《电路分析基础》课件3第7章

7.1二阶电路微分方程的建立7.2RLC串联电路的零输入响应7.3RLC串联电路的全响应7.4RLC并联电路的全响应*7.5微分方程的计算机解本章小结思考题习题7

用二阶微分方程来描述的动态电路称为二阶电路。

二阶电路一般带有两个贮能元件的电阻电路，即同时带有L和C，或带有两个L，或或带有两个L。本章只讨论RLC串联电路和RLC并联电路。至于更复杂的动态电路将在“信号与系统”课程中去研究。7.1二阶电路微分方程的建立7.1.1无源RLC串联电路

在图7-1所示的RLC串联电路中，设电容的初始值为uC(0+)=uC(0-)=U0，电感的初始值为iL(0+)=iL(0-)=I0。现在来推导以电容电压uC或以电感电流iL为电路变量的微分方程，以及求解微分方程所必须的初始条件。图7-1

RLC串联电路根据KVL，列电压方程

uC+uR+uL=0

(7-1)

1.选电感电流iL作为电路变量

电容电压为

(7-2)

电感电压为

(7-3)电阻电压uR=RiL，并将式(7-2)、式(7-3)代入式(7-1)，得

(7-4)

两边求导一次，有

(7-5)这是二阶齐次线性常系数微分方程。

关于变量iL的初始值。二阶微分方程必须要有两个初始条件，即iL(0+)和，才能求解微分方程(7-5)。

已知uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，这需要将电容电压的初始值转化为电感电流导数的初始值。令式(7-4)中t=0，得

(7-6)可得

(7-7)

因此，选电感电流iL为变量时的微分方程和初始条件为

(7-8)

2.选电容电压uC作为电路变量

由于是串联电路，因此通过三个元件的电流相同，即

(7-9)

电感电压为

(7-10(a))

将式(7-9)代入式(7-10(a))得

(7-10(b))电阻电压，并将式(7-10(b))代入式(7-1)，得

(7-11)这也是二阶齐次线性常系数微分方程。

关于变量uC的初始值。已知uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，这需要将电感电流的初始值转化为电容电压导数的初始值。令式(7-9)中t=0，得

(7-12)因此，选电容电压uC为变量时的微分方程和初始条件为

(7-13)7.1.2无源RLC并联电路

在如图7-2所示的RLC并联电路中，设电容的初始值为uC(0+)=uC(0-)=U0，电感的初始值为iL(0+)=iL(0-)=I0。现在来推导以电容电压uC或以电感电流iL为电路变量的微分方程，以及求解微分方程所必须的初始条件。图7-2

RLC并联电路根据KCL，列电流方程

iC+iR+iL=0

(7-14)

1.选电容电压uC作为电路变量

电容电流为

(7-15)

电感电流为

(7-16)

电阻电流iR=GuC，并将式(7-15)、式(7-16)代入式(7-14)，得

(7-17)

两边求导一次，有

(7-18)

这是二阶齐次线性常系数微分方程。

关于变量uC的初始值，二阶微分方程必须要有两个初始条件。已知uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，这需要将电感电流的初始值转化为电容电压导数的初始值。令式(7-17)中t=0，得

(7-19)可得

(7-20)

因此，选电感电流iL为变量时的微分方程和初始条件为

(7-21)

2.选电感电流iL作为电路变量

由于是并联电路，因此三个元件上的电压相同，电压为

(7-22)

电容电流为

(7-23)将式(7-22)代入式(7-23)，得

(7-24)

电阻电压

(7-25)并将式(7-24)、式(7-25)代入式(7-14)，得

(7-26)

这也是二阶齐次线性常系数微分方程。关于变量iL的初始值，已知uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，这需要将电容电压的初始值转化为电感电流导数的初始值。令式(7-22)中t=0，得

(7-27)因此，选电感电流iL为变量时的微分方程和初始条件为

(7-28)

以上推导了无源RLC串联电路和RLC并联电路的微分方程和初始条件。

由于两个电路是完全对偶的，因此，所导出的微分方程和初始条件也是完全对偶的。即式(7-8)与式(7-21)是对偶关系式，式(7-13)与式(7-28)是对偶关系式。7.1.3固有频率

对于RLC串联电路，以iL为变量的微分方程为

根据对一阶微分方程求解经验，可假设电流为

iL=Kest

(7-29)的形式。将其代入微分方程得由此可得

两边均除以Kest，乘以C，得

LCs2+RCs+1=0

(7-30)上式称为特征方程。可见，只要将微分方程的导数d/dt换成s，两边除以变量，就是特征方程了。

再来看以uC为变量的微分方程为

其特征方程为

LCs2+RCs+1=0在RLC串联电路中，无论是选用什么变量列写电路的微分方程，其特征方程都是相同的。

若令，，则特征方程可写为

(7-31)

这一方程有两个根，称为特征根，它们是

(7-32)特征根又称固有频率或自然频率。

对于RLC并联电路，可以用同样的方法得到电路的特征方程。无论是以uC为变量，还是以iL为变量，特征方程均为

LCs2+GLs+1=0

若令，，则特征方程可写为

这一方程有两个根，称为特征根，它们是这就是RLC并联电路的固有频率。在以后的分析中会看到，固有频率确定了电路响应的形式，也反映了电路本身的固有特性。以无源RLC串联电路为例，选用iL为变量，由上节可知二阶电路的特征根有两个，即

在式(7-29)中，以s1替换s，得到

7.2

RLC串联电路的零输入响应类似地，有

前者满足以下微分方程

后者满足

把两个方程加起来，合并同类项，得到

这表明，两个解的和也是方程的解，即满足线性原理。于是，得到零输入响应的一般形式为

(7-33)其中，s1和s2为特征根；K1和K2是任意两个常数，可以用初始条件iL(0+)和diL(0+)/dt确定。

由于R、L、C数值不同，特征根s1和s2可能出现四种不同的情况：

(1)当α>ω0时，s1和s2是不相等的负实根，称为过阻尼情况。

(2)当α=ω0时，s1和s2是相等的负实根，称为临界阻尼情况。

(3)当α<ω0时，s1和s2是共轭复根，称为欠阻尼情况。(4)当α=0时，s1和s2是共轭虚根，称为无阻尼情况。7.2.1过阻尼的零输入响应

当α>ω0，即时，s1和s2是不相等的负实根，零输入响应的形式为

图7-3例7-1的电路随着时间t的增加，零输入响应iL将会趋于零。电流曲线是非振荡的。

【例7-1】如图7-3所示电路原已达稳态，开关S在t=0时打开。求S打开后的响应uC和iL，并画出它们的波形图。

解先确定uC和iL的初始值：

以uC为变量，微分方程为

即

特征方程为

s2+6s+8=0特征根为

s1=-2，s2=-4

uC的表达式为

uC=K1e-2t+K2e-4t

用初始值uC(0+)=3V，代入上式，得代入上式，得

K1+K2=3

-2K1-4K2=-4

联立解得K1=4，K2=-1，于是有

uC和iL的波形图如图7-4所示。图7-4

uC和iL的波形7.2.2临界阻尼的零输入响应

当α=ω0，即时，s1=s2=-α=是相等的负实根，零输入响应的形式为

(7-34)

电流曲线是非振荡的。

【例7-2】

在RLC串联电路中，电路参数变为R=1Ω，L=1/4H，C=1F，iL(0)=0，uC(0)=-1V，uC和iL采用关联参考方向，求uC和iL的零输入响应。

解电路的初始值为

由于，电路为临界阻尼，特征根为重根：

uC的表达式为

代入初始值，有

K1=-1

-2K1+K2=0

可解得

K1=-1,K2=-2

uC和iL的零输入响应为

uC和iL的波形图如图7-5所示。图7-5

uC和iL的波形

【例7-3】

某RLC串联电路的R=1Ω时，固有频率为-3±j5。电路中的L、C保持不变，试计算：

(1)为获得临界阻尼响应所需的R值；

(2)为获得过阻尼响应，且固有频率之一为s1=-10时所需的R值。

解

(1)由于,α=3,所以，有

又因为，因此

若L、C不变，不变，临界阻尼时，

所以

(2)过阻尼响应，α>ω0,即，有R>2Lω0。由于

即

(10-α)2=α2-34

解得α=6.7。所以

R=2L

=

=2.23

7.2.3欠阻尼的零输入响应

当α<ω0，即时，s1、s2是一对共轭复根，令ωd=，即

s1,2=-α±jωd

零输入响应的形式为

(7-35)

电流曲线是振荡的。其中，α为衰减系数；

ωd为振荡频率。

【例7-4】在RLC串联电路中，电路参数改变为R=1Ω，

L=1H，C=1F，

iL(0)=1A，uC(0)=1V，uC和iL采用关联参考方向，求uC和iL的零输入响应。

解电路的初始值为

由于，电路为欠阻尼，，

，因此

特征根为重根：

uC的表达式为

代入初始值，有

可解得：K2=1，

。

uC和iL的零输入响应为

uC和iL的波形图如图7-6所示。图7-6

uC和iL的波形7.2.4无阻尼的零输入响应

当α=0，即R=0时，s1、s2是一对共轭虚根，ωd=ω0，即

s1,2=±jωd

零输入响应的形式为

(7-36)

电流曲线是等幅振荡的。其中，ωd为振荡频率。

【例7-5】

电路如图7-7所示，由t=0至t=1s期间开关与a接通。在t=1s时，开关接至b。

已知uC(0+)=10V以及t≤1时，iL=0，试计算t≥1时的uC(t)，并绘波形图。图7-7例7-5的电路

解在0≤t≤1s时，如图7-7所示为RC放电电路，时间常数τ=RC=1s，故有

uC(t)=10e-tV

当t≤1s时，初始值为

开关接通b后，R=0，无阻尼情况。

特征根为

s1，2=±j1

零输入响应为

uC(t)=Kcos［(t-1)+θ］

代入初值：

10e-1=Kcosθ

0=-Ksinθ

解得

θ=0，K=10e-1

所以

波形如图7-8所示。uC(t)=10e-1cos(t-1)V,t

1s

iL(t)=-10e-1sin(t-1)A,t

1s

图7-8uC和iL的波形

自测题7-1电路如图7-9所示，它的固有响应的性质是

。

(Ａ)过阻尼(Ｂ)欠阻尼

(Ｃ)临界阻尼(Ｄ)无阻尼

自测题7-2

电路如图7-10所示原是处于临界阻尼状态，现增添一个如虚线所示的电容C，其结果将使电路成为

。

(A)过阻尼(B)欠阻尼(C)临界阻尼(D)无阻尼图7-9自测题7-1图7-10自测题7-2

自测题7-3图7-11所示电路中的二极管是理想的，电容上的初始电压为U0。其中，图

电路中二极管有时能导通；图

电路中的二极管不会导通。

图7-11自测题7-3

自测题7-4二阶电路电容电压uC的微分方程为

此电路属

情况。

(Ａ)过阻尼(Ｂ)欠阻尼(Ｃ)临界阻尼(Ｄ)无阻尼上节讨论了RLC串联电路在换路后是没有输入电源的，其响应是由初始状态引起的，故称零输入响应。由于所列的微分方程是齐次的，即方程右边为零。因此，也称为电路的固有响应或自由响应。本节将讨论直流电源作用于RLC串联电路，如图7-12所示。7.3

RLC串联电路的全响应图7-12电压源接通RLC串联电路应用KVL，若选用iL为变量，电路的微分方程为

(7-37)若选用uC为变量，则微分方程为

(7-38)这是二阶非齐次线性常系数微分方程。

根据求解非齐次线性常系数微分方程的理论，式(7-38)的解由两部分组成，即

uC=uCf+uCn

其中，uCn为微分方程的齐次解，也称电路的自由响应或固有响应，它的求解方法在上节已经介绍了。根据电路特征根的不同，uCn有不同的形式。uCf为微分方程的特解，也称为电路的强迫响应。由于t→∞后，自由响应趋于零，因此电路稳定后只剩下强迫响应，故也称为稳态响应。微分方程的特解就是电路变量的终值，即

uCf=uC(∞)=US

因此，RLC串联电路的全响应按特征根的不同，分为以下四种情况。

(1)过阻尼：;

(2)临界阻尼：;

(3)欠阻尼：;

(4)无阻尼：。

【例7-6】

电路如图7-13所示，开关打开前已处于稳态，t=0开关S打开。求当R=5Ω，4Ω，1Ω时，uC和iL。图7-13例7-6的电路

解情况1：

R=5Ω。

初始值为

特征根为

显然是过阻尼，自由响应的形式为

uCn=K1e-t+K2e-4t

特解，即强迫响应为

uCf=uC(∞)=24V

因此，全响应的形式为

uC=K1e-t+K2e-4t+24代入初始值得

K1+K2+24=4

-K1-4K2=16

联立解得，于是有

情况2：R=4Ω。初始值为

特征根为

显然是临界阻尼，自由响应的形式为

uCn=(K1+K2t)e-2t

特解，即强迫响应为

uCf=uC(∞)=24V

因此，全响应的形式为

uC=(K1+K2t)e-2t+24用初始值，得

K1+24=4.8

-2K1+K2=19.2

联立解得K1=-19.2，K2=-19.2，于是有

情况3：R=1Ω。初始值为

特征根为

显然是欠阻尼，自由响应的形式为

特解，即强迫响应为

因此，全响应的形式为

用初始值，得

K1+24=12

-0.5K1+1.936K2=48

联立解得K1=-12，K2=21.694，于是有

三种情况下uC和iL的波形图如图7-14所示。图7-14

uC和iL的波形在7.1节中，我们就研究了RLC串联电路和RLC并联电路的微分方程、固有频率、初始条件，得出了它们之间是完全对偶的。在详细讨论了RLC串联电路后，RLC并联电路的计算就不必再讨论了，只要用对偶的方法对照RLC串联电路的分析方法进行就可以了。下面举例说明。

【例7-7】

电路如图7-15所示，开关t=0时闭合，求电流iL和iR。7.4

RLC并联电路的全响应图7-15例7-7的电路

解图中电压源的电压为30ε(-t)，表示当t<0时电压为30V，t>0时电压为0。所以开关闭合后，电路是带有输入的RLC并联电路。其中，并联电阻有两个20Ω，可合并为10Ω。先求初始值：

特征根为

或

s1=-11.978,s2=-0.5218显然是过阻尼情况，特解就是电感电流的终值，iLf=iL(∞)=4A，全响应为

iL=4+K1e-11.978t+K2e-0.5218t

将初始值代入上式，得

4+K1+K2=4

-11.978K1-0.5218K2=0.75联立解得K1=-0.0655，K2=0.0655，于是有

自测题7-5

电路如图7-16所示，二阶电路的固有频率是

。

(A)-3，-1(B)-2，-2(C)3，-1(D)-2±j1

自测题7-6电路如图7-17所示，二阶电路的固有频率是

。

(A)-1±j1

(B)-1±j2

(C)

(D)图7-16自测题7-5图7-17自测题7-6

自测题7-7

若RLC电路的特征根是-2和-3，则二阶电路的固有响应是

。

(A)(K1cos2t+K2sin2t)e-3t

(B)(K1+2K2t)e-3t

(C)K1e-2t+K2te-3t

(D)K1e-2t+K2e-3t

常微分方程有时很难求解，MATLAB提供了功能强大的工具，可以帮助求解微分方程。函数dsolve计算常微分方程的符号解。因为我们要求解微分方程，就需要用一种方法将微分包含在表达式中。所以，dsolve句法与大多数其他函数有一些不同，用字母D来表示求微分，D2、D3等表示重复求微分，并以此来设定方程。任何D后所跟的字母为因变量。方程d2y/dx2=0用符号表达式D2y=0来表示。*7.5微分方程的计算机解如在例7-1中，微分方程和初始条件为

用MATLAB求解就十分容易，在命令窗口输入如下：

>>u=dsolve(′0.125*D2u+0.75*Du+u=0′，′u(0)=3′，′Du(0)=-4′)

u=

-exp(-4*t)+4*exp(-2*t)即微分方程的解为uC=4e-2t-e-4t，与理论计算完全一致。

由于本章主要是研究RLC串联和RLC并联电路，笔者用MATLAB编写了两个通用函数。一个是用于求解RLC串联电路的函数：RLCSAN(R，L，C，I0，U0，Us，ts)，R、L、C是这三个元件的参数值，I0、U0是初始值iL(0)和uC(0)，Us是输入电源电压，ts是绘图的终止时间。另一个是用于求解RLC并联电路的函数：RLCPAN(R，L，C，I0，U0，Is，ts)，参数的意义同上。关于这两个函数的详细程序见附录。现用RLCSAN来计算例7-6，所编程序如下：

%例7-6：RLC串联电路的计算与绘图

R=5；L=1；C=0.25；

I0=4；U0=4；Us=24；

figure(1)

disp(′过阻尼情况′)

RLCSAN(R，L，C，I0，U0，Us，10)

R=4；L=1；C=0.25；

I0=4.8；U0=4.8；Us=24；figure(2)

disp(′临界阻尼情况′)

RLCSAN(R，L，C，I0，U0，Us，10)

R=1；L=1；C=0.25；

I0=12；U0=12；Us=24；

figure(3)

disp(′欠阻尼情况′)

RLCSAN(R，L，C，I0，U0，Us，10)[ZK)][HT][HJ]程序运行后，在命令窗口显示结果如下：

>>过阻尼情况

电容电压

u=24+4/3*exp(-4*t)-64/3*exp(-t)

电感电流

i=-4/3*exp(-4*t)+16/3*exp(-t)

临界阻尼情况

电容电压

u=24-96/5*exp(-2*t)-96/5*exp(-2*t)*t

电感电流i=24/5*exp(-2*t)+48/5*exp(-2*t)*t

欠阻尼情况

电容电压

u=24-12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15∧(1/2)*t)+28/5*15∧(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*15∧(1/2)*t)

电感电流

i=12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15∧(1/2)*t)+4/5*15∧(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*15∧(1/2)*t)用RLCSAN函数绘出的三种情况的波形图如图7-18、图7-19、图7-20所示。采用的是双坐标，左边坐标为电容电压，右边坐标为电感电流。

可以用RLCSAN和RLCPAN来计算本章的大部分问题，也可以用它来验证计算结果的正确性。图7-18过阻尼情况曲线图7-19临界阻尼情况曲线图7-20欠阻尼情况曲线串联RLC电路和并联RLC电路具有相同形式的特征方程，即

其中，RLC串联电路；

RLC并联电路;而

两个电路相同。本章小结电路的特征根，即固有频率，有若干特性：

·同一电路选用不同的变量，但固有频率是相同的。

·

特征根仅与电路参数有关，根据R、L、C的不同，特征根有四种形式，即两个不同的负实根；二重根；一对共轭复根；一对共轭虚根。

·

RLC串联电路和RLC并联电路以及两个电路的微分方程、特征方程都是对偶的。二阶电路响应特性有四种：

·过阻尼，电压或电流在趋于稳态值的过程中，没有振荡。

·临界阻尼，电压或电流在趋于稳态值的过程中，处于振荡的临界状态。

·欠阻尼，电压或电流在趋于稳态值的过程中有衰减振荡。

·无阻尼，电压或电流为等幅振荡。·判别二阶电路响应性质的判别式如下：

·

RLC串联或并联电路的求解步骤：

·选定电路变量，一般RLC串联电路选取uC，RLC并联电路选取iL。

·计算初始值：uC(0)和duC(0)/dt；

iL(0)和diL(0)/dt。

·

计算特征根：。

·根据不同的响应性质选取不同的固有响应形式。

·求特解，即稳态解uC(∞)或iL(∞)。

·用初始值确定常数K1和K2。

1.RLC串联电路与RLC并联电路的分析中有哪些是对偶的？

2.二阶电路的零输入响应有几种形式？如何判别？

3.切断直流电动机(可以认为是一个RL串联电路)的电源时，在开关两端产生火花，是什么原因？为什么在开关两端并联一个电容或在RL串联电路两端并联二极管就可以消除火花？

思考题

4.RLC串联电路的零输入响应原属于临界情况。增大或减小R的值，电路的响应将分别改变为过阻尼还是欠阻尼情况？说明原因？

5.具有两个同类性质的独立储能元件的线性电路，其过渡过程会出现振荡情况吗？

6.在RLC串联电路中，在R可调范围内，零输入响应均属于欠阻尼情况。试说明增大或减小R的数值，对衰减系数α和振荡角频率ωd各有什么影响?

7.试说明RLC并联电路在响应为过阻尼、临界阻尼和欠阻尼情况时所经历的物理过程。

8.在RLC并联电路中，若原参数之间满足关系式α>ω0，现增大R的值，对电路的响应将产生何种影响？基本练习题

7-1电路如题7-1图所示，开关闭合前电路已稳定，在t=0时开关闭合，求电路的u和i。

7-2电路如题7-2图所示，开关在t=0时打开，打开前电路已处于稳态。选择R使两固有频率之和为-1，求iL(t)。习题7题7-1图题7-2图

7-3某RLC并联电路的R=10Ω，固有频率为-5±j4。电路中的L、

C保持不变，试计算：

(1)为获得临界阻尼响