2024年沪教新版高三数学下册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪教新版高三数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则等于（）A.（2，4）B.（3，5）C.（-3，-5）D.（-2，-4）2、已知mx2+mx+m＜1的解集为R，则m的取值范围是（）A.（-∞，0）B.C.（-∞，0]D.3、已知等于（）A.135°B.90°C.45°D.30°4、在复平面内，向量对应的复数是2+i，向量对应的复数是-1-3i，则向量对应的复数为（）A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4i5、已知集合A={x|x2-9＞0}，B={x|2＜x≤5}，则A∩B=（）A.（3，5]B.（-∞，-3）∪（5，+∞）C.（-∞，-3）∪[5，+∞）D.（-∞，2]∪（3，+∞）评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、设实数x，y满足约束条件目标函数z=x+ay取最大值时有无穷多个最优解，则a=____．7、集合{a，b，c，d}所有子集的个数是____，含有2个元素子集个数是____．8、，是两个互相垂直的单位向量，且=-（2+），=-λ

（1）若∥，则λ=____平行时____（填同向或反向）

（2）若⊥，则λ=____．9、设变量x，y满足约束条件，则z=的最大值为____．10、设10a=2，lg3=b，则log26=____．11、我们把具有以下性质的函数f（x）称为“好函数”：对于在f（x）定义域内的任意三个数a，b，c，若这三个数能作为三角形的三边长，则f（a），f（b）；f（c）也能作为三角形的三边长．现有如下一些函数：

①

②

③f（x）=ex；x∈（0，1）

④f（x）=sinx；x∈（0，π）．

其中是“好函数”的序号有____．12、定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上单调递增，设a=f（3），c=f（2），则a，b，c从大到小的排列顺序是____．13、已知圆O的半径为1，半径OA、OB的夹角为θ（0＜θ＜π），θ为常数，点C为圆O上的动点，若则x+y的最大值为____．评卷人得分三、判断题(共9题，共18分)14、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．15、函数y=sinx，x∈[0，2π]是奇函数．____（判断对错）16、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）17、判断集合A是否为集合B的子集；若是打“√”，若不是打“×”．

（1）A={1，3，5}，B={1，2，3，4，5，6}．____；

（2）A={1，3，5}，B={1，3，6，9}．____；

（3）A={0}，B={x|x2+1=0}．____；

（4）A={a，b，c，d}，B={d，b，c，a}．____．18、已知函数f（x）=4+ax-1的图象恒过定点p，则点p的坐标是（1，5）____．（判断对错）19、已知A={x|x=3k-2，k∈Z}，则5∈A．____．20、空集没有子集．____．21、任一集合必有两个或两个以上子集．____．22、若b=0，则函数f（x）=（2k+1）x+b在R上必为奇函数____．评卷人得分四、证明题(共2题，共20分)23、已知Rt△ABC；∠C=90°，设AC=m，BC=n

（1）若D为斜边AB的中点，求证：CD=AB；

（2）若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度（用m，n表示）24、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中；已知M为棱AB的中点．

（1）证明：AC1∥平面B1MC；

（2）证明：平面D1B1C⊥平面B1MC．评卷人得分五、简答题(共1题，共10分)25、如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，当E、F分别在线段AD、BC上，且AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直。1.判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；2.当直线AC与平面EFCD所成角为多少时，二面角A—DC—E的大小是60°。评卷人得分六、综合题(共3题，共30分)26、AB为过抛物线x2=4y焦点F的一条弦，设A（x1，y1），B（x2，y2），以下结论正确的是____；

①x1x2=-4，且y1y2=1

②|AB|的最小值为4

③以AF为直径的圆与x轴相切．27、设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1=0，cn=an+bn，若{cn}是1，1，2，，求数列{cn}的前10项和．28、设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）

（y1＞0，y2＜0）两点，M是抛物线的准线上的一点，O是坐标原点，若直线MA、MF、MB的斜率分别记为：kMA=a、kMF=b、kMB=c；（如图）

（1）若y1y2=-4；求抛物线的方程；

（2）当b=2时，求证：a+c为定值．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】【分析】利用平行四边形对边平行相等，结合向量的运算法则，求解即可．【解析】【解答】解：∵；

∴==（-3；-5）．

故选：C．2、C【分析】【分析】对m分类讨论．①当m=0时，直接验证即可；②当m≠0时，要使mx2+mx+m-1＜0的解集为R，必须满足，解得即可．【解析】【解答】解：①当m=0时，mx2+mx+m＜1化为0＜1；其解集为R，满足条件；

②当m≠0时，要使mx2+mx+m-1＜0的解集为R，必须满足；解得m＜0．

综上可知：m的取值范围是（-∞；0]．

故选C．3、C【分析】【分析】由，，，知=0，由此能求出的夹角θ的大小．【解析】【解答】解：∵，，；

∴=0；

∵的夹角为θ；

∴1-1××cosθ=0；

∴cosθ=；

∴θ=45°．

故选C．4、D【分析】【分析】根据要求向量对应的复数，向量=+，因此需要先做出的表示形式，然后根据向量和复数的加法运算，写出要求的向量对应的复数．【解析】【解答】解：∵向量对应的复数是2+i，向量对应的复数是-1-3i

∴对应的复数是-2-i；

∴向量对应的复数为（-1-3i）+（-2-i）=-3-4i．

故选D．5、A【分析】【分析】化简集合A、根据交集的定义写出A∩B．【解析】【解答】解：集合A={x|x2-9＞0}={x|x＜-3或x＞3}；

B={x|2＜x≤5}；

则A∩B={x|3＜x≤5}=（3；5]．

故选：A．二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使目标函数的最优解有无数个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．【解析】【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

若a=0，则x=z，此时满足条件最大值时有无穷多个最优解，此时a=0；

若a＞0；

由z=x+ay得y=-x+；

若a＞0，∴目标函数的斜率k=-＜0．

平移直线y=-x+；

由图象可知当直线y=-x+和直线AB：x+y=5平行时；此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时不满足条件；

若a＜0，∴目标函数的斜率k=-＞0．

平移直线y=-x+；

由图象可知直线y=-x+；取得最大值的点只有一个，此时不满足条件；

综上a=0；

答案为：07、略

【分析】【分析】根据子集的定义求已知集合的子集；根据组合数的知识求n个元素的，含有2个元素子集个数．【解析】【解答】解：集合{a，b，c，d}所有子集的个数是24=16个，含有2个元素子集个数是=6个；

故答案为：16；6．8、略

【分析】【分析】（1）由题意可得=（-2，-1），=（1；-λ），运用向量共线的坐标表示，解方程即可得到；

（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．【解析】【解答】解：（1）由，是两个互相垂直的单位向量；

可设=（-2，-1），=（1；-λ）；

若∥，即有-1=2λ，解得λ=-；

（2）若⊥；则-2×1+（-1）×（-λ）=0；

解得λ=2．

故答案为：-，反向，-2．9、略

【分析】【分析】先画出满足条件的平面区域，得到y=z（x+2）过（0，1）时，z最大，从而求出z的最大值．【解析】【解答】解：先画出满足条件的平面区域；

如图示：

由z=得：y=z（x+2）；

∴y=z（x+2）过（0；1）时，z最大；

∴z的最大值是；

故答案为：．10、略

【分析】【分析】首先变指数式为对数式求得a，把log26运用乘积的对数等于对数的和展开后，再运用换底公式转化成含有lg2和lg3的式子，代入a和b后可的结果．【解析】【解答】解：由10a=2，得：a=lg2，又因为b=lg3；

所以log26=log2（2×3）=1+log23=1+=1+=．

故答案为：．11、①②③【分析】【分析】任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c；

①；可得函数f（x）是“好函数”；

②作差，验证f（a）+f（b）＞f（c）；可得函数f（x）是“好函数”；

③，若，即ec＜4；由c∈（0，1），可得结论成立；

④若f（a）+f（b）=sina+sinb=2sincos＞sinc，结论不一定成立．【解析】【解答】解：任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，不妨设c是最大边，且a+b＞c

①，∵；∴函数f（x）是“好函数”；

②f（x）=1-x，∵f（a）+f（b）-f（c）=1+c-（a+b），a，b，c∈（0，），∴f（a）+f（b）-f（c）＞0，∴f（a）+f（b）＞f（c）；∴函数f（x）是“好函数”；

③f（x）=ex，，若，即ec＜4；∵c∈（0，1），∴结论成立，∴函数f（x）是“好函数”；

④f（x）=sinx，若f（a）+f（b）=sina+sinb=2sincos＞sinc，则∵x∈（0，π），-π＜a-b＜c；∴结论不一定成立，∴函数f（x）不是“好函数”；

故答案为：①②③12、略

【分析】

∵f（x）满足f（x+1）=-f（x）

∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x）即函数是以2为周期的周期函数．

∵定义在R上的偶函数f（x）；且在[-1，0]上单调递增根据偶函数的性质可得函数在[0，1]单调递减．

而a=f（3）=f（1），=c=f（2）=f（0）且．

∴

故答案为：c＞b＞a

【解析】【答案】f（x）满足f（x+1）=-f（x）⇒f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即函数是以2为周期的周期函数由偶函数f（x），且在[-1，0]上单调递增，根据偶函数的性质可得函数在[0，1]单调递减而a=f（3）=f（1），=c=f（2）=f（0）且结合函数在[0，1]上的单调性可比较。

13、略

【分析】

∵圆O的半径为1，半径OA、OB的夹角为θ（0＜θ＜π），点C为圆O上的动点，=x+y（x；y∈R）；

∴==x2+2xycosθ+y2=1；

∴（x+y）2-2xy+2xycosθ=1；

∴2xy（1-cosθ）=（x+y）2-1；

∵0＜θ＜π；

∴1-cosθ≠0；

∴2xy=不妨令x＞0，y＞0；

则2xy=≤2×令t=x+y（x＞0，y＞0）；

则t2-1≤t2（1-cosθ）；

整理得：t2≤==

∴0＜t≤．

即x+y≤．

故答案为：．

【解析】【答案】利用向量的模的运算性质与向量的数量积可求得x+y与θ的关系式；利用基本不等式与三角函数的升幂公式及可求得答案．

三、判断题(共9题，共18分)14、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．15、×【分析】【分析】根据奇函数的定义进行判断即可得到答案．【解析】【解答】解：∵x∈[0；2π]，定义域不关于原点对称；

故函数y=sinx不是奇函数；

故答案为：×16、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√17、√【分析】【分析】根据子集的概念，判断A的所有元素是否为B的元素，是便说明A是B的子集，否则A不是B的子集．【解析】【解答】解：（1）1；3，5∈B，∴集合A是集合B的子集；

（2）5∈A；而5∉B，∴A不是B的子集；

（3）B=∅；∴A不是B的子集；

（4）A；B两集合的元素相同，A=B，∴A是B的子集．

故答案为：√，×，×，√．18、√【分析】【分析】已知函数f（x）=ax-1+4，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解析】【解答】解：∵函数f（x）=ax-1+4；其中a＞0，a≠1；

令x-1=0，可得x=1，ax-1=1；

∴f（x）=1+4=5；

∴点P的坐标为（1；5）；

故答案为：√19、×【分析】【分析】判断5与集合A的关系即可．【解析】【解答】解：由3k-2=5得，3k=7，解得k=；

所以5∉Z；所以5∈A错误．

故答案为：×20、×【分析】【分析】根据空集的性质，分析可得空集是其本身的子集，即可得答案．【解析】【解答】解：根据题意；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

即空集是其本身的子集；则原命题错误；

故答案为：×．21、×【分析】【分析】特殊集合∅只有一个子集，故任一集合必有两个或两个以上子集错误．【解析】【解答】解：∅表示不含任何元素；∅只有本身一个子集，故错误．

故答案为：×．22、√【分析】【分析】根据奇函数的定义即可作出判断．【解析】【解答】解：当b=0时；f（x）=（2k+1）x；

定义域为R关于原点对称；

且f（-x）=-（2k+1）x=-f（x）；

所以函数f（x）为R上的奇函数．

故答案为：√．四、证明题(共2题，共20分)23、略

【分析】【分析】（1）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，建立平面直角坐标系，由引能证明CD=AB．

（2）由已知得E（，），直线AE：y=-x+m，由此求出F（，0），利用两点间距离公式能求出AF的长．【解析】【解答】证明：（1）以C为原点；CB为x轴，CA为y轴，建立平面直角坐标系；

则C（0，0），A（0，m），B（n，0），∴D（，）；

∴AB2=m2+n2，CD2==；

∴CD=AB．

解：（2）∵E为CD的中点，∴E（，）；

∴直线AE：，整理，得y=-x+m；

∵连接AE并延长交BC于F，∴F（；0）

∴AF==．24、略

【分析】【分析】（1）要证明AC1∥平面B1MC，可证明AC1∥平面B1MC内的一条直线，由M为AB的中点，可找BC1的中点；然后利用三角形中位线的性质得到显现平行，从而得到线面平行；

（2）证平面D1B1C⊥平面B1MC，可证平面B1MC经过平面D1B1C的一条垂线，由几何体为正方体易证AC1⊥平面D1B1C，而OM∥AC1，所以OM⊥平面D1B1C，从而证得结论．【解析】【解答】证明：（1）如图；

连接BC1交B1C于点O，则O是BC1的中点；

又因为M是AB的中点，连接OM，则OM∥AC1．

因为OM⊂平面B1MC，AC1⊄平面B1MC；

所以AC1∥平面B1MC．

（2）因为AB⊥平面BCC1B1，B1C⊂平面BCC1B1；

所以AB⊥B1C．

又因为B1C⊥BC1，且AB∩BC1=B，所以B1C⊥平面ABC1．

因为AC1⊂平面ABC1，AC1⊥B1C．

同理，AC1⊥B1D1．因为B1D1∩B1C=B1；

所以AC1⊥平面D1B1C．

因为OM∥AC1，所以OM⊥平面D1B1C．OM⊂平面B1MC，所以平面D1B1C⊥平面B1MC．五、简答题(共1题，共10分)25、略

【分析】

1.是异面直线，（1分）法一（反证法）假设共面为．．又．这与为梯形矛盾．故假设不成立．即是异面直线．（5分）法二：在取一点M，使又是平行四边形．则确定平面与是异面直线．2.法一:延长相交于N，AE=2，AD=4，BC=6，设则△NDE中，平面平面平面．过E作于H，连结AH，则．是二面角的平面角，则．（8分）此时在△EFC中，．（10分）又平面是直线与平面所成的角,．（12分）即当直线与平面所成角为时，二面角的大小为法二：面面平面．又．故可以以E为原点，为x轴，为轴，为Z轴建立空间直角坐标系，可求设．则得平面的法向量则有可取．平面的法向量．．（8分）此时，．设与平面所成角为则．即当直线AC与平面EFCD所成角的大小为时，二面角的大小为．（12分）【解析】略【解析】【答案】六、综合题(共3题，共30分)26、略

【分析】【分析】可设直线AB的方程为y=kx+1，由，得x2-4kx-4=0，由韦达定理可判断①正确；利用弦长公式表示出|AB|，由表达式可知②正确；通过计算圆心到x轴的距离、半径可判断③正确；【解析】【解答】解：因为直线AB过抛物线的焦点F（0；1），故可设直线AB的方程为y=kx+1；

由，得x2-4kx-4=0；

则x1x2=-4，x1+x2=4k；

===1；故①正确；

由抛物线定义得，|AB|=（y1+1）+（y2+1）=（kx1+1+1）+（kx2+1）=k（x1+x2）+4=4k2+4≥4；

当且仅当k=0时取等号；所以|AB|的最小值为4，故②正确；

F（0，1），则圆心C（，），圆心到x轴的距离d=，直径|AF|===y1+1，半径r=|AF|=，d=r；

所以以AF为直径的圆与x轴相切；故③正确；

故答案为：①②③．27、略

【分析】【分析】