质

【典例5-1】关于反比例函数y=−4x，点a,b在它的图像上，下列说法中错误的是（A．当x<0时，y随x的增大而增大 B．图象位于第二、四象限C．点b,a和−b,−a都在该图像上 D．当x<−1【典例5-2】在反比例函数y=k−2x图象的每一支上，y都随x的增大而增大．则A．k<0 B．k<2 C．k>0 D．k>2【典例5-3】若点Ax1,−2,Bx2,1,CxA．x3<x2<x1 B．【变式5-1】已知反比例函数y=−2x则下列结论不正确的是（A．图像必过点(−1，2) B．若x>1，则−2<y<0C．y随x的增大而增大 D．图像在第二、四象限内【变式5-2】若点A−1,y1，B1,y2，C2,y3A．y1>yC．y1>y【变式5-3】如果在反比例函y=2t−1x图象的每一支上，y随x的增大而增大，那么t的取值范围是（A．t>12 B．t≥12 C．【考点题型六】待定系数法求反比例函数解析式

【典例6】若反比例函数y=kxk≠0的图象经过点(−4A．(−3,−4) B．(3,−4) C．(−6,−2) D．(2【变式6-1】已知点A2,3在反比例函数y=k+1x的图象上，则k【变式6-2】已知点Am,m−2，B2,−m2都在反比例函数y=k−1【变式6-3】反比例函数的图象经过点−4，−2，则反比例函数的表达式是y=

【考点题型七】反比例函数的实际应用

【典例7】在对某物体做功一定的情况下，力FN与物体在力的方向上移动的距离sm成反比例函数关系，且当s=10m(1)试确定FN与s(2)求当力F=15N时，物体在力的方向上移动的距离s【变式7-1】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．(1)这个反比例函数的解析式是（R>0）．(2)若使用时电阻R=12Ω，则电流I是(3)如果以蓄电池为电源的用电器的电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻至少是多少？【变式7-2】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压pkPa是气体体积V(1)求该函数的表达式；(2)当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确到0【变式7-3】如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x=6时，y=3，请你解答下列问题．(1)求y关于x的函数表达式．(2)若火焰的像高为2cm【考点题型八】反比例函数与一次函数的交点问题

【典例8】如图，若反比例函数y1=kx与一次函数y2=ax+b交于A、B两点，当【变式8-1】如图，一次函数y=k1x+b和（k1和b均为常数且k1<0）与反比例函数y=k2x（k2为常数且k2ax+b−kx>0【考点题型九】反比例函数与一次函数的综合【典例9】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=−x+2的图象与反比例函数y=kx在第二象限的图象交于点A(n,3)，与x轴交于点B，连结AO并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点(1)求这个反比例函数的表达式．(2)求△ABC的面积．(3)当直线AC对应的函数值大于反比例函数y=kx的函数值时，直接写出【变式9-1】如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象交于点A1,8、Bn,−2，与x轴交于点D(1)求m、n的值；(2)观察函数图象，直接写出不等式kx+b<m(3)连接AO,BO，求△AOB的面积．【变式9-2】如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=6xx>0的图象交于A(1)求一次函数的解析式；(2)根据图象直接写出kx+b−6x<0(3)求△AOB的面积．【变式9-3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A，C在坐标轴上，反比例函数y=kx在第一象限内的图象分别与AB，BC交于点D4,1和点E(1)求反比例函数的解析式和点E的坐标；(2)若一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx在第一象限内的图象相交于点D、E两点，直接写出不等式(3)x轴上是否存在点P使得△PDE为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，如不存在请说明理由；

【考点题型十】反比例函数与几何综合【典例10】如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=2OB，反比例函数y=27x在第一象限的图象经过正方形的顶点(1)求点C的坐标；(2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A′B′C′(3)在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A′、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q【变式10-1】如图，四边形OABC为菱形，且点A在x轴正半轴上，点C的坐标为(3,4)，反比例函数y=kxx>0的图象经过点C，且与边AB交于点(1)求k的值及点B的坐标；(2)判断点D是否为边AB的中点，并说