《电路分析基础》课件5第7章

7.1耦合电感

7.2含耦合电感电路的相量法分析

7.3理想变压器

7.4实际变压器

习题7第7章耦合电感与变压器电路分析

7.1耦合电感

7.1.1耦合线圈

如果某两个线圈的磁场存在相互作用，则称这两个线圈具有磁耦合。具有磁耦合的两个或两个以上的线圈，称为耦合线圈。两个相互耦合的线圈如图7.1-1所示，线圈Ⅰ的匝数为N1，线圈Ⅱ的匝数为N2。两个线圈之间存在磁耦合，若不考虑线圈的损耗和电磁场的作用，则每个线圈产生的磁通不仅与本线圈交链，还有部分磁通与另一线圈交链，因而每个线圈中的磁通为本线圈产生的磁通与另一线圈产生的交链磁通之和。

图7.1-1耦合线圈当线圈Ⅰ中通以电流i1时，根据右手螺旋定则，产生的磁通中穿过自身线圈的磁通称为自感磁通，简称自磁通，记为Φ11(磁通(或磁链)符号中第1个下标表示该磁通(磁链)穿过的线圈的编号，第2个下标表示产生该磁通(磁链)的电流所在线圈的编号)。穿过线圈Ⅱ的磁通称为互感磁通，简称互磁通，记为Φ21。可以看出，Φ21是Φ11中的一部分或全部，即Φ21≤Φ11。在线圈密绕的条件下，穿过各自线圈中每匝的磁通相同，则线圈Ⅰ产生的磁链有

Ψ11=N1Φ11=L1i1(7.1-1)

Ψ21=N2Φ21=M21i1(7.1-2)

式中，Ψ11、L1称为线圈Ⅰ的自磁链和自感；Ψ21、M21称为线圈Ⅰ中电流对线圈Ⅱ的互感磁链和互感系数，简称为线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互磁链和互感。互感的国际单位与自感相同，也是亨［利］(H)。同理，当线圈Ⅱ中通以电流i2时，产生的磁通中穿过自身线圈的自磁通为Φ22，穿过线圈Ⅰ的互磁通为Φ12，即Φ12≤Φ22。在线圈密绕的条件下，线圈Ⅱ产生的磁链有

Ψ22=N2Φ22=L2i2(7.1-3)

Ψ12=N1Φ12=M12i2(7.1-4)

式中，Ψ22、L2称为线圈Ⅱ的自磁链和自感；Ψ12、M12称为线圈Ⅱ中电流对线圈Ⅰ的互感磁链和互感。对于线性电路，可以证明M21=M12，当只有两个线圈耦合时，可以省略下标，即M21=M12=M。工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，常用耦合系数k来体现。耦合系数k定义为两线圈互磁链与自磁链之比的几何均值，即

将式(7.1-1)~式(7.1-4)代入式(7.1-5)，同时引入M21=M12=M，式(7.1-5)可变为

(7.1-5)(7.1-6)

由式(7.1-6)可知，k的取值范围是［0，1］。k值愈大，表明两线圈耦合愈紧；k值愈小，耦合愈松。当M2=L1L2时，k=1，表明两线圈耦合最紧，称为全耦合;当M=0时，k=0，表明两线圈之间为零耦合。7.1.2耦合电感的电压-电流关系

由前述内容可知，当两耦合线圈中都通有电流时，穿越每一个线圈的磁通可以看成是自磁通与互磁通的代数和。

如图7.1-2(a)所示，当自磁通与互磁通方向一致时，称为磁通相助。此时，穿越线圈Ⅰ、Ⅱ的磁链分别为

Ψ1=Ψ11+Ψ12=N1Φ11+N1Φ12=L1i1+Mi2(7.1-7)

Ψ2=Ψ21+Ψ22=N2Φ21+N2Φ22=L2i2+Mi1(7.1-8)图7.1-2耦合线圈的磁通相助与相消假设两线圈上电压、电流参考方向为关联参考方向，且电流方向与各自磁通的方向符合右手螺旋定则，则根据电磁感应定律可得出两耦合线圈的电压为

(7.1-9)(7.1-10)如图7.1-2(b)所示，当自磁通与互磁通方向相反时，称为磁通相消。此时，穿越线圈Ⅰ、Ⅱ的磁链分别为

Ψ1=Ψ11－Ψ12=N1Φ11－N1Φ12=L1i1－Mi2

(7.1-11)

Ψ2=Ψ21－Ψ22=N2Φ21－N2Φ22=L2i2－Mi1

(7.1-12)假设两线圈上电压、电流参考方向为关联参考方向，且电流方向与各自磁通的方向符合右手螺旋定则，则两耦合线圈的电压为

(7.1-13)(7.1-14)通过以上分析可知，两个耦合线圈的电压等于自感电压与互感电压的代数和。当线圈的电压、电流参考方向为关联参考方向时，理想耦合线圈的电压-电流关系可表示为

(7.1-15)

式(7.1-15)表明，两耦合线圈的电压不仅与本线圈中的电流有关，也与另一耦合线圈中的电流有关，体现了线圈间的耦合作用，具体由L1、L2和M

三个参数来表征。当线圈的电压、电流参考方向关联时，自感电压恒取“+”号。当两耦合线圈的磁通相助时，互感电压恒取“+”号，反之，互感电压恒取“－”号。通常来说，判断耦合线圈的磁通相助还是相消，除了需明确线圈上的电流参考方向外，还要知道两线圈的相对位置和导线绕向。然而在实际中，耦合线圈往往是密封的，无法从外观上看出线圈的相对位置和绕向，况且在电路图中真实地画出线圈绕向也不方便。为此，人们引入一种同名端标志，依据同名端与电流的参考方向可方便地判断磁通相助或相消。同名端的定义为：当电流从两线圈各自的某一端子同时流入(或流出)时，若两线圈产生的磁通相助，则称这两个端子为耦合线圈的同名端(也称同极性端)，标记为“*”或“·”；反之，若两线圈产生的磁通相消，则称这两个端子为耦合线圈的异名端。如图7.1-2(a)所示，1端与3端(或2端与4端)是同名端，1端与4端(或2端与3端)是异名端。如图7.1-2(b)所示，1端与3端(或2端与4端)是异名端,1端与4端(或2端与3端)是同名端。人们可通过实验方法来测定两线圈的同名端，见例7.1-2。

理想耦合线圈的电路模型如图7.1-3所示，称为耦合电感元件，简称耦合电感(coupledinductor)。假设它的L1、L2和M

三个参数均是不随时间、电压、电流值变化的常数，则称为线性时不变耦合电感。本章只讨论这类耦合电感。图7.1-3耦合电感的电路模型因此，耦合电感的电压-电流关系(伏安方程(VCR))同式(7.1-15)。由图7.1-3(a)可知，当电流同时从耦合电感的同名端流入时，伏安方程中的自感电压与互感电压取号相同；反之，由图7.1-3(b)可知，两电流同时从异名端流入时，则自感电压与互感电压取号相反。

【例7.1-1】如图7.1-4所示的耦合电感，同名端位置及两线圈上电流、电压的参考方向均如图中所示，试分析得出该耦合电感的伏安方程。图7.1-4例7.1-1图

【解】先求第1个线圈L1的电压u1。

图中L1的u1与i1的参考方向为关联方向，则L1的自感电压为。另外从图中可知，i1、i2均从同名端流入，则磁通相助，故L1的互感电压与自感电压取号相同，即为

。因而，可得L1的电压为

下面求第2个线圈L2的电压u2。图中L2的u2与i2的参考方向为非关联方向，则L2的自感电压为。考虑磁通相助，则L2的互感电压为

。因此，可得L2的电压为

通过例7.1-1可以看出，耦合电感的伏安方程具有多种形式，与两线圈的电压、电流参考方向及同名端位置有关。式(7.1-15)是耦合电感两线圈的电压、电流参考方向为关联方向条件下的伏安方程，若此条件不满足，则不能随意照套该方程。

【例7.1-2】在实际工程中，测试密封耦合线圈同名端位置的一种实验电路如图7.1-5所示。其测试过程如下：

(1)用万用表测定两线圈各自的两个引出端钮。

(2)把其中一个线圈(记为线圈1)经开关S、电阻R接到一个直流电压源上，把一个视为理想的指针式直流电流表并联接到另一个线圈(记为线圈2)上。图7.1-5例7.1-2图

(3)迅速闭合开关，根据电流表指针的偏转情况判断两线圈的实际高电位端。

(4)判定两线圈各自的实际高电位端为耦合线圈的同名端。

试阐述该实验的测试原理。

【答】如图7.1-5所示，当开关S闭合时，有随时间增长的电流i1经1端流入线圈1，在L1上产生自感电压。由于>0，因此1端是线圈1的实际高电位端。

同时，线圈2将首先产生互感电压，由于3、4端外接电流表(电流表内阻RA≈0)，线圈2中流出电流i2,因此当电流表指针向右正向偏转时，表明端钮3为线圈2的实际高电位端；反之，电流表指针向左反向偏转时，表明端钮4为线圈2的实际高电位端。

根据同名端的定义，实际高电位端(即同极性端)也就是耦合线圈的同名端。7.1.3耦合电感的去耦等效及应用

由前述内容可知，耦合电感的线圈端电压包含自感电压和互感电压两部分，其伏安方程因同名端位置不同,各线圈上电压、电流参考方向是否为关联方向等因素往往具有不同的表达形式，这给分析含耦合电感的电路带来了不便。人们通常应用去耦等效电路的方法，将含有耦合电感电路等效为常规的无耦合电路，以便简化电路的分析过程。1.耦合电感的CCVS去耦等效

如图7.1-6(a)和(b)所示的耦合电感，可分别写出它们的伏安方程为

(7.1-16)(7.1-17)图7.1-6耦合电感式(7.1-16)和式(7.1-17)中，自感电压的作用可用各自线圈的自感来表示，而互感电压可用电流控制电压源(CCVS)元件来等效。根据电路的基尔霍夫回路电压(KVL)定律，可画出式(7.1-16)和式(7.1-17)对应的去耦等效电路,如图7.1-7所示。可见，等效电路中不含耦合电感元件，分析电路方程时不必再多考虑互感电压。

去耦等效电路方法应用在耦合线圈串联的问题分析上可以简化问题，带来便利。图7.1-7耦合电感的CCVS去耦等效电路

【例7.1-3】如图7.1-8(a)所示的电路，已知L1=2H，L2=4H，现将耦合线圈的b、c端相连，求ad端的等效电感Lad。

图7.1-8例7.1-3图

【解】图7.1-8所示的电路中将耦合线圈的b、c端相连构成两个串联的耦合线圈，电流均从同名端流入，这种形式的串联称为顺接串联。

根据图中给出的两耦合线圈电压、电流的参考方向，画出CCVS等效电路，如图7.1-8(b)所示，列写KVL方程，令i1=i2=i，得因此，耦合线圈顺接串联时，ad端的等效电感Lad为

Lad=L1+L2+2M=10H

2.耦合电感的T形去耦等效

在分析诸如耦合线圈的并联连接问题时，可应用耦合电感的T形去耦等效电路。如图7.1-9(a)所示的耦合电感，两线圈的电压、电流参考方向设为关联方向，电流均从同名端流入，其伏安方程为

(7.1-18)将式(7.1-18)进行数学变换，可得到

(7.1-19)由式(7.1-19)画出等效电路如图7.1-9(b)所示。该电路中3个电感相互之间无耦合，它们的自感量分别是L1－M、L2－M、M，且连接成T形结构，因此称它为耦合电感的T形去耦等效电路。图7.1-9(b)中的2、4端互连为公共端，而耦合电感中的2、4端为同名端，因而将这种情况的T形去耦等效称为同名端为公共端的T形去耦等效。若把图7.1-9(a)中的1、3端作为公共端，则可等效为图7.1-9(c)所示的电路形式。图7.1-9同名端为公共端耦合电感的T形去耦等效图7.1-10(a)是耦合电感中两线圈电流从异名端流入的情况，用同样的方法可得出其T形等效电路，如图7.1-10(b)和(c)所示。其中,图(b)以异名端2、4端作为公共端，图(c)以异名端1、3端作为公共端。等效电路中的-M是一个等效的负电感。图7.1-10异名端为公共端耦合电感的T形去耦等效

【例7.1-4】图7.1-11(a)所示为耦合电感的并联电路，求ab端的等效电感Lab。

图7.1-11例7.1-4图

【解】应用耦合电感的T形去耦等效方法，将图7.1-9(a)等效为图(b)，应用电感串并联关系，得

上述结论是在两耦合线圈并联且异名端相连的情况下求得的等效电感。对于同名端相连情况下的耦合线圈并联，可采用与上述类似的分析方法得出等效电感为

7.2含耦合电感电路的相量法分析

含耦合电感的电路通常使用在正弦稳态的情况下，因而耦合电感上的电压除包含自感电压外，还包含互感电压。在对含耦合电感电路的分析方法中如采用节点电位法，则所列的节点方程实际上是节点电流方程，不易考虑互感电压；若对耦合电感不作去耦等效，则不便于直接使用节点电位分析法。本节着重讨论正弦稳态下含耦合电感电路的相量分析法，分别为方程分析法和等效分析法。7.2.1方程分析法

在电子电路中，经常使用耦合电感把激励源信号耦合传输给负载或其他电路，其基本电路构成如图7.2-1所示。与激励源相连的电感称为初级线圈，与负载相连的电感称为次级线圈。初、次级线圈所在的回路分别称为初、次级回路。图7.2-1含耦合电感的电路如图7.2-1所示的电路，分别对两个回路列写KVL方程，设定各回路电流的参考方向，并认为各元件的电压与电流参考方向关联，可得

(7.2-1)在正弦稳态情况下，由式(7.2-1)可得出以下相量方程:

将式(7.2-2)写成一般形式，得

(7.2-2)

(7.2-3)

式中:

Z11=R1+jωL1

Z22=RL+jωL2

Z12=Z21=±jωM其中，Z11是初级回路的自阻抗；Z22是次级回路的自阻抗；Z12是反映耦合电感次级回路对初级回路影响的互阻抗；Z21则是反映耦合电感初级回路对次级回路影响的互阻抗。注意互阻抗取值有两种情况：当初、次级回路电流均从同名端流入或流出(磁通相助)时取jωM；当两个回路电流均从异名端流入或流出(磁通相消)时取－jωM。显然，对图7.2-1所示的电路，Z12=Z21=－jωM。

综上所述，用方程分析法分析含耦合电感的正弦稳态电路，只需通过观察电路，确定Z11、Z22、Z12和Z21，就可以直接列出回路方程，然后解方程组得到初、次级电流。如果需要，则再通过、求得电路中的电压或功率。

【例7.2-1】含耦合电感的电路如图7.2-2所示，已知

，试用方程分析法计算电路中的和电压。

图7.2-2例7.2-1图

【解】先将恒流源和500Ω电阻并联变换成恒压源和500Ω电阻串联,即

根据初、次级回路电流的参考方向，结合电路列出回路方程:

解上述方程，可得

则

7.2.2等效分析法

结合方程分析法的思路，归纳出含耦合电感的正弦稳态电路的等效分析法,包括初级等效电路、次级等效电路和戴维南等效电路。初级等效电路主要用于求解初级回路问题，后两种等效电路用于解决次级回路问题。

1.初级等效电路

解式(7.2-3)，得

(7.2-5)(7.2-4)无论Z12、Z21等于jωM或是－jωM，－Z12·Z21都等于ω2M2，将它代入式(7.2-4)得

令

将式(7.2-7)代入式(7.2-6)，得

(7.2-6)(7.2-7)

(7.2-8)根据式(7.2-8)画出初级等效电路如图7.2-3所示。只要设电流的参考方向从电源正极流出，无需关注耦合线圈的同名端，可以直接由式(7.2-8)计算出初级电流。

式(7.2-8)表达的Zr1反映了次级回路对初级电流的影响，称为次级回路对初级回路的反映阻抗(reflectedimpedance)。设次级回路自阻抗:

Z22=R22+jX22

图7.2-3初级等效电路将Z22代入式(7.2-7)，得

式中:

Rr1是反映阻抗中的电阻部分，称为反映电阻，其消耗的功率就是次级回路消耗的功率；Xr1是反映阻抗的电抗部分，称为反映电抗，其性质与次级回路的电抗X22的性质相反。(7.2-9)(7.2-10)

根据图7.2-3所示的初级等效电路不难得出，从电源端看进去的输入阻抗为

初级回路的消耗功率:

式中,R11是初级回路自阻抗Z11的电阻部分。对于图7.2-1而言,R11=R1。(7.2-11)(7.2-12)

2.次级等效电路

对于图7.2-1所示的耦合电感电路，Z21=－jωM，代入式(7.2-5)可得

(7.2-13)图7.2-4次级等效电路

由式(7.2-13)画出该电路的次级等效电路如图7.2-4所示。次级等效电路中，等效电压源是初级回路电流通过互感在次级线圈上产生的互感电压，次级回路电流正是此电压作用的结果。一般的耦合电感电路中，等效电压源取值为

或者

，具体由所给耦合电感的同名端及所设初、次级电流的参考方向决定。若磁通相助，则取

；若磁通相消，则取

。由电流求得次级回路消耗功率为

将有效值I2代入式(7.2-14)，并结合式(7.2-9)，消耗功率P2还可表示为

由式(7.2-15)可以看出，次级回路消耗的功率与反映电阻Rr1在初级等效电路中消耗的功率是相同的。(7.2-14)(7.2-15)

3.戴维南等效电路

结合图7.2-1，可分析出其戴维南等效电路。

根据戴维南定理要求，首先计算开路电压。从3、4端断开次级回路，设定的参考方向如图7.2-5所示。由图可得

(7.2-16)式(7.2-16)中:

其中，是次级开路时的初级回路电流。

然后求出等效内阻抗Z0。将图7.2-5中的电压源短路，在断开端子3、4间加电压源，并设定两个回路电流为、，如图7.2-6所示。(7.2-17)

图7.2-5开路电压的求解图7.2-6等效内阻抗的求解将原来的次级当作初级，原来的初级当作次级，则由3、4处往左看的输入阻抗就是待求的等效内阻抗Z0，可得：

由上式得出

(7.2-18)其中:

Zr2称为初级回路对次级回路的反映阻抗，它与Zr1具有类似的特性。

最后，画出戴维南等效电路,如图7.2-7所示。分析该等效电路，即可求得次级回路中的电流、电压和功率。(7.2-19)

图7.2-7戴维南等效电路

【例7.2-2】含耦合电感的电路如图7.2-8所示，图

，R1=12Ω，R2=2Ω，jωL1=j12Ω，jωL2=j10Ω，jωM=j12Ω。求初、次级电路电流、

和次级回路吸收的功率P2。

图7.2-8例7.2-2图

【解】方法一：用方程分析法求解。

设初、次级回路电流的参考方向如图7.2-8(a)所示，结合电路列出初、次级回路方程如下:

将已知条件代入上式，得

解得

次级回路吸收的功率为

方法二：用等效分析法求解。

画出初级等效电路如图7.2-8(b)所示，图中:

画出次级等效电路如图7.2-8(c)所示，因磁通相助，故图中等效电压源为

因此，次级回路吸收的功率:

7.3理想变压器

变压器是一种利用电磁感应原理实现电能传递或信号传输的多端电路器件，它在各种电气及电力电子系统中都有广泛的应用。常用的实际变压器有空心变压器和铁心变压器两种类型。空心变压器是由两个绕在非铁磁性材料制成的心子上的具有互感的线圈组成的。铁心变压器则是由两个绕在铁磁性材料制成的心子上的具有互感的线圈组成的。用在单相稳态正弦电路中的变压器称为单相变压器，用在三相稳态正弦电路中的变压器称为三相变压器。本节着重讨论的理想变压器是实际变压器的理想化模型，它是对互感元件的一种理想化抽象，可看成是极限情况的耦合电感。7.3.1理想变压器的条件

理想变压器可以看做是耦合电感元件在满足下述3个理想条件下产生的多端电路元件。

条件1：耦合系数k=1，即全耦合。

条件2：自感系数L1、L2无穷大，且L1/L2等于常数。根据耦合系数的定义并考虑条件1可知，也为无穷大。此条件可简称为参数无穷大。条件3：无损耗。该条件认为绕制线圈的金属漆包线无任何电阻，或者说，绕线圈的金属漆包线的电阻率ρ→∞，制造铁心的铁磁性材料的导磁率μ→∞。

在工程实际中，永远不可能满足以上三个条件。可以说，实际中使用的变压器都不是理想变压器。但是在实际制造变压器时，可以通过合理选材和改进制造工艺，尽可能地接近或近似满足上述条件。

在理论上，完全满足上述3个理想条件的耦合电感将发生由量变到质变的飞跃，这是与耦合电感有着本质区别的另一种新的多端电路元件，即理想变压器。下面讨论理想变压器的三个基本特性。7.3.2理想变压器的基本特性

下面以图7.3-1来分析理想变压器的基本特性。图中,用L1、L2表示初、次级线圈及其相应的自感系数。线圈L1有N1匝，L2有N2匝。容易判定1、3端是同名端。设i1、i2分别从同名端流入(属磁通相助情况)，再设初、次级电压u1、u2与各自线圈上电流i1、i2的参考方向关联。在忽略漏磁通(线圈上电流i1、i2产生的磁通通过空气形成磁路)的情况下，令Φ11、Φ22分别为穿越线圈L1和线圈L2的自磁通,Φ21为初级电流i1在次级线圈L2中激励的互磁通,Φ12为次级电流i2在初级线圈L1中激励的互磁通。由图7.3-1可以看出,与线圈L1、L2交链的磁链Ψ1、Ψ2分别为

图7.3-1变压器原理示意图

考虑全耦合(k=1)的理想条件，则有

Φ12=Φ22,Φ21=Φ11

(7.3-1)

因而式(7.3-1)可写为

式中，Φ=Φ11+Φ22称为主磁通，它既穿越初级线圈，也穿越次级线圈。显然，若初、次级电流从异名端流入，则主磁通将变为Φ=Φ11－Φ22或Φ=Φ22－Φ11。(7.3-2)

1.变压特性

主磁通依次通过初、次级线圈分别产生感应电压

将上式两行相比，得出

其中,n称为变压器的变比(即初、次级线圈的匝数之比)。(7.3-3)(7.3-4)

由于在初、次级线圈中，由主磁通产生的感应电压在同名端处的极性总是相同，因此当u1、u2参考方向的“+”极性端设在同名端时，u1、u2同号，其u1与u2之比等于N1与N2之比。

如果u1、u2参考方向的“+”极性端设在异名端，则u1、u2异号，其u1与u2之比等于负的N1与N2之比，即

(7.3-5)

式(7.3-4)和式(7.3-5)称为理想变压器的变压关系式。若u1、u2的有效值为U1、U2，则

图7.3-2示出了由于电压参考方向的不同设定,而获得的变压器变比的两种不同表达。(7.3-6)图7.3-2变压器变比的两种设定提示：在进行变压关系计算时选用式(7.3-4)还是式(7.3-5)取决于电压参考方向的极性与同名端的位置，与初、次级电流参考方向如何设定无关。

2.变流特性

下面从耦合电感的电压-电流关系出发，代入理想条件，推出理想变压器的变流关系式。由图7.3-3所示的耦合电感模型，写得初级电压:

(7.3-7)图7.3-3耦合电感模型

对式(7.3-7)两端作0~t的积分，并设i1(0)=0，i2(0)=0，得

参照图7.3-1，结合M、L1的定义，并考虑k=1的条件，有

(7.3-8)

(7.3-9)将式(7.3-9)代入式(7.3-8)，并考虑到理想条件L1=∞，于是得

即

(7.3-10)

(7.3-11)式(7.3-11)表明，当初、次级电流i1、i2分别从同名端同时流入(或同时流出)时，i1与i2之比等于负的N2与N1之比。

可以得出，若i1、i2的参考方向从变压器的异名端流入，则其i1与i2之比为

式(7.3-11)和式(7.3-12)称为理想变压器的变流关系式。

图7.3-4给出了初、次级电流参考方向的两种不同假定。(7.3-12)图7.3-4电流参考方向的两种假定综上所述，可以得到理想变压器的电路模型如图7.3-5(a)、(b)所示。

设初、次级线圈的电压、电流为关联参考方向，则同名端如图7.3-5(a)所示的理想变压器，有

(7.3-13)图7.3-5理想变压器的电路模型

对于同名端如图7.3-5(b)所示的理想变压器，有

式(7.3-13)和式(7.3-14)称为理想变压器的伏安关系或伏安方程。这两组方程表明，理想变压器是瞬时元件。(7.3-14)对于图7.3-5(a)所示的理想变压器模型，可得理想变压器的瞬时吸收功率为

式(7.3-15)表明，理想变压器既不消耗能量，也不储存能量，它是一个无记忆的能量传输元件。这一点与耦合电感有着本质的不同。参数L1、L2和M为有限值的耦合电感是具有记忆功能的储能元件。(7.3-15)

3.变阻抗特性

如图7.3-6所示的理想变压器，次级接负载阻抗ZL。理想变压器在正弦稳态条件下，其伏安关系的相量形式同样符合式(7.3-13)和式(7.3-14)。对于图7.3-6所示的电路，其伏安关系为

(7.3-16)将上式中两行相比，可得从初级端口看进去的输入阻抗为

由图7.3-6可以看出,负载ZL上的电压、电流参考方向为非关联，则有，代入上式可得(7.3-17)式(7.3-17)称为理想变压器的阻抗变换关系。其含义是对于输入回路电源而言，理想变压器和负载可合并为一个新的负载，即图7.3-6可等效为图7.3-7。

由式(7.3-17)可以得出两种特殊情况下理想变压器的输入阻抗。若ZL=0，则Zin=0；若ZL=∞，则Zim=∞。也就是理想变压器次级短路相当于初级亦短路,次级开路相当于初级亦开路。然而，在实际应用中，变压器次级短路现象是不允许的，因为次级短路往往使初级电流很大，线圈过热，会导致烧毁变压器的严重后果。图7.3-6接有负载的理想变压器图7.3-7接有负载的理想变压器等效电路

【例7.3-1】含理想变压器的电路如图7.3-8所示，已知正弦稳态电路中，理想变压器的变比n=10，R1=R2=10Ω，试求电流、和负载RL消耗的有功功率PL。

图7.3-8例7.3-1图

【解】应用理想变压器的特性求解。

先求变压器初级端口的输入电阻：

Rin=n2RL=102×10=1000Ω

画出初级等效电路如图(b)所示，列出回路方程为

即

得

因次级回路RL消耗的有功功率等于初级等效回路中Rin消耗的有功功率，即

根据理想变压器的变流特性，得

7.4实际变压器

理想变压器虽然提供了电压、电流、阻抗的线性变换关系，但实际制造变压器设备时，不可能完全满足3个理想条件，因此实际变压器都是非理想变压器，或者说实际变压器的性能与理想变压器相比是有差异的。本节着重讨论如何利用理想变压器元件建立在不同条件下使用的实际变压器的模型，进而为分析实际变压器的性能提供依据。7.4.1全耦合变压器

如果把两个线圈绕在高导磁率铁磁性材料制成的心子上，则可使两线圈的耦合系数k≈1，同时在工作频率不很高时，两线圈的损耗可忽略。在理想情况下，这种全耦合、无损耗的耦合线圈称为全耦合变压器。与理想变压器的3个理想条件比较，全耦合变压器只满足2个理想条件，而参数无穷大的条件不满足。这是在理想变压器的基础上降低了一个条件，很明显全耦合变压器比理想变压器更接近变压器的实际情况。全耦合的互感线圈如图7.4-1所示。根据图中设定的同名端位置及所设电压、电流参考方向并考虑全耦合时的条件，写出端口伏安关系为

(7.4-1)图7.4-1全耦合的互感线圈将上式中两行相比，可得

因为耦合系数k=1，所以有Φ12=Φ22，而

可得出

(7.4-2)(7.4-3)将式(7.4-3)代入式(7.4-2)，可得

式(7.4-4)表明，全耦合变压器与理想变压器具有相同的变压关系。

对式(7.4-1)中的u1方程两端作0~t的积分，并令i1(0)=0，i2(0)=0，得

(7.4-4)

将式(7.4-3)代入上式，得

(7.4-5)其中:

式(7.4-5)表明，全耦合变压器初级电流i1(t)由两部分组成:其中一部分i1m(t)称为励磁电流，它是次级开路时，电感L1上的电流；另一部分i1f(t)是次级电流i2(t)在初级的反映，它与i2(t)之间满足理想变压器的变流关系。i1m(t)的存在使全耦合变压器具有记忆性。(7.4-6)(7.4-7)

图7.4-2全耦合变压器的电路模型式(7.4-4)~式(7.4-7)描述了全耦合变压器的端口伏安关系，据此可得到全耦合变压器的电路模型，如图7.4-2所示，图中虚线框部分为理想变压器模型。全耦合变压器模型由理想变压器元件在其初级并联电感L1

构成，通常L1

称为励磁电感。7.4.2空心变压器

在高频、甚高频电路中经常使用另一类变压器，其耦合线圈绕在非铁磁性材料制成的心上，有的就以空气为心，故称为空心变压器。这类变压器仍设定没有损耗，但两线圈间的耦合不再紧密，不能认为k接近于1,参数也为有限值。因此，对空心变压器而言，理想变压器中全耦合、参数无穷大这两个条件都不满足。图7.4-3是空心变压器的原理示意图。设电流i1

在初级线圈产生的磁通为Φ11,其中主要部分与次级线圈相交链，称为主磁通，用Φ21表示，而Φ11中不与次级线圈相交链的部分记为Φσ1,称为漏磁通，这样Φ11=Φ21+Φσ1。由自感系数定义，可知

图7.4-3空心变压器的原理示意图由于，因此有

式中，Lσ1是自感中与漏磁通相对应的一部分，称为初级线圈的漏电感。同理，对于次级线圈，也有

其中，Lσ2是次级线圈的漏电感。(7.4-8)

(7.4-9)本来空心变压器两线圈之间不是全耦合的，但就两线圈的主磁通而言，则是全耦合的。式(7.4-8)中的LM1和式(7.4-9)中的LM2反映了这部分磁通的作用，故称为等效全耦合电感。因此，一个如图7.4-4(a)所示的空心变压器(k＜1)可以等效为由LM1、LM2组成的全耦合变压器(k=1)与初、次级回路各自串联漏电感的电路，如图7.4-4(b)所示，进一步将全耦合变压器等效为由励磁电感和变比为n