成都高二统考数学试卷

成都高二统考数学试卷一、选择题

1.若集合A={x|x≤3，x∈N}，集合B={x|x²-5x+6=0}，则A∩B=（）

A.{1,2,3}

B.{2,3}

C.{1,2}

D.{1,2,3,6}

2.已知函数f(x)=x²-2ax+3a，若f(x)的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（）

A.a>3

B.a<3

C.a>0

D.a<0

3.若等差数列{an}中，a1=3，d=2，则第10项an=（）

A.17

B.19

C.21

D.23

4.已知函数f(x)=x+1/x，若f(x)在区间（0，+∞）上单调递增，则x的取值范围是（）

A.x>1

B.x<1

C.x>0

D.x<0

5.已知数列{an}的通项公式为an=n²-3n+2，则数列的前5项之和S5=（）

A.20

B.25

C.30

D.35

6.若等比数列{an}中，a1=2，q=3，则第n项an=（）

A.2×3^(n-1)

B.2×(3^n-1)

C.2×(3^n+1)

D.2×(3^n-2)

7.已知函数f(x)=lnx，若f(x)在区间（0，+∞）上单调递增，则x的取值范围是（）

A.x>1

B.x<1

C.x>0

D.x<0

8.若等差数列{an}中，a1=4，d=-2，则第10项an=（）

A.-12

B.-14

C.-16

D.-18

9.已知函数f(x)=x²-4x+4，若f(x)的图象与x轴有两个交点，则x的取值范围是（）

A.x>2

B.x<2

C.x>0

D.x<0

10.若等比数列{an}中，a1=1，q=-2，则第n项an=（）

A.2×(-2)^(n-1)

B.2×(-2^n-1)

C.2×(-2^n+1)

D.2×(-2^n-2)

二、判断题

1.函数y=|x|在x=0处不可导。（）

2.等差数列的通项公式可以表示为an=a1+(n-1)d。（）

3.如果两个函数在某个区间内的导数相等，那么这两个函数在该区间内一定相等。（）

4.函数y=lnx在x=1处取得极小值。（）

5.一个函数在某个区间内单调递增，那么它的导数在该区间内一定大于0。（）

三、填空题

1.若函数f(x)=x³-3x²+4x-1在x=1处的导数为0，则f(1)=________。

2.已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=2，d=3，则Sn=________。

3.函数y=x²-4x+3的零点为________和________。

4.在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点坐标为________。

5.若等比数列{an}的第一项a1=5，公比q=1/2，则第4项an=________。

四、简答题

1.简述函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像性质，包括顶点坐标、开口方向和对称轴。

2.解释等差数列和等比数列的通项公式，并举例说明如何通过通项公式求解数列中的特定项。

3.证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(a)和f'(b)异号，那么至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

4.说明如何利用导数判断函数的单调性和极值。请举例说明。

5.解释如何求解直线与曲线的交点，并举例说明如何通过解方程组找到具体的交点坐标。

五、计算题

1.计算函数f(x)=x³-6x²+9x+1在x=2处的导数。

2.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=4，a3=7，求该数列的通项公式an。

3.求解方程组：

\[

\begin{cases}

x^2-2xy+y^2=4\\

x+y=2

\end{cases}

\]

4.求函数f(x)=x/(x-2)的极值。

5.已知直线y=3x+1与抛物线y=x²-4x+4相交，求交点坐标。

六、案例分析题

1.案例分析题：某公司销售部计划推出一款新产品，已知该产品的成本函数为C(x)=200x+3000，其中x为销售数量。市场调研表明，当产品价格为p=200元时，销售量为x=500件。为了提高销售量，公司决定进行促销活动，预计每降低1元价格，销售量将增加5件。请根据以下要求进行分析：

（1）建立销售量与价格的关系函数；

（2）求出促销活动后的利润函数；

（3）若公司希望利润最大，应将产品价格定为多少元？

2.案例分析题：某班级有学生40人，根据问卷调查，有70%的学生喜欢数学，60%的学生喜欢物理，有30%的学生既喜欢数学又喜欢物理。请根据以下要求进行分析：

（1）求出只喜欢数学的学生人数；

（2）求出只喜欢物理的学生人数；

（3）求出既不喜欢数学也不喜欢物理的学生人数。

七、应用题

1.应用题：某市计划在市中心修建一座公共图书馆，预计建设成本为1500万元。根据市场调研，每增加1平方米的建筑面积，预计建设成本将增加0.5万元。此外，图书馆的年运营成本为50万元，且每年增加2万元。假设图书馆的年运营收入为每平方米5万元，且每增加1平方米建筑面积，年运营收入增加0.2万元。请计算：

（1）图书馆的建筑面积至少需要多少平方米，才能保证年运营收入超过年运营成本？

（2）如果图书馆的建筑面积为2000平方米，计算该项目的预期利润。

2.应用题：某班级进行数学竞赛，共有100名学生参加。已知竞赛成绩的分布符合正态分布，平均分为75分，标准差为10分。请计算：

（1）该班级竞赛成绩在60分以下的学生比例；

（2）该班级竞赛成绩在85分以上的学生比例；

（3）该班级竞赛成绩在70分到80分之间的学生比例。

3.应用题：一家工厂生产的产品质量检验标准是次品率不超过5%。某批次产品经过检验，发现其中有6件次品。请计算：

（1）该批次产品的次品率；

（2）若该工厂希望将次品率降低到3%，需要抽取多少件产品进行检验？

4.应用题：一家公司计划投资于两种股票，股票A的预期收益率为15%，股票B的预期收益率为10%。假设公司计划投资总额为100万元，且希望投资比例满足以下条件：股票A的投资比例不低于30%，股票B的投资比例不低于20%。请计算：

（1）两种股票的投资比例；

（2）若股票A的实际收益率达到20%，计算公司的实际总投资收益率。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B

2.D

3.C

4.A

5.A

6.A

7.A

8.C

9.B

10.C

二、判断题

1.√

2.√

3.×

4.√

5.×

三、填空题

1.f(1)=0

2.Sn=n/2(2a+(n-1)d)

3.1,3

4.(3,2)

5.5/16

四、简答题

1.函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像性质包括：

-顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a)；

-开口方向由a的符号决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下；

-对称轴为x=-b/2a。

2.等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。通过通项公式可以求解数列中的任意项，例如求第n项an，只需将n代入公式即可。

3.根据罗尔定理，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f'(a)和f'(b)异号，那么至少存在一点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

4.通过导数判断函数的单调性和极值：

-如果导数大于0，则函数在该区间上单调递增；

-如果导数小于0，则函数在该区间上单调递减；

-如果导数从正变负，则函数在该点取得极大值；

-如果导数从负变正，则函数在该点取得极小值。

5.求解直线与曲线的交点，可以通过解方程组找到具体的交点坐标。例如，直线y=3x+1与抛物线y=x²-4x+4的交点坐标可以通过解方程x²-4x+4=3x+1得到。

五、计算题

1.f'(x)=3x²-12x+9，f'(2)=3(2)²-12(2)+9=3。

2.an=2+3(n-1)=3n-1。

3.x²-2xy+y²=4，解得x=2，y=0或x=0，y=2。

4.f'(x)=1/(x-2)²，f'(x)在x=2处无极值。

5.解方程组y=3x+1和y=x²-4x+4，得到交点坐标为(1,4)和(3,10)。

六、案例分析题

1.（1）销售量与价格的关系函数为x=(p-200)/0.5；

（2）利润函数为L(p)=(p-200)/0.5×p-3000-50；

（3）利润最大时，p=150元。

2.（1）30%；

（2）40%；

（3）30%。

七、应用题

1.（1）建筑面积至少需要2000平方米；

（2）预期利润为150万元。

2.（1）15%；

（2）35%；

（3）20%。

3.（1）次品率为6/100=6%；

（2）需要抽取333件产品进行检验。

4.（1）股票A投资比例为30%，股票B投资比例为70%；

（2）实际总投资收益率为12.5%。