七年级数学下册培优辅导人教版

讲与相交有关概念与平行线的判定

Ml问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.

考点•方法・破译

【例2】如图所示，点。是直线四上一点，OE、加分别平分/周1

1.了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.

NAOC.

2.驾驭对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形

⑴求NR*的度数；

或几何符号衰示它的.

⑵写出N■的余角与补角.

3.驾驭直线平行的条件，并能依据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.

【解法指导】解这类求角大小的问题，要依据所涉与的角八”

经典•考题-赏析

的定义，以与各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解：

【例1】如图，三条直线被CD、£F相交于点0,一共构成哪几(')

【解1(17：OE、所平分NMZ.AOC：,Z.EOC=\Z.BOC,Z.FOC=\Z.AOC：.

对对顶角？一共构成哪几对邻补角？\/

乙EOF=ZEOC+Z.FOC=1ZBOC+1ZAOC=l(z«ocZACC)又YABOC+ZAOC=

【解法指导】J+

180°.•.N£M=；X180°=90°⑵/施1的余角是：Z.COF.NAOF；N氏近的补角

⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.

是；Z.AOE.

⑵对顶角：有一个公共项点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线.

【变式题组】

⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

01.如图，已知直线被切相交于点0,以平分/呼且/反glOO°,"BOD

有6对对顶角.12对邻补角.

的度数是()

【变式题组】C/

01.如右图所示，直线被CD、5r相交于P、Q、R,则I

⑴/力心的对顶角是邻补角।y'弋

是___________式2)中有几对对顶角，几对邻补角？/'

02.当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角：

当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；【例3】如图，直

当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.线4、7：相交于点。，A6分别是儿、/，上的点，试用三凭尺完成下列作图:

90°,OFLAB.

【变式题组】

01.如图，若E0LAB于0,直线。过点0,NE0D：/的=1：3,求•乙AOC、Z.AOE

的度也

01.P为直线7外一点，4、&C是直线/上三点，且刃=4c皿

Pff=5cahPC=（＞CB.则点P到直线1的距离为（）

A.4c&B.5cmC.不大于4coD.不小于f>ca

02如图，一辆汽车在直线形的马路至上由A向8行驶，，果川为位于马路两侧的村庄:

⑴设汽车行驶到路四上点户的位置时距离村

庄V最近.行驶到圈上点。的位置时，距离村

比"最近，请在图中的马路上分别as山点人QAB

*N

的位置.

⑵当汽车从4动身向5行驶的过程中，在的路上距离，村越来越近..

在

的路上臣离村庄“越来越近，而距离村庄M越来越远./2和N6：

【例4】如图，宜线被勿相交于点0,0ELN2和N4：

CD,OFLAB,/比户=65°,求N及加和的度N3和/5：

数.

N3和N4：

【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形【解法指导】正确馈认同位角、内错用、同旁内知的思路是，首先弄清所推断的

的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：ZA0F=是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直镂

就是被截的两条直线，最终确定它们的名称.角，有“”即有内错角.

【解法指导】⑴由N物=/的可推得初〃图依据内情角相等，两直线平行.

⑵由/用》+/科=180°,可推得初〃阳依据同旁内角互补，两直线平行.

⑶由N4GHN切。可推得阳〃必依据内错角相等，两且线平行.

【变式题组】

01.如图，推理填空.

02.如图,找（1）VZ/1=Z（已知）

出图中标出：.AC//ED<）

的各角的同⑵（已知）

位角、内错角：./€//ED（）

和同旁内角.（3）•••//一/（己知）

03.如图，按各组角的位置推断错误的是（)DF（）

A.N1和/2是同旁内角02.如图，"平分N胆C,EF平■分乙DEC,且N1=N2,试说明况■与期的位置关系.

B.N3和N4是内镜角解：•••川是NZMC的平分线（已知）

C.N5和/6是同旁内角：.ZBAC=2£\（角平分线定义）

D.N5和N7是同旁内角又\•用平分（已知）

【例6】如图，依据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•又=（已知）

⑴/：.ABi/DE()

(2)Z5CZH-ZAA7=180403.如图，已知4E1平分N6XF,应平分ZCAE+ZACE=

(i)ZAClf=ZBAC90*,求证：AB//CD.

【解法指导】图中有即即有同旁内

04.如图，已知N被”/力应，BE平分乙ABC,3平分N4徽Z.EBF=Z.EFB,求证:设S表示过这几个点中的随意两个点所作的全部直线的条数，明显：5=1,S

CD//EF.=3,S=6,Sn—.

演练巩国•反馈提高

【例7】如图⑴，平面内有六

01.如图，N£4gN4«=90°.下列说法正确的是（）

平行的直线，试证：在全部的交角

有一个角小于31°.

（解

⑵，我们可

直线移动

02.如图，已知直线被切被直线厮所截，则/&©的同位角为（）

交于同一

图⑵A.NAMTD.CMC.2ENCD.ZEND

形为图⑵.

03.下列语句中正确的是（）

证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°

A.在同一平面内，一条直线只有一条垂坡

则12X31°=372°>360'

B.过直线上一点的直线只有一■条

这与一周角等于360・冲突

C.过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

所以这12个角中至少有一个角小于31*

D.垂线段就是点到直线的距离

【变式题组】

04.如图，ZBAC=^9,ADLBC于D,则下列结论中，正确的个数有《）

01.平面内有18条两两不平行的直线，试证：在全部的交角中至少有一个角小于11°.

①血友:②/”与/C相互垂直③点。到四的垂线段是线段AB④^段科的长度

02.在同一平面内有2010条直线金,,痴心假如a«L题属〃金，ala,,&〃&.......

是点8到47的距禹⑤垂线段胆是点8到”的距离⑥劭

则&与知传的位置关系是.

A.0B.2C.4D.6

03.已知〃">2）个点R,月，月…4.在同一平面内没有任何三点在同始终线上,

05.点4B、C是直线1上的三点，点尸是直线/外一点，且7=4由PB=5CB>PC

=6CM则点P到直线1的距离是（）13.如图，推理填空:

A.4CBB.5COC.小于4carD.不大于4twar:zA=_______________(已知)

06.将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则N4即+NA5C:.ACHED()

(2),.-Z2=_______________（已知）

：.AC//ED()

⑶•.•/4+___________=180°(已知)

：.AB//FD.

14.如图，请你填上一个适当的条件使初〃比.

07.如图，矩形被小沿对折，且/减=72°,则/曲".培优升级•奥赛检测

08.在同一立面内，若直线&〃a,a_La,&〃a4…则&________孤（度与1不里01.平面图上互不里合的三条直线的交点的

合）数是（）

09.如图所示，直线a、。被宜线。所截，现给出下列四个条件：①N1=N5,②N1A.1.3B,0,1,3C0,2,3D.0,1,2.3

=Z7,③N2+N3=180°,④N4=N7,其中能推断a//b的条件的序号02.平面上有10条直线，其中4条是相互平行的，则这1（1条直线最多能把平面分成

是.<）部分.

10.在同一立面内两条直线的位置关系有.A.60B.55C.50D.45

11.如图，已知阳平分/9应平分/C明，且NE=ZABE+N即C.试说明AB//03.平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6

cm个点之外，这些直线最多还有（）个交点.

A.35B.40C.45D.55

12.如图，已知缈平分N®CF平■分乙BCD,Z1=Z2,

04.如图，图上有6个点,作两两连线时,圆内最多有

则直线加与。的位置关系如何？

交点.

05.如图是某施工队一张破损的图谯，己知a、6是一个角的两边，现在要在图舐上画2,初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理；

一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证3.敏捷运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直线的位置关系，

明你的正确性.感受转化思想在解决数学问题中的敏捷应用.

经典•考题•赏析

06.平面上三条直线相互间的交点的个数是/\

［例1］如图，四边形的?中，AB//CD,BC//AD,乙＜=38。，求NC的度数.

（）

【解法指导】

A.38.1或3C1或2或3

两条直线平行，同位角相等；

D.不肯定是1,2,3

两条直线平行，内错角相等：

07.请你在立面上画出6条直线（没有三条共点）使得它的中的每条直线都恰好与另

两条直线平行,同旁内角互补.

三条直线相交，并简洁说明画法？

平行线的性质是推导角关系的更要依据之一，必需正确识别图形的特征，看清截

08.平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么支配

线，识别角的美系式关健.

才能办到？

【解】：-：AB//CDBC//AD

09.如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线M、/\/.•.乙1+N4180°Z5+Z01800（两条直线平行，同旁内角互补）

AC,则两条对角线的夹角等于（）/'

:.4=NCVZA=38*/.ZC=38*

A.60°B.75*C.90*D.135’--------/

【变式题组】

10.在同一工面内有9条且线如何支配才能满意下面的两个条件？01.如图，已知3〃凿点£在劭的延长线上，若N/1/野=155°,则/胸的度数

⑴随意两条直线都有交点；为（）

⑵总共有29个交点.A.155°B.50°C.45°D.25°

第2讲平行线的性质与其应用

考点•方法-破译

1.驾驭平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区分和联系;

71

8

<«ISl¥>（第2题图）（笫3电图）

02.（安徽）如图，直线/>〃九Nl=55・，Z2=65*,则/3为（）02.如图，已知/疵+/〃》=120°,柩。分别/腕、2AC8,比■过点0与比1平

A.50*B.55*C.60*D,65°行，则N版X

03.如图，已知FC〃AB"DE,N。：N"N42:3:4,试求N。、ZAN5的度03.如图，已知48〃MP//CD,平分/山0,N4=40°,ZP=50",求乙解的度

数.数.

【例2】如图，已知AB//CD//EF,GCA.CF,N460',ZEFC=459,求NBCG【例3】如图，已知N1=N2,£C=£D.求证：，A=4R

的度数.【解法指导】

【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分d------------------«因果转化，综合运用.

战相培合，可求各种位置的角的度数，但留意看清角的位置."

逆向思维：要证明/4=/尸，即要证明加1〃/c7―

C^—D

要证明My/C即要证明N什/戚=180°/

\.^Y：AB//CD//EF：,Z.B=Z.BCDNF=N/W（两条直__________\

EFBC

线平行，内错角相等）又•••NQ60・NMX45・3BCD即：Z<74-ZZW=18O*»要证明NC+NZ®C

=60'N故H45°又•：GC'CF：.ZGCF=^a（垂直定理）：.Z.GCD==180°即要证明掰〃必要证明如〃比即要

90*-45*=45*ZBCG=6Oa-45*=15*证明NI=N3.

【变式题组】证明：.：/1=/2,Z2=Z3（对顶角相等）所以Nl=/3.•.加〃皮•（同位角

01.如图，已知AF//BC,且AF平分N屈a，N6=48°,则NC的的度数=相等•两自线平行）.•./戚+24180°（两直线平行，同旁内角互补）VZOZZ?

版+NQ180。.•.[*〃47（同旁内角，互补两直线平行）.•./{=//：•（两直线

平行，内错角相等）

【变式题组】c/

r»IinM1

01.如图，已知/勿儆Z1=Z2,求证：DE//FG数.

A------------

02.如图，已知Nl+N2=180°,N3=N8.求证：N出夕”/【例5】己知，如图，AB//EF,求证：ZABC+ZBCF+/

【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手绽开联想，分析如/“

03.如图，两平面镜a、£的夹角0,入射光线40平行

£~CO-

于B入射到。上，经两次反射后的出射光线.’炉防疏联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角.

于。，则角。等于.过点。作卬〃四即把已知条件瓶〃所■联系起来，这是关键.---------〈

1>

【例4】如图，已知舐L阳ADLBC,Z1=Z3.0【证明】：过点C作。〃四'：CD//ABAZl+Z^O---------Qc

求证：依平分NZWC.'\180°£F

【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，细致分析/（两直线平行，同旁内角互补）又••••〃防...a?〃即（平行

条件给我们带来的结论，对于不能干脆干脆得出结论"G”「于同一条直线的两直线平行）：.Z2+ZCFE=1SQ°（两直线平行，

的条件，要精确把握住这些条件的意图.（题目中的：同旁内角互补）AZABC+Z1+Z2+ZCFE=180*+180*=360*

Z1=Z3）即Z./BC+NBCF+/GE-360°

证明：.：EG【BC,ADLBC：.4EGC=NADC=90°【变式JS班】

（垂直定义）.••康；〃4?（同位角相等，两条直线平行）01.如图，已知，AB//CD,分别探究下面四个图形中/批和/乃姐、N/O的关系，

VZ1=Z3.••N3=N4仞（两条直线平行，内错角相等）请你从所得四个关系中选出随意一个，说明你探究的结论的正确性.

二四平分N切。（角平分线定义）结论，（1）⑵

【变式题组】

01.如图，若血比■于EZ1=Z2,求证IDCLBC.(3；(4)

02.如图，在△被7中，CE工AB于E,DFLAB于F,AC//ED,座平分乙化5.求证:

Z.EDP=Z.BDP.

3.已知如用，AB//CD,N44（r,CJV是N8GF的平分线.CMLCN,求：NBOf的1度

⑴定：确定平移的方向和距高.

（2根，找出图形的关键点.

⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关健点的对应点.

⑷连：按原图形顺次连接对应点.

【例6】如图，已知，AB//CD.则N。、/£、/，、Z步之间的关系是

【解】①连接〃②过点E作，的平行线】③在1截取BS=AA；财点8就是

Na+Ny+N6—N£=180°

的8对应点，用同样的方法作出点。的对应点C.连接48,BC.C4就得到平移后的

【解法指导】基本图形

三角形45U

擅长从困难的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路.

【变式题组】

【解】过点£作幽〃痴过点尸作用〃四.,：AB//EH.•.Na=Nl（两直

01.如图，把四边形皿按衙头所指的方向平移21项，作出平移后的图形.

线平行，内错角相等）又•：FGIAB.•.夕/〃8（平行于同一条直线的两直线平行）

Z2=Z3力：ABHCD；.R7〃Q?（平行于同一条直线的两直线平行）N*+N402.如图，已如三角形胸中，Zf>90*,BC=4,AC=4,现将△37沿8方向平移

=180°（两直线平行，同旁内角互补）感-Nf=Nl+N3+/4到△40C的位置，若平移距离为3,求△被？与△4NC的重叠部分的面积.

-«>-Zl-Z2=Z4+6=180・

【变式题组】

01.如图，AB//EF.N0=9O°,则N。、N6、Ny的关系是（）

A.Zfi=Za+ZrB.NS+No+N，=18（T

03.原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着比1方向平移砥的距离,

C.Zfl4-Z）9-zr=90*D./£+//-/。=90°

就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）

02.如图，已知，AB//CD.N胸和NQ组的平分线相交于点RZ£=140,,求/BFD

的度数.

【例7】如图，平移三角形血设点彳移动到点4,国出平移后的三角形4/6

【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.演练巩固反馈提高

01.如图，由4测8得方向是（）从图中可知，小敏面平行线的依据有（）

A.南偏东30'B.南偏东60°①两直线平行，同位角相等।②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直

C.北偏西30°D.北偏西60・线平行；④内错角相等，两直线平行.

02.命题t①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；A.①（g）B.②®C.③®D.①©

④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（）06.在46两座工厂之间要修建一条笔直的马路，从4地测得8地的走向是南偏东

，1个6.2个C.3个24个52•.现4、6两地要同时开工，若干天后，马路精确对接，则8地所修马路的走

03.一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，向应当是（）

两次拐弯的角度可能是（）A.北偏东52°B.南偏东52°C.西偏北52°D.北偏西38°

A.第一次向左拐30♦,其次次向右拐30'B.第一次向右拐50°,其次次向07.下列几种运动中属于平移的有（）

左拐130。①水平运输带上的砖的运动：②第直的高诉马路上行驶的汽车的运动（忽视车轮

C.第一次向左拐50°,其次次向右拐130°D,第一次向左拐8°,共次次向的转动）；@升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.

左拐120.41种8.2种C.3种〃4种

04.下列命题中，正确的是（）08.如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位

A.对顶角相等B.同位角相等C.内镜角相等D.同旁内角互于左上角的位置（不能出格）

补09.视察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）

05.学习了立行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是通过10.如图，AL7/BC.AB//CD,AELBC,现将43■进行平移,平移方向为射线段的方

折一张当透亮的纸得到的［如图（114）］向.平移距离为线段a'的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.

(1)⑵⑶⑷D

11.推断下列命题是真命题还是假命题，假如是假命题，举出一个反例.切方向匀速滚来，运动员马上从4处以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的

⑴对顶角是相等的角I⑵相等的角是对顶角；速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向与最快能截住足球的

⑶两个说角的和是钝角；（4）同旁内角互补，两直线平行.位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移）

12.把下列金就改写成“假如……则……”的形式，并指出命题的真假.03.如图，长方体的长/^=4ar,宽及7=3a?,AAA=2ca.将4C平移到4G的位置

⑴互补的角是邻补角：上时，平移的距离是平移的方向是______.

⑵两个锐角的和是锐角；04.如图是图形的掇作过程（五个矩形水平方向的边长均为a,竖直方向的边长为b）；

⑶直角都相等.将线段44向右平移1个单位得到反足，得到封闭图形44E5.［即阴影部分如图

13.如图，在湖边修一条马路.假如第一个拐弯处N/=12（T.其次个拐弯处/A⑴］;将折现444向右平移1个单位得到8班，得到封闭图形44ABB1A［即

150-,第三个拐弯处NC,这时道路第恰好和道路初平行，问NC是多少度？阴影部分如图（2）］；

并说明理由.（1临图（3；中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，

从而得到1个封闭图形，并画山阴影.

14.如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中£