清单07 二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）（原卷版）25学年九年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

清单07二次函数（13个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】次函数的概念一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数【清单02】二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．（3）交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．【清单03】二次函数的图象及性质解析式二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）对称轴x=–顶点（–，）a的符号a>0a<0图象开口方向开口向上开口向下最值当x=–时，y最小值=当x=–时，y最大值=最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x<–时，y随x的增大而减小；当x>–时，y随x的增大而增大当x<–时，y随x的增大而增大；当x>–时，y随x的增大而减小【清单04】抛物线的平移二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．【清单05】二次函数与一元二次方程的关系1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3）（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．【清单06】用二次函数的性质解决实际问题利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值【清单07】用二次函数图象解决几何问题二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的【考点题型一】二次函数的概念

【典例1-1】下列函数中属于二次函数的是（

）A．y=3x−1 B．y=ax2+bx+c C．y=2【典例1-2】关于x的函数y=(m−1)xm2+1+5【变式1-1】下列属于二次函数的是（

）A．y=−2x2+3 B．y=2x C．y=【变式1-2】若y=(m−4)x2−5x+3表示y是x的二次函数，则m【变式1-3】若y=m−2xm2−2+3x是关于

【考点题型二】特殊二次函数的图像和性质

【典例2】对于抛物线y=−2x−12+3A．函数最小值是3 B．当x>1时，y随x的增大而增大C．抛物线的顶点坐标是−1,3 D．对称轴为直线x=1【变式2-1】若二次函数y=x2+3的图象经过点−1,y1，3,y2A．y1=y2 B．y1【变式2-2】抛物线y=x−12−2A．−1,−2 B．1,−2 C．−1,2 D．1,2【变式2-3】设A(−5,y1)，B(1,y2)，C(2,y3)是抛物线y=−A．y2>y3>y1 B．【变式2-4】已知关于x的二次函数y=−x−52+1，当2<x<6时，【考点题型三】与特殊二次函数有关的几何知识

【典例3】如图，抛物线C1:y=x2−4x的对称轴为直线x=a，将抛物线C1向上平移5个单位长度得到抛物线C2【变式3-1】如图，已知抛物线y1=−12x2+4，−2≤x≤2，将【变式3-2】如图，抛物线y=13x2−3与x轴交于A，B两点，F是以点C0,4为圆心，1为半径的圆上的动点，D是线段AF的中点，连接OD，【变式3-3】将抛物线y=−x2向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接OA、AB如果△AOB是等边三角形，那么点B的坐标是【变式3-4】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为1,1、1,4、4,4．若抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是

【考点题型四】二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质

【典例4】已知二次函数y=2x2−x+1A．顶点坐标为12,7C．当x≤1时，y随x的增大而减小 D．若1<x1【变式4-1】下列关于二次函数y=−3x+1x−2的图象和性质的叙述中，正确的是（A．点0,2在函数图象上 B．开口方向向上C．对称轴是直线x=1 D．与直线y=3x有两个交点【变式4-2】已知二次函数y=−mx2+2mx+4m>0经过点A−2,y1A．y1<y2<y3 B．【变式4-3】二次函数y=ax2+x−6的图象与x轴交于A−3,0、A．它的对称轴为直线x=1 B．顶点坐标为−C．点B的坐标为2,0 D．当x<−1时，y随x的增大而增大【变式4-4】抛物线y=ax2+bx+ca≠0，y与x−2012my−5343−5A．开口向下 B．顶点坐标为1,4 C．当x<0时，y随x的增大而减小 D．m=4

【考点题型五】二次函数y=ax²+bx+c的最值与求参数范围问题

【典例5】已知二次函数y=x2−2ax+a2−1，当A．1或0 B．1或2−3 C．2−3或3−1【变式5-1】已知二次函数y=x2−bx+1，当−32≤x≤12时，函数A．−2或32 B．−116或32 C．±【变式5-1】已知二次函数y=mx2−4mx+1，其中m>0．若当0≤x≤4时，对应的y的整数值有6个，则mA．12<m<34 B．1<m≤54【变式5-2】已知抛物线y=x²+2a−1x−3，若当−1≤x≤3时，函数的最大值为1，则a的值为【考点题型六】根据二次函数y=ax²+bx+c的图像判断有关的信息

【典例6】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a+b=0；③m为任意实数，则a+b≤m(am+b)；④a−b+c>0；⑤若ax12+bA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式6-1】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，现给以下结论：①abc<0；②c+2a<0；③9a−3b+c=0；④A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式6-2】如图，已知顶点为−3,−6的抛物线y=ax2+bx+c过−1,−4，则下列结论：①abc<0；②对于任意的x，均有am2+bm+c+6>0；③−5a+c=−4；④若A．2 B．3 C．4 D．5【变式6-3】如图，已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A−1,0，与y轴的交点在0,−2和0,−1之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，下列结论：①4a+2b+c>0；②4ac−A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式6-4】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为12,1，下列结论：①abc<0；②b2−4ac>0A．1 B．2 C．3 D．4【考点题型七】二次函数的平移变换

【典例7】将抛物线y=x2向上平移2个单位长度，再向左平移5个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（A．y=x+52+2C．y=x+52−2【变式7-1】将抛物线y=3xA．y=3(x+1)2+2C．y=3(x−2)2+1【变式7-2】要得到二次函数y=−x−22+1A．向左平移2个单位，再向下平移1个单位B．向右平移2个单位，再向上平移1个单位C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位【变式7-3】在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+1A．y=x−32−1C．y=x+32−1【考点题型八】二次函数的交点问题

【典例8】抛物线y1=−x2+4x和直线yA．x<0 B．0<x<4 C．0<x<2 D．2<x<4【变式8-1】二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，当函数值y<0时，自变量x【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bxa>0和直线y=kxk>0交于点O和点A，则关于x【变式8-3】如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A(−5,−3)，B(3,4)【考点题型九】二次函数应用-类抛物线问题

【典例9】【综合与实践】为响应国家“双减”政策号召，落实“五育并举”举措，我县各校开展了丰富多彩的社团活动．球类运动课上，甲乙两人打乒乓球，让乒乓球沿着球台的中轴线运动，从侧面看乒乓球台如图所示，MN为球台，EF为球网，点E为MN中点，MN=28dm，EF=1.5dm，甲从M正上方的A处击中球完成发球，球沿直线撞击球台上的B处再弹起到另一侧的C处，从C处再次弹起到P，乙再接球．以MN所在直线为x轴，M为原点作平面直角坐标系，xdm表示球与M的水平距离，ydm表示球到球台的高度，将乒乓球看成点，两次弹起的路径均为抛物线，BC段抛物线的表达式为y1(1)①点F的坐标为______；②用含t的式子表示：点B的坐标为______；点C的坐标为______；(2)当球在球网EF正上方时到达最高点，求此时球与F的距离；(3)若球第二次的落点C在球网右侧5dm处，球再次弹起最高为1.25dm，乙的球拍在N处正上方如线段GH，GH=1.5dm，【变式9-1】如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=−0.2x2+3.5A．3m B．3.5m C．4m 【变式9-2】“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度y（米）与水平距离x（米）接近于抛物线y=−0.5x2+10x−38【变式9-3】图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是50,25，OC=5．(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A建有垂直于水平线OD的城墙AB，且OD=75，AD=12，AB=9，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB．【变式9-4】某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m方案一，抛物线型拱门的跨度ON=12m，拱高PE=4m其中，点N在x轴上，PE⊥ON，方案二，抛物线型拱门的跨度ON′=8m，拱高P′E′=6m要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A′B′C′D′的面积记为S2，点A′

(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当AB=3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1【考点题型十】二次函数应用-面积问题

【典例10】以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动．如图，△ABC是一块用篱笆围出的直角三角形田地，其中∠C=90°，AB=500m，BC=300m，数学探究小组准备继续用篱笆在该田地中围出“矩形生态农业观光园”．该观光园为矩形DEFG，E、F落在BA边上，D在BC边上，G在AC边上，（其中(1)若DE=204m，请求出矩形生态农业观光园DG(2)因材料限制，新添加的篱笆总长最多只能为485m【变式10-1】如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形ABCD菜园，墙长为12米．设AB的长为x米，矩形ABCD菜园的面积为S平方米，(1)分别用含x的代数式表示BC与S；(2)若S=54，求x的值；(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？【变式10-2】综合与实践在综合实践课上，小明想做一些矩形木板零件，他找到了一些木板余料：(1)如图1，已知三角形小木块△ABC，边BC=120cm，高AD=80cm，小明要利用它做一个正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求加工成的正方形零件(2)如图2，已知三角形小木块△ABC，边BC=a，高AD=ℎ，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．求加工成的矩形零件PQMN面积的最大值是多少？（用含a，ℎ的代数式表示）(3)如图3，已知四边形的小木块ABCD，测得AB=60cm，BC=100cm，CD=70cm，∠B=∠C=60°，小明要利用它做一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，CD【变式10-3】如图，四边形ABCD中，AD=CD,AB=BC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)如果筝形的两条对角线长分别为6cm、8(2)已知筝形ABCD的对角线AC,BD的长度为整数值，且满足AC+BD=6．试求当AC,BD的长度为多少时，筝形ABCD的面积有最大值，最大值是多少？

【考点题型十一】二次函数应用-利润问题

【典例11】某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围．(2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？(3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价x的值．【变式11-1】某商店销售一种进价60元/件的商品，经市场调查发现：该商品的每天销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、销售量的二组对应值如下表：售价x/（元/件）80100销售量y/件10060(1)求销售量y关于售价x的函数关系式．(2)①设商店销售该商品每天获得的利润为W（元），求W与x之间的函数关系式．②若规定售价高于进价且不超过进价的1.5倍，问当售价定为多少时，该商店销售这种商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？【变式11-2】某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）与销售单价x（元）x≥30存在如下图所示的一次函数关系．(1)试求出y与x的函数关系式；(2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？(3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（直接写出）．【变式11-3】著名作家史铁生用他积极乐观的人生态度影响着无数的读者，他是当之无愧的“时代巨人”．近日华南书苑直播平台直播带货史铁生散文集《病隙碎笔》，赢得了众多粉丝的青睐．已知这本书的成本价为每本10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700本，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200本．设每天的销售量为y（本），销售单价为x（元/本）(1)直接写出y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若销售该书每天的利润为7500元，求该书的销售单价；(3)甘肃地震牵动着全国人民的心，该主播决定，每销售一本书就捐赠a元a>0给灾区，当每天销售最大利润为6000元时，求a的值．【考点题型十二】二次函数与几何综合应用

【典例12】如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点P是坐标平面内一点，点P(1)求抛物线的解析式；(2)连接OP，若点D在抛物线上且∠DBO+∠POB=90°，求点D的坐标；(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+c当−1≤x≤4时的函数图象记为l1，将图象l1在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象l1的其余部分保持不变，得到一个新图象l2．若经过点P【变式12-1】如图，抛物线y=−x2+bx+c与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知A(1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标．(2)点M是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接MA，MB，当△MAB面积最大时，求M点的坐标．(3)若点M坐标固定为1,6，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当△ABM与△ABQ的面积相等求出点Q的坐标．【变式12-2】如图，抛物线y=−x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(1)求抛物线的表达式；(2)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，△CBF的面积最大？求出△CBF的最大面积及此时E点的坐标；(3)在坐标平面内是否存在点P，使得以A，C，D，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．【变式12-3】如图，二次函数y=ax2+bx+ca<0的图象与x轴交于A(−1,0)，B两点，与y轴交于点C，已知(1)求该二次函数的表达式；(2)连接AC，P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PA，若△PDA与△COA相似，请求出满足条件的P点坐标；若没有满足条件的P点，说明理由．【变式12-4】如图，点C为二次函数y=x2+2x+1的顶点，直线y=−x+m与该二次函数图象交于A(−3,4),B两点（点B在y(1)求m的值及点C坐标；(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围；(3)连接AC、BC，求△ABC的面积；(4)在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【变式12-5】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3分别交x轴，y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y=−x2+bx+c与x(1)求抛物线的解析式；(2)点D在第二象限的抛物线上，且△AOD与△ABC面积相等，求D点坐标；(3)若P为线段AB上一点，∠APO=∠ACB，求AP的长；(4)在（3）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点题型十三】二次函数与其他实际应用综合【典例13】【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片美丽的心形叶片，图