《电路分析基础》课件1第7章

7.1换路定理及初始值计算

7.2一阶电路的零输入响应

7.3一阶电路的零状态响应

7.4一阶电路的全响应

7.5阶跃函数与阶跃响应第7章一阶电路分析我们定义一个由一阶微分方程描述的电路为一阶电路。从电路结构看，一阶电路一般只含有一个动态元件。如果一个电路可以通过等效变换简化为仅有一个动态元件的电路，则它就是一阶电路。同理，由n

阶微分方程描述的电路为n阶电路。从电路结构看，n阶电路一般含有n个独立的动态元件。动态元件可以性质相同(如n个C或n个L)，也可以性质不同(如m个C和n－m个L)。本书仅讨论求解一阶和二阶动态电路响应的基本方法。由线性微分方程的理论可知，线性常系数微分方程的全解，由它的一个特解与相应的齐次方程的全解(齐次解)相加而成。求得全解后，可根据初始值确定全解中的系数，从而可求得待求响应。

在电路分析中，通常并不采用这种经典的求解微分方程全解的方法。注意到动态电路中的动态元件可能含有初始储能(表现为uC(0－)≠0或iL(0－)≠0)，若用X0来表示动态电路的初始储能，在外加激励f(t)的作用下，动态电路的全响应可用图7-1表示。图7-1动态电路的全响应图示在图7-1中，若把动态电路的初始储能也看成一种“激励”，则根据线性电路的叠加特性，可把由初始储能X0和外加激励f(t)共同作用所产生的响应(全响应)，分解为由初始储能X0单独作用所产生的响应(零输入响应)和由外加激励f(t)单独作用所产生的响应(零状态响应)的叠加，即

全响应=零输入响应+零状态响应(7-1)

若用yx(t)表示零输入响应，yf(t)表示零状态响应，式(7-1)可写成

y(t)=yx(t)+yf(t)

(7-2)

因此，在动态电路分析中，通常是将全响应分解为零输入响应和零状态响应来进行求解的。设t=0是换路的计时起点，则从换路的全过程来看，可以分为开关动作前的最后一瞬间和开关动作后的第一个瞬间，分别记为t=0－和t=0+。换路前t=0－瞬间电路的储能状态表现为uC(0－)或iL(0－)，通常称为电路的初始状态；而t=0+，即换路后的第一个瞬间才表示换路的起始时刻，通常称为初始值。7.1换路定理及初始值计算

1.换路定理

由前一章讨论已知，在关联参考方向下，电容元件VAR的积分形式为

令t0=0－，得

式中，uC(0－)为换路前最后瞬间电容的电压值，即初始状态。为求取换路后电容电压的初始值，取t=0+代入上式，得

(7-3)

如果换路(开关动作)是理想的，即不需要时间，则有

0－=0=0+。假设换路瞬间电容电流iC为有限值，则式(7-3)中的积分项将为零，即，故有

uC(0+)=uC(0－)(7-4)

同理，对于电感元件，有VAR：

如果在换路瞬间电感电压uL为有限值，则有

iL(0+)=iL(0－)

(7-5)

式(7-5)表明，电感电流不能突变。

式(7-4)和式(7-5)统称为换路定理。当换路时刻为t0时，换路定理表示为

uC(t0+)=uC(t0－)；iL(0+)=iL(0－)

(7-6)

2.初始值的计算

换路定理给出的是，在换路前后瞬间，流过电感的电流和电容两端的电压是不跳变的。除此之外，电路中的其他变量(包括电感电压和电容电流)在换路瞬间皆可能发生跳变，即其0+时的值不等于0－时的值。

根据初始状态来确定初始值的步骤如下：

(1)求t<0时(稳态)的电容电压uC(0－)，或电感电流iL(0－)，此时把电容看成开路、电感看成短路；

(2)求t=0+时的初值响应，根据换路定理得到电容电压

uC(0－)=uC(0+)，或电感电流iL(0－)=iL(0+)，此时把电容看成电压源、电感看成电流源；

(3)根据电容和电感的VAR得

，

。

【例7-1】电路如图7-2(a)所示，开关S闭合前电路已稳定，已知us=10V，R1=30Ω，R2=20Ω，R3=40Ω，t=0时开关闭合。试求开关闭合时各电流、电压的初始值。

解

(1)t<0时，(电容开路，电感短路)电路如图7-2(b)所示,得

图7-2例7-1图

(2)t=0时，(电容看成电压源，电感看成电流源)电路如图7-2(c)所示。

由换路定理得

uC(0+)=uC(0－)=4V，iL(0+)=iL(0－)=0.2A

i1(0+)=iL(0+)=0.2A

u1(0+)=R1i1(0+)=6V，u2(0+)=u3(0+)=uC(0+)=4V

i2(0+)=u2(0+)/R2=0.2A，i3(0+)=u3(0+)/R3=0.1A

iC(0+)=iL(0+)－i2(0+)－i3(0+)=－0.1A，

uL(0+)=－u1(0+)+us－uC(0+)=0V

【例7-2】电路如图7-3(a)所示，开关S断开前电路已稳定，当t=0时开关断开。求初始值iC(0+)、uL(0+)、i1(0+)、uC′(0+)和iL′(0+)。

解

(1)t<0时，(电容开路，电感短路)电路如图7-3(b)所示,得

uC(0－)=10V

图7-3例7-2图

(2)t=0时，(电容看成电压源，电感看成电流源)电路如图7-2(c)所示，由换路定理得

uC(0+)=uC(0－)=10V，iL(0+)=iL(0－)=5A

uL(0+)=10－uC(0+)=0V

iC(0+)=5+i2(0+)－i1(0+)=2.5A

对于任意一阶电路，总可以用图7-4(a)所示的等效电路来描述，即一阶电路总可以看成一个含源二端电阻网络N处接一个电容或电感所组成的电路。根据戴维南定理和诺顿定理,图7-4(a)所示电路总可以化简为图7-4(b)或图7-4(c)所示的电路。

本节分析一阶电路的零输入响应，即分析图7-4中动态元件初始状态不为零的响应问题。7.2一阶电路的零输入响应图7-4一阶电路的基本形式

1.RC电路的零输入响应

我们以图7-5(a)所示RC电路为例，换路前电路已经处于稳态。若t=0时S1断开、S2闭合，求换路后(t≥0)uC(t)和iR(t)的变化规律。

(1)定性分析。

①t<0或t=0－(换路前瞬刻)时，

uC(0－)=U0，iR(0－)=0

②t=0+(换路后瞬刻)时，电路如图7-2(b)所示。

图7-5RC电路③t>0(换路后)时，RC电路形成回路，电容通过电阻放电，q(t)↓，uC(t)↓，iR(t)↓。

④t→∞，q(∞)→0，uC(∞)→0，iR(∞)→0。

uC(t)和iR(t)的波形分别如图7-5(b)和(c)所示。uC(t)和iR(t)按什么样的规律衰减，衰减的快慢与元件参数有什么关系，下面进行定量分析。

(2)定量计算。

t>0时，电路有

即

(7-7)

式(7-7)为一阶常系数线性齐次微分方程。对应的特征方程为RCs+1=0，得特征根为s=－1／RC，故微分方程的解为

(7-8)式(7-8)中待定的系数K须由初始条件确定，由于uC(0+)=uC(0－)=U0，将其代入式(7-8)，解得U0=K。故电路的零输入响应为

(7-9)

(7-10)由此可得出结论：一阶电路的零输入响应总是按相同的指数规律衰减的，这也就是初始储能在电阻中能量耗尽的过程。衰减的速率与一阶电路的时间常数τ有关，τ越大，衰减越慢，如图7-6所示。这是因为在U0与R一定时，C越大则储能越多，放电过程越长；在U0与C一定时，R越大则放电电流越小，放电过程越长。

当误差曲线已知时，时间常数的几何意义如图7-7所示。它是曲线起始点的切线和时间轴的交点，也就是零输入响应衰减到初始值的0.368(即1/e)时所需要的时间。从理论上讲，t→∞时，uC(t)才能衰减到零。但实际上，当t=4τ时，uC(t)已衰减为初始值的1.8%，一般可以认为零输入响应已基本结束。工程上通常认为经过4τ时间，动态电路的过渡过程结束，从而进入稳定的工作状态。图7-6不同τ值的响应曲线图7-7时间常数在曲线上的位置在整个放电过程中，电阻消耗的总能量为

(7-11)

其值恰好等于电容的初始储能，可见电容的全部储能在放电过程中被电阻耗尽。这符合能量守恒定律。

2.RL电路的零输入响应

讨论如图7-8(a)所示电路，假设在t<0时，开关在位置1，电路已经处于稳态，即电感的初始状态iL(0－)=I0。当t=0时，开关S由位置1倒向位置2，则在t>0后电路是零输入的。根据换路定理可知iL(0+)=iL(0－)=I0，故换路后电感电流将继续在RL回路中流动。由于电阻R耗能，电感电流将逐渐减小，最后，电感储存的全部能量被电阻耗尽，电路中的电流、电压也趋于零。图7-8RL零输入电路及电压、电流波形由换路后的电路可列方程

uL(t)－uR(t)=0

(7-12)

即

(7-13)

式(7-13)同样为一阶常系数线性齐次微分方程。对应的特征方程为Ls+R=0，得特征根为s=－R/L，令τ=L/R，微分方程的解为

(7-14)

将初始值iL(0+)=I0代入得

I0=K

故

，t≥0

(7-15)

电感电流如图7-8(b)所示。

，t≥0

其中，

uR(0+)=－RI0

与电感电流不同的是uL(t)和uR(t)在t=0处发生了跳变，其波形如图7-8(c)所示。在整个放电过程中，电阻R消耗的总能量为

(7-16)

因此，我们可以得出以下结论：

(1)一阶电路的零输入响应总按相同的指数规律衰减，其实质是初始储能在电阻中能量耗尽的过程。其中，对RC电路，τ=RC；对RL电路，τ=L/R。

(2)衰减总是由初始值yx(0+)开始，当t→∞时为零，即yx(∞)=0。

(7-17)

(3)衰减的速率与时常数τ有关，τ越大，衰减越慢。

(4)时常数的意义：零输入响应衰减到初始值的0.368(即1/e)所需要的时间。

(5)衰减的过程即由一个稳态过渡到另一个稳态的过程(过渡过程)。

工程上认为，当t=4τ时，以衰减为初始值的1.8%(e－4)，过渡过程已经结束。

(6)对于任意的一阶电路，都可将由动态元件两端看入的有源二端网络等效为戴维南或诺顿等效电路，故此时，时常数τ=RC和τ=L/R中的R即为网络的等效电阻R0。

显然可直接用通式求一阶电阻的零输入响应。

【例7-3】电路如图7-9(a)所示，电路原已稳定，t=0时开关断开。求t≥0时的iL(t)、uR(t)、uL(t)。

解由可知，只要求出iL(0+)、uR(0+)、uL(0+及时常数τ，则可求得iL(t)、uR(t)、uL(t)。

(1)当t<0时，电感看成短路电路，如图7-9(b)所示，求iL(0－)，则

图7-9例7-3图

(2)当t=0+时，电感看成电流源，如图7-9(c)所示，求初始值iL(0+)、uR(0+)、uL(0+)，则

iL(0+)=iL(0－)=2A

uR(0+)=－2×2=－4V

uL(0+)=－4×2=－8V

(3)求时常数τ。

在t>0时电感两端等效电阻如图7-9(d)所示，有

R0=2+2=4Ω

故

(4)代入通式得

，t≥0

uR(t)=－4e－4t，t≥0

uL(t)=－8e－4t，t≥0

注意：uR(t)和uL(t)也可由iL(t)求得。

【例7-4】电路如图7-10(a)所示，电路原已稳定，t=0时开关断开。求t≥0时的u1(t)的变化规律。

解

(1)当t<0时，电容看成开路，电路如图7-10(b)所示，求uC(0－)。

uC(0－)=1.5V

(2)当t=0+时，电容看成电压源，如图7-10(c)所示，求初始值u1(0+)。

uC(0+)=uC(0－)=1.5V

因为

9i(0+)+1.5－4i(0+)=0

得

i=－0.3A

故

u1(0+)=－6i(0+)=1.8V图7-10例7-4图

(3)求时常数τ。

在t>0时以外加激励法求电容两端等效电阻R0，如图7-9(d)所示。

因为

9i+u－4i=0

故

τ=R0C=0.1s

(4)代入通式得

u1(t)=1.8e－10tV，t≥0电路的初始状态(储能)为零，仅由外加激励所产生的响应称为零状态响应，如图7-11所示。7.3一阶电路的零状态响应图7-11零状态响应的图示

1.RC电路的零状态响应

电路如图7-12(a)所示，原已达稳态。设t=0时开关断开，讨论t≥0后的uC(t)、iC(t)、iR(t)的变化规律。

定性分析：

(1)当t<0(t=0－)时，

uC(0－)=0,iC(0－)=0,iR(0－)=0

(2)t=0+(换路后瞬间)时，电路如图7-12(b)所示，有

uC(0+)=uC(0－)=0,

,iC(0+)=I0

图7-12RC零状态电路

(3)t>0时，电路如图7-12(c)所示，有

uC(t)↑,iR(t)↑,iC(t)=(I0－iR)↓,如图7-12(d)所示。

(4)t→∞时，有

uC(∞)=RI0，iC(∞)=0，iR(∞)=I0

定量分析：

t>0时如图7-12(c)所示，列KCL方程有：

is(t)=iC(t)+iR(t)即

整理得

(7-18)

由上节可知，微分方程的通解为

式中，τ=RC仍是一阶电路的时间常数。作为微分方程的特解，uCp(t)与方程右边的自由项具有相同的函数形式，故uCp(t)为一常数。将其代入原方程(7-18)得

故

，t≥0将初始条件uC(0+)=0代入上式得

0=K+RI0K=－RI0

所以

，t≥0

(7-19)

，t≥0

(7-20)

，t≥0

(7-21)

2.RL电路的零状态响应

下面讨论如图7-13(a)所示的RL电路。设开关S原闭合，电路处于稳态，在t=0时开关断开，分析t>0后电感电流iL(t)和电压u(t)的变化规律。

根据换路定理，iL(0+)=iL(0－)=0。对于图7-13(a)换路后的电路如图7-13(b)所示，由KCL方程可得

iR(t)+iL(t)=I0，t>0

把元件的伏安关系代入，得一阶常系数线性非齐次微分方程为

(7-22)图7-13RL电路类似RC电路零状态响应的求解过程，可知

iL(t)=iLh(t)+iLp(t)

其中，

，显然特解iLp(t)为常数，代入式(7-22)得

iLp(t)=I0

故式(7-22)的完全解为

，t>0将iL(0+)=0代入上式，得0=K+I0，即K=－I0，于是电感电流的零状态响应为

(7-23)

式中，τ=L/R为电路的时间常数。由iL(t)可求得

，

t≥0

(7-24)

iL(t)和u(t)的波形分别如图7-14(a)和(b)所示。图7-14RL零状态电路的iL(t)和u(t)的波形由此可得出如下结论：

(1)一阶电路的零状态响应也是按指数规律变化的(或)。

(2)可以确定的是：电感的电流和电容的电压总是按指数规律增长的，即充电过程。增长总是由0开始，当t→∞时到达新的稳态值uC(∞)或iL(∞)。即

(7-25)

或

(7-26)

(3)变化的速率与时常数τ有关，变化的过程即由一个稳态过渡到另一个稳态的过程(过渡过程)。工程上认为，当t=4τ时，过渡过程已经结束。

(4)对于任意的一阶电路，都可将由动态元件两端看入的有源二端网络等效为戴维南或诺顿等效电路。故此时，时常数τ=RC和τ=L／R中的R即动态元件两端看入网络的等效电阻R0。

注意：在一阶电路的零状态响应中，仅有电容电压和电感电流一定满足通式)，而其他响应可能是按)变化，也可能是按变化的，故求一阶电路的零状态响应时一般先求电容电压或电感电流，然后再求其他响应。

【例7-5】电路如图7-15(a)所示，原已稳定，t=0时开关闭合，求t≥0的uR(t)和iL(t)。

解

(1)求iL(∞),画出t=∞时的等效电路,如图7-15(b)所示(电感看成短路)，有

(2)求从电感两端看入的二端网络的等效电阻R0(用直接等效将电压源置零)，电路如图7-15(c)所示，故

R0=10+3∥6=12Ω

所以图7-15例7-5图代入电感电压通式得

，t≥0

，t≥0

由电路图7-15(a)得

，t≥0

【例7-6】电路如图7-16(a)所示，已知uC(0－)=0，t=0时开关闭合,求t≥0时的uC(t)、u(t)、i(t)。图7-16例7-6图

解

(1)求uC(∞)。

画出t=∞时的等效电路，如图7-16(b)所示。

由KCL方程得

i(∞)+4i(∞)=0

即

i(∞)=0

所以uC(∞)=10V

(2)求τ。

由t≥0后的电路，应用开路短路法求R0，得

uoc=uC(∞)=10V

将电容短路求短路电流，如图7-16(c)所示，由KVL方程得：

由KCL方程得

故

所以

，t≥0

，

t≥0

，

t≥0由初始储能和外加激励共同作用产生的响应为全响应，如图7-17所示。7.4一阶电路的全响应图7-17全响应的图示以RC电路为例，如图7-18(a)所示，研究一阶恒定激励的全响应的求解及特点。在图7-18所示电路中，假设uC(0－)

=U0>RI0，t=0使开关闭合，求t≥0时的uC(t)。

编写方程同前，有

(7-27)

(7-28)将初始条件uC(0+)=U0代入上式得

U0=K+RI0

K=U0－RI0

(7-29)

所以

(7-30)

其波形如图7-18(b)所示。图7-18求全响应的电路及波形下面进行讨论：

①若is=I0=0，则为零输入响应；若uC(0－)=U0=0，则

为零状态响应。即按因果关系分解全响应为

uC(t)=uCx(t)+uCf(t)

(7-31)②当t→∞时，，此时，uC(t)=RI0=uC(∞)。定义为暂态响应，uC(t)=RI0

为稳态响应，即全响应按过程分解为

uC(t)=uC暂(t)+uC稳(t)

③一阶电路在恒定激励下的全响应总是按指数规律变化的，其变化过程是由初始值逐渐过渡到稳定值的过程。即

(7-32)

【例7-7】电路如图7-19(a)所示，uC(0－)=1V，t=0时开关闭合，求t≥0时的i(t)。

解先求uC(t),再求i(t)。

因为

uC(t)=uCx(t)+uCf(t)

且

,

图7-19例7-7图①求uCx(t)。

uCx(0+)=uC(0－)=1V,τ=RC=1s

故

，t≥0

②求uCf(t)。t→∞时如图7-19(b)所示，有

uCf(∞)=10+1=11V

故

uCf(t)=11(1－e－t)，

t≥0

③求i(t)。

uC(t)=uCx(t)+uCf(t)=e－t+11(1－e－t)，t≥0

，

t≥0

【例7-8】电路如图7-20所示，已知某线性系统，当初始储能为X０、激励为f(t)时，全响应为y1(t)=2e－t+cos2t；储能不变，激励为2f(t)时，全响应为y2(t)=e－t+2cos2t。求当初始储能为2X０、激励为4f(t)时的全响应。

解令f(t)→yf(t)，X0→yx(t)。则

解得

yx(t)=3e－t，yf(t)=－e－t+cos2t

故当初始储能为2X０、激励为4f(t)时的全响应为

y(t)=4yf(t)+2yx(t)=2e－t+4cos2t

图7-20例7-8图

2.三要素分析法

由上节可知一阶线性时不变电路在恒定激励下的全响应满足通式：

即

(7-33)

【例7-9】电路如图7-21(a)所示，原电路稳定，求t≥0时的i(t)、iL(t)。

解

(1)求i(0+)、iL(0+)。

①t<0时电路如图7-21(b)所示，求iL(0－)。

②画t=0+时的电路，如图7-21(c)所示，求i(0+)。

iL(0+)=iL(0－)=－1.2A

由左边的网孔KVL方程有

3=3i(0+)－2iL(0+)

得

(2)求i(∞)、iL(∞)。画t=∞时的电路，如图7-21(d)所示，有

(3)求τ,电路如图7-21(e)所示，有

(4)代入三要素公式，得

图7-21例7-9图

【例7-10】电路如图7-22(a)所示，处于稳态，t=0时开关闭合，求t≥0的i(t)。

解由于t≥0后电容电感元件的放电过程相互独立，故电路可分解为两个一阶电路的叠加，如图7-22(c)所示。故

i(t)=i1+i2

(1)画t=0－时的电路(电容开路，电感短路)，如图7-22(b)所示，求iL(0－)和uC(0－)。有

uC(0－)=3iL(0－)=6V=uC(0+)

(2)画t=0+时的电路，如图7-22(d)所示，求i1(0+)和i2(0+)。有

(3)求i1(∞)、i2(∞)。画t→∞时的电路，如图7-22(e)所示，有

(4)求τ1、τ2。电路如图7-22(f)所示，有

R01=3∥6=2Ω，R02=1Ω

故

，τ2=R02C=3s

(5)求i(t)。代入三要素公式得

叠加得

图7-22例7-10图

【例7-11】电路如图7-23(a)所示，求t≥0时的u0(t)的变化规律。

解

(1)求iL(0－)。画t=0－时的电路，如图7-23(b)所示。由KVL方程得

16=2i+1iL(0－)，iL(0－)=i+5i

解得

iL(0－)=12A

(2)画t=0+时的电路，如图7-23(c)所示，求u0(0+)。

iL(0+)=iL(0－)=12A

列节点方程，得

辅助方程为

解得

u0(0+)=9V图7-23例7-12图

(3)求u0(∞)。t→∞时的电路如图7-23(d)所示，有节点方程：

辅助方程为

解得

(4)求τ(用开路短路法求R0′，R0=R0′+1)。

①求开路电压uoc，如图7-23(e)所示，有节点方程：

辅助方程为

解得

uoc=12V②求短路电流isc。如图7-24(f)所示，有

，isc=i+5i=48A

故

(5)代入三要素公式得

，t≥0

1.单位阶跃函数(阶跃函数)的基本概念

单位阶跃函数的定义为

(7-34)

相应的波形图如图7-24所示。7.5阶跃函数与阶跃响应图7-24单位阶跃函数波形单位阶跃函数的性质如下：

(1)时移特性。用t－t0代替U(t)中的t，得

(7-35)

相应的波形如图7-25所示，表示信号延迟t0时间。反之，U(t+t0)为信号在时间轴上左移t0时间，表示信号超前了t0时间，相应的波形如图7-26所示。图7-25延迟的单位阶跃函数图7-26超前的单位阶跃函数

(2)截取特性。任意的无始无终信号f(t)与U(t)相乘后，为一有始信号(因果信号)，即f(t)·U(t)为因果信号。相应的波形如图7-27所示。