《电路分析基础》课件1第11章

11.1电路的频率响应

11.2一阶RC电路的频率特性

11.3RLC串联谐振电路

11.4并联电路的谐振第11章电路的频率特性

1.网络函数

电路的频率特性用正弦稳态电路的网络函数来描述。

所谓网络函数是指：对如图11-1所示的单输入、

单输出电路，在频率为ω的正弦激励下，正弦稳态响应相量与激励相量之比，记为H(jω)，即

(11-1)11.1电路的频率响应图11-1单输入单输出电路示意图网络函数H(jω)体现了单位激励相量作用下，响应相量随ω变化的情况，一般是ω的复值函数，可写为

H(jω)=H(ω)ejφ(ω)

(11-2)

如图11-2所示为某共射放大器的幅频特性曲线和相频特性曲线示意图。图11-2某共射放大器的幅频特性和相频特性曲线示意图根据响应与激励对应关系的不同，网络函数有多种不同的具体含义。

(1)当响应与激励在电路的同一端口时，网络函数称为策动点函数，包括：

策动点阻抗：

策动点导纳：

分别如图11-3(a)、(b)所示。策动点阻抗和策动点导纳即电路的输入阻抗和输入导纳，它们互为倒数。

(2)当响应与激励在电路的不同端口时，网络函数称为转移函数或传输函数，包括：

转移阻抗：

转移导纳：

电压传输函数：

电流传输函数：

分别如图11-3(c)~(f)所示。其中，转移阻抗和转移导纳分别具有阻抗和导纳的量纲，而电压传输函数和电流传输函数没有量纲，但它们分别代表了电路的电压放大倍数和电流放大倍数。一般情况下，若无需严格区分时，皆可用网络函数来表示，但此时要注意它们的不同物理意义。若已知电路的激励和网络函数，根据式(11-1)就可以很方便地求得电路的响应。图11-3六种网络函数的定义图示可以从另一个角度去理解网络函数。根据式(11-1)有

(11-3)

从系统分析的角度来说，电路对信号的作用相当于一种数学运算。那就是对每一个输入的正弦信号分别做幅度加权(运算)和相位加权(运算)，而不同频率的输入信号所获得的加权系数是不一样的。其运算关系可根据式(11-3)而得到：

(11-4)

2.电路的选频特性(滤波)

由电路的频率特性可知，电路对不同频率输入信号的幅度响应是不一样的。正因如此，一些频率的信号可能会得到增强，而另一些频率的信号可能被削弱。也就是说，电路具有频率选择性。如果利用电路的这一特性，合理选择电路元件及参数，正确设计元件的连接和电路结构，就能构造一种电路，这种电路能使处于某个频率范围的输入信号得到输出，而其他频率的信号被阻断，这种电路叫选频电路。许多通过电信号进行通信的设备，如收音机、电视、卫星等都需要选频电路。选频电路也叫滤波器，因为它能滤除某些频率的信号。从输入端到输出端，能够通过滤波器的信号的频带宽度叫通频带。频率处于这个频带之外的信号将被电路有效地削弱并阻止，从而不能在输出端输出，我们把不在电路通频带内的频率范围称为阻带。滤波器就是按其通频带的位置来分类的。通用的滤波器主要有四种，分别为低通、高通、带通和带阻滤波器，其理想的幅频特性曲线如图11-4所示。可见，频率在阻带内的信号是被理想滤波器严格阻断的，其通带与阻带的交界点频率称为截止频率。低通和高通滤波器只有一个截止频率。其中低通滤波器可让低于截止频率的信号通过；即阻止高于截止频率的信号通过；高通滤波器则正好相反。带通和带阻滤波器有两个截止频率。其中带通滤波器可让频率处于两个截止频率之间的信号通过；带阻滤波器则正好相反。图11-4只给出了四种理想滤波器的幅频特性曲线，至于相频特性，为避免失真，在通频带内应为线性关系。这一点将在后续课程中得到详尽论述，本书不做讨论。图11-4四种理想滤波器的幅频特性

1．一阶RC低通滤波

如图11-5(a)所示RC串联电路，为输入。若以电容电压为响应，得网络函数:

(11-5)11.2一阶RC电路的频率特性其幅频特性和相频特性分别为

(11-6)

由上式有

当ω=0时，H(ω)=1，φ(ω)=0

当时，，;

当ω→∞时，H(ω)→0，。

画出对应幅频特性和相频特性曲线,分别如图11-5(b)、(c)所示，其中τ=RC，为一阶RC电路的时间常数。图11-5(b)显示，此RC电路对低频信号衰减较小，对高频信号则衰减较大，具有低通滤波特性。图11-5一阶RC低通滤波器及幅频、相频特性曲线工程上认为，输出信号幅值大于最大输出信号幅值的的这部分信号能顺利通过网络，而小于最大输出信号幅值的

的这部分信号被电路较大衰减，不易通过网络。因此定义，输出为最大输出的所对应的频率为通带与阻带的分界点，即截止频率，以ωc表示。在此，当时，

。因此，一阶RC低通滤波电路的截止频率

，0~ωc的频率范围为通带，大于ωc的频率范围为阻带。由于网络的输出功率与输出电压(或电流)的平方成正比，当ω=ωc时，输出电压为最大输出电压的，输出功率是最大输出功率的一半。因此，ωc又称为半功率点频率，对应通频带也叫半功率点带宽。

2.一阶RC高通滤波

若将图11-5(a)所示RC串联电路改为以电阻电压为输出，如图11-6(a)所示，则网络函数为

(11-7)

其幅频特性和相频特性分别为

(11-8)当ω=0时，H(ω)=0，;

当时，，;

当ω→∞时，H(ω)→1，φ(ω)→0。

对应的幅频特性和相频特性曲线分别如图13-6(b)、(c)所示。显然，此RC电路具有高通滤波特性。其截止频率(半功率点频率)，0~ωc的频率范围为阻带，大于ωc的频率范围为通带。图11-6一阶RC高通滤波器及幅频、相频特性曲线

1.谐振现象

根据物理学力学知识，大家都十分熟悉物体的一种固有现象——共振现象，即当外加力的频率与物体固有频率达到一致时，物体将发生共振，此时物体震动幅度最大。共振现象有时会造成很大的危害。那么在电学中，电路是否也会发生类似的现象呢？11.3RLC串联谐振电路为说明这个问题，首先我们来做一个实验。对如图11-7(a)所示的RLC串联电路，设正弦电源us(t)=Umcos(ωt+φ)V，以电路电流i(t)为输出。保持电源振幅(有效值)不变，由低到高改变电源频率，测量输出电流幅度，可以得到如图11-7(b)所示的电流幅值随信号频率变化的频率特性曲线。由图可以看出，当输入信号频率达到某个频率ω0时，电流幅度最大。进一步实验验证，ω0只与电路参数L和C的值有关。也就是说，ω0只由电路的结构和参数决定，即ω0是电路的固有频率。这与力学中的共振现象十分相似，我们称之为谐振现象。当外加激励的频率与电路的固有频率相同时，电路发生谐振。图11-7RLC串联电路及其电流幅值随频率变化的模拟曲线

2.RLC串联谐振电路阻抗分析

图11-7(a)所示电路，其电流幅度随输入信号频率的改变而改变的原因在于电路中电感和电容元件的电抗是频率的函数。因此，首先分析电路的阻抗特性。画图11-7(a)的相量模型图，如图11-8所示。则电路的输入阻抗为

(11-9)图11-8图10-7(a)的相量模型图显然，串联谐振时有

解得谐振角频率(频率)为

(11-10)

3.RLC串联电路谐振特性

RLC串联电路谐振时有如下特性。

谐振时电路阻抗为纯电阻：

Z0=R

(11-11)

此时，阻抗模最小：

|Z0|=|Z(jω)|min=R

(11-12)

阻抗角为

φZ0=0

(11-13)

谐振时电路电流为

(11-14)

与同相，且幅值达到最大：

(11-15)谐振时电路各元件电压为

(11-16a)

(11-16b)

(11-16c)工程上定义串联谐振时电感(或电容)电压与激励电压幅度之比为谐振电路的品质因数，用Q表示，即

(11-17)

品质因数是一个无量纲的量，工程上称为Q值。

4.RLC串联电路频率特性

我们以电阻电压为输出来分析图11-7(a)串联谐振电路的频率特性(当然也可以电流为输出作分析，其结果是一致的)。由图11-8有

电路网络函数：

(11-18)其幅频特性：

(11-19)

当ω→0时，H(ω)→0；

当ω→∞时，H(ω)→0；

当时，H(ω)=1。

相应的幅频特性曲线(谐振曲线)如图11-9所示。显然，RLC串联谐振电路的实质是一个带通滤波器，角频率为ω0的输入信号与电路发生谐振，得到最大输出。而ω<ω0或ω>ω0的信号被电路不同程度地削弱了，偏离ω0越远，削弱程度越大，输出越小。图11-9RLC串联电路的幅频特性曲线令，得电路的截止频率为

(11-20)其中ω1<ω0，称为下半功率频率(下截止频率)；ω2>ω0，称为上半功率频率(上截止频率)；ω0称为滤波器的中心频率，但ω0并非ω1与ω2的中心点，而是表明ω1和ω2是在这个频率上下输出下降为最大输出的70.7%所对应的两个频率。ω1与ω2的差值即滤波器的通频带，通频带用BW表示。由式(11-20)有

(11-21)由于，故

(11-22)

图11-10给出了几种不同Q值下的谐振曲线。事实上，品质因数就是用以衡量电路频率选择性(品质)优劣的一个参数。Q值与电路电阻R成反比，在保证谐振点不变的情况下(即L、C固定)，要想得到较高Q值，必须减小串联谐振电路电阻阻值。图11-10几种不同Q值下的谐振曲线

5.失谐和失谐量计算

当输入信号us的频率ω与电路谐振频率ω0不一致时，称为失谐。此时电路的电流和电压分别称为失谐电流、失谐电压。显然，它们比谐振电流和谐振电压要小，失谐越严重(ω偏离ω0越大)，则失谐电流、失谐电压越小。工程上用η=ω／ω0来衡量ω偏离ω0的程度，并在以η为横坐标的坐标系下研究电路的谐振曲线及计算失谐量。下面我们加以讨论。

由电路的幅频特性式(11-19)有

根据式(11-17)，即，得

(11-23)

令，可得

(11-24)在电路谐振时，有UR0=Us，I0=Us/R。设电路失谐时失谐电压为UR、失谐电流为I，则失谐电压与谐振电压之比为

(11-25)

失谐电流与谐振电流之比为

(11-26)

【例11-1】如图11-11所示串联谐振电路，已知Q=150,L=324μH,C=362pF,接收到信号有效值Us1=Us2=1mV,f1=465kHz，f2=600kHz。求两信号的电流值。

解图11-11例11-1图可见，电路与信号us1发生谐振，故其电流

信号us2处于失谐状态，其电流为

1.GLC并联谐振电路

与RLC串联谐振电路类似，GLC并联电路也具有谐振特性。由于两电路存在对偶关系，所以，其谐振特性也是对偶的。

如图11-12所示GLC并联电路，在激励作用下，以电压为输出，得电路的等效导纳为

(11-27)11.4并联电路的谐振图11-12GLC并联谐振电路显然，当时，电纳B<0，电路呈感性；在

时，电纳B>0，电路呈容性；当ω为某频率ω0时，会使，电纳B=0，电路呈电导性。此时，Y(jω)=G，电路处于谐振状态。谐振时有

谐振角频率(频率)为

(11-28)

GLC并联电路谐振时有如下特性。

谐振时电路导纳为纯电导：

Y0=G

(11-29)

此时，导纳模最小:

|Y0|=|Y(jω)|min=G

(11-30)

导纳角为

φY0=0

(11-31)谐振时电路电压为

(11-32)

与同相，且幅值达到最大：

(11-33)

谐振时电路各元件电流为

(11-34a)

(11-34b)

(11-34c)工程定义并联谐振的品质因数为谐振时电感(或电容)电流与激励电流幅度之比，即

(11-35)

并联谐振时有，电感和电容的并联支路相当于开路，但它们各自的电流都是的Q倍，故并联谐振又称为电流谐振。

由图11-12可得GLC并联谐振电路的网络函数为

(11-36)其幅频特性为

(11-37)

与RLC串联谐振电路相同，GLC并联谐振电路同样具有带通滤波特性，其通频带为

(11-38)

失谐量与谐振量之比为

(11-39)

2.工程中的并联谐振电路

工程中的并联谐振电路是由电感线圈与电容器相并联构成的，由于线圈存在电阻，可看成电阻R与电感L的串联，故实际的并联谐振电路如图11-13所示。

在条件适合时，可使电路端口电压与电流同相位，即电路等效为电阻元件，此时电路发生并联谐振。下面进行讨论。由图11-13有

图11-13工程中的并联谐振电路令其虚部为零，即

解得

(11-40)

即电路的谐振频率ω0。显然，ω0应为大于零的实数。故要求

解得

(11-41)也就是说，对图11-13的并联谐振电路，必须要求，此时电路才存在发生谐振的可能性。在满足的条件下，当激励信号角频率ω等于电路谐振频率ω0,即等于

时，电路发生谐振。谐振时的电路等效导纳为

将代入上式得

(11-43)(11-42)

实例阻抗测量——谐振法测量阻抗(Q表)

交流电桥应用广泛，但极少用于高频元件的测量，主要是因为高频时分布参数的影响难以在电桥平衡时得以消除。谐振法是测量阻抗的另一种基本方法，它是利用RLC串联或GLC并联谐振特性而建立的方法，其测量精度虽说不如电桥法高，但由于测量线路简单方便，再加上高频电路元件大多在调谐回路中使用，所以用谐振法进行测量也比较符合其工作的实际情况，典型的谐振法测量仪器是高频Q表。

Q表的工作频率范围相当宽，可在高频几十kHz~几百MHz的范围内测量电感线圈的Q值、电感量、分布电容，电容器的电容量、分布电感，电阻的阻值，回路