《电工基础》课件第9章

技能训练十八非正弦周期电压的研究9.1非正弦周期信号及其分解9.2非正弦周期信号的谐波分析9.3非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率9.4非正弦周期电压作用下的线性电路的分析计算小结

习题九

1.训练目的

(1)观察不同频率正弦电压相加得到周期性非正弦电压。

(2)研究非正弦周期性电压有效值与各次谐波电压有效值的关系。技能训练十八非正弦周期电压的研究

2.原理说明

1)非正弦电压或电流

非正弦电压u或电流i，其傅里叶级数展开式的一般形式分别为

它们的有效值可写成

式中，Ukmsin(kωt+φuk)为k次谐波电压；Ikmsin(kωt+φik)为k次谐波电流；U0和I0分别为电压u(t)和电流i(t)的恒定分量；Uk和Ik分别为k次谐波电压和电流的有效值。

2)三倍频率器的组成

取3只结构和性能均相同的单相铁芯变压器，按训练图18-1接线，即一次绕组接成星形无中线方式，二次绕组接成开口三角形。当其一次绕组接通工频三相正弦交流电源后，二次绕组开口三角形端口c—d处可以得到一个频率为工频3倍的正弦电压(或十分接近于正弦的电压)u3。因此，训练图18-1所示实验装置称为“三倍频率器”。训练图18-1三倍频率器的组成

3)不同频率、振幅、初相的正弦波合成周期性非正弦波几个不同频率、振幅、初相的正弦波可以合成各种非正弦波。训练图18-2(a)所示是初相为零的基波和初相为零的三次谐波合成的波形。训练图18-2(b)所示是初相为零的基波和初相为π的3次谐波合成的波形。可见，若两个相加的正弦波频率和振幅不变而仅仅初相变化时，其合成的波形也大不相同。训练图18-2不同频率、振幅、初相的正弦波合成非正弦波利用几个谐振回路可以对非正弦周期性电压进行分解。技能训练采用训练图18-3所示的电路。

当一个非正弦周期性电压u加到分别调谐于基波和各次谐波频率的一系列并联谐振回路上时，把示波器接在各并联谐振回路的两端，可以观察到u的与并联谐振回路谐振频率对应的基波和各次谐波。训练图18-3用并联谐振回路调谐各次谐波3.训练设备

(1)单相调压器0~250V，0.5kV·A

(2)单相变压器初级绕组电压220V，次级绕组电压50V

(3)交流电压表(电磁系或电动系)75V／150V，0．5级

(4)示波器ST—16／SR—8

(5)电容器箱0～25μF

(6)空心线圈0～0．5H

(7)双刀双掷开关

4.训练内容

1)验证非正弦周期性电压的有效值

按训练图18-4连接线路，调节单相调压器，使输出电压为50V，然后用交流电压表测量电压U1、U3和U，将测量数据记入训练表18-1中。训练表18-1验证非正弦周期性电压有效值的实验

2)观察电压波形

(1)按训练图18-4连接线路，此时开关S在位置“1”。示波器分别接a—b端，c—d端，a—d端，观察电压u1、u3、u的波形，并在同一坐标上按比例绘出这三个电压波形。

(2)将训练图18-4中的开关S由“1”扳向“2”。用示波器分别接a—b端，c—d端，a—d端，再观察电压u1、u3、u的波形，并在同一坐标上按比例绘出这三个电压波形。

3)观察非正弦周期性电压的各次谐波

将训练图18-4电路的输出电压uad接入训练图18-3电路，作为该电路的电源。用示波器依次观察基波和三次谐波的电压波形。

开关S在位置“1”即bc相连：u=u1+u3

开关S在位置“2”即ac相连：u=u1+(-u3)训练图18-4观察电压波形电路

5.训练注意事项

(1)三只单相变压器应尽量对称，单相变压器的一次侧额定电压应是实验室三相电源线电压的1/。

(2)

3只单相变压器的一次绕组接成一定不能有中线的星形，而它的3个二次绕组必须按训练图18-4所标端钮顺序接成开口三角形。

(3)在训练内容3中，分别调节训练图18-3中的L1和L3，使第一个并联回路谐振于基波频率(即工频)，第二个并联谐振回路谐振于三次谐波。若有一个并联回路既不谐振于基波频率又不谐振于三次谐波，则用示波器在该回路两端一定观察不到振幅足够大的基波电压或三次谐波电压。

(4)必须用电磁系电压表或电动系交流电压表测非正弦交流电压u的有效值。

6.思考题

对观察到的波形进行讨论。

7.训练报告内容

(1)完成训练表18-1的有效值的计算。分析技能训练测量结果，并讨论产生误差的原因。

(2)训练表18-1中的计算结果，是否加深你对有效值概念的理解。9.1.1非正弦周期信号

图9-1-1所示是几种常见的非正弦波信号。

从图示波形可以得出非正弦周期信号是随时间按非正弦规律变化的周期性电压或电流信号。9.1非正弦周期信号及其分解图9-1-1几种常见的非正弦波9.1.2非正弦周期信号的分解

在介绍非正弦周期信号的分解之前，我们先讨论几个不同频率的正弦波合成的问题。设有一个正弦电压u1=U1msinωt，其波形如图9-1-2(a)所示。显然这一波形与同频率的矩形波相差甚远。如果在这个波形上面加上第二个正弦电压波形，其频率是u1的3倍，而振幅为u1的1/3，则合成波形的表示式

u2=U1msinωt+

U1msin3ωt其波形如图9-1-2(b)所示。如果再加上第三个正弦电压波形，其频率为u1的5倍，振幅为u1的1/5，则合成波形的表示式

u3=U1msinωt+

U1msin3ωt+

U1msin5ωt

其波形如图9-1-2(c)所示。照这样继续下去，如果叠加的正弦项有无穷多个，那么它们的合成波形就会与图9-1-2(d)所示的矩形波一样。图9-1-2矩形波的合成图9-1-2中，u1与方波同频率，称为方波的基波；u3的频率是方波的3倍，称为方波的3次谐波；u5的频率是方波的5倍，称为方波的5次谐波。u1和u3的合成波，显然较接近方波，u1、u3和u5的合成波，显然更接近方波。由上述分析可得，如果再叠加上一个7次谐波、9次谐波……直到叠加无穷多个，其最后结果肯定与周期性方波电压的波形相重合。

综上所述，一系列振幅不同、频率成整数倍的正弦波，叠加以后可构成一个非正弦周期波，反之，一个非正弦周期波可以分解成许多频率不同、振幅不同的正弦波之和。9.2.1非正弦周期信号的傅里叶级数表达式

由上节内容可知：方波信号实际上是由振幅按1、1/3、1/5…的规律递减，频率是按基波频率的1、3、5…规律递增的u1、u3、u5…谐波的合成波。因此方波电压的谐波展开式

可表示为

u(t)=U1msinωt+

U1msin3ωt+

U1msin5ωt+…9.2非正弦周期信号的谐波分析谐波展开式从数学的概念上可称为非正弦周期信号的傅里叶级数表达式。同理，所有非正弦周期信号均可用傅里叶级数表示，都是由一系列正弦谐波合成而得的。所不同

的是，不同的非正弦周期信号波，其包含的谐波成分各不相同。表9-1中给出了一些典型非正弦周期信号的傅里叶级数表达式。

寻找一个已知非正弦周期波所包含的谐波，并把它们用傅里叶级数进行表达的过程，称为谐波分析。9.2.2非正弦周期信号的频谱

1.振幅频谱图

非正弦周期信号各次谐波振幅分别用线段表示在坐标系中，所构成的图形称为振幅频谱图。如图9-2-1所示，以谐波角频率kω为横坐标，每条谱线的高度代表该频率谐波的振幅。在各谐波角频率所对应的点上，做出的一条条垂直的线叫做谱线。将各谱线的顶点连接起来的曲线(一般用虚线表示)称为振幅包络线。显然，振幅频谱图可以非常直观地表示出非正弦周期信号所包含的谐波以及各次谐波所占的“比重”。图9-2-1振幅频谱图表9-1典型非正弦周期信号的傅里叶级数

例9-1

图9-2-2(a)所示为电视机和示波器扫描电路中常用的锯齿波，试画出其振幅频谱图。

解查表9-1可得锯齿波电压的傅里叶级数展开式为

根据上式可以画出其频谱图如图9-2-2(b)所示。图9-2-2例9-1图

2.周期信号的频谱特性

周期信号的频谱有以下特性：

(1)频谱由一系列不连续的谱线组成。

(2)相临两条谱线之间的间隔是基波频率ω，谱线的这种性质称为谱波特性。

(3)各谱线的高度，随着谐波频率的增加，总的趋势是逐渐减小的。

(4)如果脉冲的周期T不变而脉冲的持续时间τ减小，即脉冲变窄，则振幅频谱的收敛速度将变慢。

(5)如果脉冲的持续时间τ不变而周期T增大，则谱线将变密。9.3.1非正弦周期信号的有效值

非正弦周期信号的有效值的定义与正弦交流电有效值的定义完全相同：与非正弦周期信号热效应相同的直流电的数值，称为该非正弦周期信号的有效值。9.3非正弦周期信号的有效值、平均值和平均功率实验和理论都可以证明，非正弦周期信号的有效值为

(9-1)

即非正弦周期信号的有效值等于它的各次谐波有效值平方和的开方。9.3.2非正弦周期信号的平均值

非正弦周期信号的平均值要按一个周期进行计算。若非正弦周期信号为奇函数，其平均值一定为零；若为偶谐波函数，其平均值一定为正值……理论和实践都可以证明，非正弦量的平均值：

(9-2)

显然，非正弦周期信号的平均值在数值上就等于它的傅里叶级数表达式中的零次谐波(即直流分量)。9.3.3非正弦周期信号的平均功率

非正弦周期信号通过负载时也要消耗功率，此功率与非正弦量的各次谐波都有关，即

P=U0I0+U1I1cosφ1+U2I2cosφ2+…=P0+P1+P2+…

(9-3)

注意：只有同频率的谐波电压和电流才能构成平均功率，不同频率的谐波电压和电流不能构成平均功率。

例9-2

流过10Ω电阻的电流为i=10+28.28cost+14.14cos2tA，求其消耗的平均功率。

解

例9-3

某二端网络的电压和电流分别为

u=100sin(ωt+30°)+50sin(3ωt+60°)+25sin5ωtV

i=10sin(ωt-30°)+5sin(3ωt+30°)+2sin(5ωt-30°)A

求二端网络吸收的功率。

解基波功率

三次谐波功率

五次谐波功率

因此，总的平均功率

P=P1+P3+P5=250+108.2+21.6=379.8W把傅里叶级数、直流电路、交流电路的分析和计算方法以及叠加原理应用于非正弦周期电路中，就可以对非正弦周期电压作用的电路进行分析和计算。

具体步骤如下：

(1)把给定的非正弦输入信号分解成直流分量和各次谐波分量，并根据精度的具体要求取前几项。9.4非正弦周期电压作用下的线性电路的分析计算

(2)当直流分量单独作用时，电容元件按开路处理，电感元件则要按短路处理；计算各谐波分量单独作用于电路的电压和电流时，要注意电容和电感对各次谐波表现出来

的感抗和容抗的不同。对于k次谐波有

(3)应用线性电路的叠加原理，把各次谐波单独作用时的电压或电流的瞬时值进行叠加。

应注意的是，由于各次谐波的频率不同，不能用相量形式进行叠加。

例9-4

图9-4-1(a)所示的矩形脉冲作用于图9-4-1(b)所示的RLC串联电路。若矩形脉冲的幅度为100V，周期为1ms，电阻R＝10Ω，电感L＝10mH，电容C＝5F，求电路中的电流i及平均功率。

解查表9-1可得矩形脉冲电压的傅里叶级数表达式为

其中，基波频率为ω。若取前3项谐波，其等效电路如图9-4-1(c)所示。图9-4-1例9-4图

(1)直流分量u0=50V,U0＝50V，该直流电压作用于如图9-4-1(c)所示的电路时，电感相当于短路，电容相当于开路，故i0＝0。

(2)基波分量：

(3)三次谐波分量:

(4)将各次谐波分量的瞬时值叠加得

i=i0+i1+i3=1.95cos(ωt-72.1°)+0.12cos(3ωt-93.2°)A

(5)电路中的平均功率为

例9-5

为了减小整流器输出电压的纹波，使其更接近于直流，常在整流的输出端与负载电阻R间接有LC滤波器，其电路如图9-4-2(a)所示。若R=1kΩ，L=5H，C=30μF，

输入电压u的波形如图9-4-2(b)所示，其中振幅Um=157V，基波角频率ω=314rad/s，求输出电压uR

。图9-4-2例9-5图

解查表9-1可得，电压u的傅里叶级数为

取到4次谐波，并代入Um=157V，得

u=100+66.7cos2ωt-13.34ωtV

(1)求直流分量。对于直流分量，电感相当于短路，电容相当于开路，故U0R=100V。

(2)求二次谐波分量：

(3)求四次谐波分量：

(4)输出电压

UR=100+1.15sin(2ωt-87.5°)+0.056sin(4ωt-91.5°)V

比较本例题的输入电压和输出电压，可看到，2次谐波分量由原本占直流分量的66.7%减小到1.15%，４次谐波分量由原本占直流分量的13.3%减小到0.056%。因此，输入电压u经过LC滤波后，高次谐波分量受到抑制，负载两端得到较平稳的输出电压。

1.非正弦的周期信号一般包含有直流分量、基波分量和高次谐波分量。其表示式为傅里叶级数。

2.非正弦周期信号还可以用频谱图来表示。所谓频谱图，就是用谱线表示各次谐波的振幅和相位，然后把这