《电路分析基础》课件3第5章

5.1线性性质

5.2叠加定理5.3戴维南定理5.4诺顿定理

*5.5戴维南和诺顿定理的证明5.6最大功率传输定理

*5.7特勒根定理

*5.8互易定理*5.9对偶原理*5.10计算机仿真本章小结思考题习题5

线性性质是线性电路的最基本的属性，它包括齐次性和可加性。

如果输入(也称激励)乘以常数，则输出(也称响应)也乘以相同的常数，这就是线性电路的齐次性。有的书上也称为齐性原理。以一个电阻元件为例，欧姆定律中的电流i为激励，

电压u为响应，即

u=Ri

(5-1)5.1线性性质

如果电流乘以常数k，则电压也要乘以常数k，有

ku=kRi(5-2)

可加性表示多个激励之和的响应等于单个激励的响应之和。仍以电阻为例，当激励为i1或i2时，其响应分别是

u1=Ri1

(5-3)

u2=Ri2

(5-4)

当激励为i1+i2时，有

u=R(i1+i2)=Ri1+Ri2=u1+u2(5-5)

所以，这个电阻元件是线性元件，它既满足齐次性又满足可加性。

一般来说，同时满足齐次性和可加性的电路是一个线性电路。线性电路由线性元件、独立源和受控源构成。因此，线性电路的响应与激励成线性关系，即激励扩大k倍，则响应也扩大k倍。图5-1线性电路的性质为了说明线性电路的原理，考虑图5-1所示电路。线性电路内含有除独立源之外的其他线性元件和受控源。电压源US

为激励，电流I为响应。设US=10V时，I=2A。

根据线性性质，当US=1V时，I=0.2A。

反过来也一样，如果I=1mA，必定有US=5mV。

也就是说，若线性电路结构和参数确定后，响应和激励的关系是一个常数，即比值I/US=H，H为常数。

【例5-1】

电路如图5-2所示，已知US=11V，I＝52mA，试求：当US=6V时，I

＝?

解应用齐次性原理，US与I成线性比例关系，即有

所以，当US=6V时，电流为

图5-2例5-1的电路图5-3例5-2的电路

【例5-2】

电路如图5-3所示，当US=12V和US=24V时，求I0。

解用网孔分析法列网孔方程，有

可解得

当US=12V时，根据线性性质有

当US=24V时，根据线性性质有

【例5-3】

计算如图5-4所示梯形网络的各支路电流。

解用倒推法，先设最右边0.5Ω上的电压U1=1V，则

图5-4例5-3的电路

但US现为45V，提高了３倍。故各电流、电压均乘系数３，得

I1=6A，I2=3A，I3=9A，I4=6A，I5=15A

值得注意的是：网络中只有一个独立源时才能用齐次性原理，激励必须是独立源，而响应可以是电路中的电流或电压。如果电路中有两个或多个独立电源，可以采用第4章学过的网孔分析法和节点分析法，也可以采用使每一个独立电源单独作用响应，然后叠加起来。后者就是叠加定理。

叠加的概念建立在线性电路的线性性质基础之上。叠加定理可表述为：

在线性电路中，任意电压或电流都是电路中各个独立电源单独作用时该处产生的电压或电流的叠加。5.2叠加定理在应用叠加定理时，每个独立电源单独作用，是指将其他的独立源“置零”以观察单个独立源以及它产生的响应。如果令一个电压源为0V，实际上就是将其短路，如图5-5(a)所示。如果令一个电流源为0A，实际上就是将其开路，如图5-5(b)所示。图5-5独立源置零的等效电路如果存在N个独立源，N个独立源单独作用，就有N个要解的子电路。显然，每个子电路都比原电路简单，其中只有一个独立源，其他的独立源都不起作用，即令其为零。注意，受控源在每次独立源单独作用时都要保留。由于每个分电路只有一个独立源，因此，它产生的响应分量与独立源成线性关系。这样就有

y=α1US1+α2US2+…+β1IS1+β2IS2+…(5-6)其中，y表示电路的响应；αi、βi是常数；USi、ISi是独立电压源和电流源。

综上所述，可以归纳出叠加定理的计算方法。

•

网络中存在多个独立源，可应用叠加定理。单独作用时可单个或分组进行，而每一个子电路都比原电路简单

•

当网络中含有受控源时，受控源如同电阻一样看待，即每次独立源单独作用时，受控源都保留。

•

叠加定理除了用来计算电路外，还可用来证明其他定理，或分析一些参数不明的电路。其响应是各独立源的线性组合的概念特别重要。叠加定理只能用于计算电压或电流。功率一般不满足叠加性。因为功率与电压或电流之间不是线性关系，所以电路中所有独立电源同时作用时，对某元件提供的功率并不等于每个独立源单独作用时对该元件提供的功率的叠加。例如，对一个电阻元件，电流i为激励，当激励为i1或i2时，其功率分别是

(5-7)或

(5-8)

当激励为i1+i2时，则有

(5-9)

因此，计算功率时，可先用叠加定理求出总电流或总电压，然后再由总电流或总电压来计算功率。

【例5-4】

用叠加定理求解如图5-6(a)所示电路中的电压U0。

解电路中有三个独立电源，令电流源IS1单独作用，将电流源IS2开路、电压源US短路，子电路如图5-6(b)所示。用分流公式可求出由它产生的电压分量为

图5-6例5-4的电路令电流源IS2单独作用，将电流源IS1开路、电压源US短路，子电路如图5-6(c)所示。用分流公式可求出由它产生的电压分量为

令电压源US单独作用，将电流源IS1开路、电流源IS2

开路，子电路如图5-6(d)所示。用分压公式可求出由它产生的电压分量为

将各分量叠加起来，所求电压为

【例5-5】

电路如图5-7(a)所示，当开关S接通a点时，已知各电流为I1=I2=10A，I3=20A，求当开关S接通b点时各支路电流的值。图5-7例5-5的电路

解应用叠加定理，开关指向ｂ时电路如图5-7(b)所示。三个独立电源分成两组。

当电压源E1和E2作用电路时，子电路如图5-7(c)所示。相当于原电路开关接通a点的电路，

故各电流分量是已知的，即I1′=I2′=10A，I3′=20A。当30V电压源单独作用时，子电路如图5-7(d)所示。用串并联的方法可解得

由叠加定理，各支路电流为

I1=10-3.75=6.25A，I2=10+7.5=17.5A，I3=20+3.75=23.75A

【例5-6】应用叠加定理求图5-8(a)所示电路中的电压U。图5-8例5-6的电路

解电路中有两个独立源，令两个独立源分别作用，其子电路如图5-8(b)、图5-8(c)所示。

对图5-8(b)，单回路，应用KVL，有

I-12+3I+2I=0

解得I=2A，所以，12V电压源产生的电压分量为

U′=3I=6V对图5-8(c)，用网孔电流法，列网孔方程为

I+3(I+6)+2I=0

解得I=-3A，所以，6A电流源产生的电压分量为

U″=3(I+6)=9V

电路中的电压U是两个分量的叠加：

U=U′+U″=6+9=15V图5-9例5-7的电路

【例5-7】

电路如图5-9所示，当开关S在位置1时，毫安表的读数为40mA；当开关S在位置2时，毫安表的读数为-60mA；求当开关S在位置3时毫安表的读数。已知电路的电压源US2=4V，US3=6V。

解根据题意，开关在不同的位置，相当于接入不同的电源，即电流表的读数由US1和Ux共同产生。其中用Ux表示开关S在不同位置时的电压源。应用叠加定理，有

I=K1US1+K2Ux当开关S在位置1时，Ux=0，即有

I1=K1US1=40

当开关S在位置2时，Ux=4V，即有

I1=K1US1+4K2=-60

可解得

当开关S在位置3时，Ux=-6V，即有

I=K1US1+K2(-6)=40+(-25)(-6)=190mA通过以上实例可知，应用叠加定理分析一个含有多个独立电源的复杂电路时，如果一次考虑一个独立电源的影响，则需要求解的方程个数少、计算简单，从而可以简化分析。但是对有些电路的计算应用叠加定理时，往往使分析变得复杂，如含有受控源的电路就是如此。当电路中的独立源是根本不同的，如有直流电源又有交流电源，就必须用叠加定理来求解。叠加定理是线性电路中重要的分析思想和方法，其概念应用得十分广泛。

另外，叠加定理可以分析单个独立电源对电路的影响。这在复杂电路的分析与设计中，允许技术人员分别只考虑几种简单的电路。

【例5-8】

电路如图5-10(a)所示，电压源电压恒定不变，电流源电流IS可以调节。当调节到IS=0时，测得I=1A，现将IS调到2A，求电流I为多少？图5-10例5-8的电路

解根据题意，当调节到IS=0时，测得I=1A，相当于US1和US2作用时电路的响应分量I′=1A。现将IS调到2A，这时要求三个电源共同作用时的响应。根据叠加定理，只要求出电流源单独作用的响应分量即可，其电路如图5-10(b)所示。用分流公式

所以，电流I为

自测题5-1

电路如图5-11所示，由叠加定理可求得电流I＝

。

(Ａ)-0.5Ａ(Ｂ)

(Ｃ)

(Ｄ)1.5Ａ

自测题5-2

应用叠加定理，求出图5-12所示

电路当U1=0时的电压源US的值为

。

(Ａ)4V

(Ｂ)-4V

(Ｃ)8V

(Ｄ)10V

自测题5-3

电路如图5-13所示，当IS=12Ａ时，

I＝21Ａ，若将理想电流源IS除去后，这时I＝

Ａ。图5-11自测题5-1的电路图5-12自测题5-2的电路图5-13自测题5-3的电路在电路分析中，如果只需要求解复杂电路中某支路的电压、电流或功率(也称负载)，可以采用第4章学过的网孔分析或节点分析，也可以用第3章学过的电源变换的方法来化简电路。

如果电路中某个电路元件(负载)是变化的，对每一个变化的电路元件都要计算一次，计算量较大。解决这类问题应用戴维南定理最适合。5.3戴维南定理戴维南定理可以用一个等效电路来代替除负载以外的电路。因此，它是电路分析非常有用的方法。

根据戴维南定理，如图5-14(a)所示的线性含源二端网络，可以用图5-14(b)所示的虚线部分的等效电路来代替。这个等效电路称为戴维南等效电路。图5-14戴维南定理戴维南定理：线性含源二端网络可以用一个电压源UTh与一个电阻RTh串联的等效电路替换。其中，UTh是端口的开路电压UOC，RTh是令独立源为零后端口的等效电阻R0。图5-15求开路电压和等效电阻戴维南等效电路只由两个元件组成，电压源UTh可以用如图5-15(a)所示的开路电压UOC求得，即将负载断开后，a、b两端的开路电压，所以

UTh=UOC

(5-10)戴维南等效电路中的电阻RTh，可以用如图5-15(b)所示的R0求得，即将负载除去后并令二端网络中的独立电源为零，a、b两端的等效电阻，所以

RTh=R0

(5-11)

计算开路电压UOC，可以应用已经学过的网孔分析、节点分析以及分压、分流公式等。计算等效电阻R0，可以用以下三种方法：

(1)如果二端网络不含受控源，则二端网络中的独立电源为零后，二端网络内全部都为电阻。

因此，等效电阻R0可以用串-并联、Y-△变换的方法。

(2)如果二端网络含有受控源，则可采用第2章学过的伏安关系法。如图5-16(a)所示，即在端口a、b加电压源U0，可求出电流I0与U0的关系，因此

(5-12)图5-16求等效电阻的方法

(3)对一般含源二端网络，求出开路电压UOC后，再按图5-16(b)所示的方法求短路电流ISC，等效电阻为

(5-13)

综上所述，可以归纳出应用戴维南定理的计算方法。戴维南定理分析电路的步骤：

(1)考虑所要求的负载RL或部分电路，并将其除去。

(2)求二端网络的开路电压UOC，可应用所学过的方法计算，即有UTh=UOC。

(3)求二端网络的等效电阻R0，用上述三种方法之一均可，RTh=R0。

(4)用电压源UOC与电阻R0串联构成戴维南等效电路，并重新接上负载。

(5)求出负载上的电压或电流。

【例5-9】电路如图5-17(a)所示，求a、b端的戴维南等效电路，当负载电阻RL=6Ω，16Ω，36Ω时，负载中的电流IL。图5-17例5-9的电路

解首先求等效电阻，将a、b端负载除去后，令电压源短路、电流源开路，电路如图5-17(b)所示。于是

然后求开路电压，电路如图5-17(c)所示，用叠加定理可求得

求出的戴维南等效电路如图5-17(d)所示，负载中的电流为

当RL=6Ω时，

当RL=16Ω时，

当RL=36Ω时，

【例5-10】

电路如图5-18(a)所示，求a、b端的戴维南等效电路。

解首先求等效电阻R0，将a、b端负载除去后，令电压源短路、电流源开路，电路如图5-18(b)所示。于是

图5-18例5-10的电路然后求开路电压，电路如图5-18(c)所示，用分压公式和KVL可求得

求出的戴维南等效电路如图5-18(d)所示。

【例5-11】

电路如图5-19(a)所示，应用戴维南定理求电路中的电流I。

解首先求等效电阻，将a、b端1Ω负载除去后，令电压源短路、电流源开路，电路如图5-19(b)所示。于是

R0=Rab=4Ω

然后求开路电压，电路如图5-19(c)，应用KVL可求得

UOC=4×10-10=30V

求出的戴维南等效电路如图5-19(d)所示，1Ω中的电流为

图5-19例5-11的电路

【例5-12】

电路如图5-20(a)所示，应用戴维南定理求电路中流过二极管的电流I。

解首先求开路电压，将a、b端二极管负载除去后，电路如图5-20(b)所示。可用弥尔曼定理求得a点和b点的电位，于是

所以，开路电压为

UOC=Ua-Ub=60+30=90V

然后求等效电阻，令电压源短路、电流源开路，电路如图5-20(c)所示，用串-并联的方法可求得

R0=Rab=20∥20+30∥60=30kΩ图5-20例5-12的电路

由于二极管加正向电压，故二极管导通。根据戴维南定理，二极管中的电流为

此题说明，

戴维南定理可以对线性二端电路进行化简，但并没有对负载或未变换的部分电路进行限制，即负载可以是线性的，也可以是非线性的。

【例5-13】

电路如图5-21(a)所示，求8Ω电阻中的电流I。

解用戴维南定理求解，除去8Ω电阻。

(1)先求开路电压UOC。电路如图5-21(b)所示，由KCL可知

Ix+2Ix=3

所以，Ix=1A，再由KVL可知

UOC=2Ix×4-Ix×2=6V图5-21例5-13的电路

(2)求等效电阻R0。含有受控源，可用两种方法求解。

方法一：开路短路法，用图5-21(c)所示电路求短路电流ISC。由于2Ω与4Ω并联，用分流公式可得

由对b点应用KCL，得

I1+ISC=2Ix

ISC=2Ix-I1=4-1=3A

所以，等效电阻为

方法二：伏安关系法，将电流源开路并在a、b端加电压源U0，如图5-21(d)所示，

2Ω与4Ω串联，应用KCL

I0=Ix+2Ix=3Ix

而，因此，上式变为

图5-22戴维南定理等效电路故等效电阻为

(3)求得原电路的戴维南等效电路如图5-22所示，所以，8Ω电阻中的电流为

【例5-14】

电路如图5-23所示，网络N含有电压源、电流源和线性电阻，试根据图(a)、(b)中的电压、电流数据确定图(c)的电压U。图5-23例5-14的电路

解三个网络都有相同的不变的部分，如图中阴影部分所示。显然应用戴维南定理，它可以用电压源UOC和等效电阻R0串联电路来代替。由图5-23(a)可得方程

UOC+R0×1=10图5-24戴维南定理等效电路由图5-23(b)可得方程

两方程联立，可解得UOC=8.8V，R0=1.2Ω。

图5-23(c)的戴维南等效电路如图5-24所示。

所以，电路中的电压用弥尔曼定理计算为

自测题5-4

在利用戴维南定理把图5-25(a)所示电路简化为图5-25(b)电路时，满足的条件是

。

(Ａ)N为线性的纯电阻性的二端网络，NL为无源线性网络。

(Ｂ)N为线性纯电阻的有源二端网络，NL不必是线性的或纯电阻性的。

(Ｃ)N和NL都是线性的纯电阻性二端网络。图5-25自测题5-4的电路

自测题5-5

若实际电源的开路电压为24V，短路电流为30A，则它外接1.2Ω电阻时的电流为

A。

(Ａ)20(Ｂ)12(Ｃ)0(Ｄ)14.4

自测题5-6

在图5-26所示电路中，当在A、B两点之间接入一个10Ω的电阻时，16V电压源输出功率将

。(Ａ)增大(Ｂ)减少(Ｃ)不变(Ｄ)不定图5-26自测题5-6的电路

自测题5-7

若图5-27(a)含源二端网络Ｎ的伏安特性如图5-27(c)所示，则从A、B端向左看去的戴维南等效电路图5-27(b)中，UOC和R0是

。

(A)-4V，2Ω

(B)4V，2Ω

(C)-4V，0.5Ω

(D)4V，0.5Ω图5-27自测题5-7的电路在第3章中已知一个电压源模型可以等效变换为电流源模型。戴维南定理实际上就是用电压源模型等效代替原网络。因此可以推论，任何线性含源二端网络，也可以用电流源模型等效代换，如图5-28所示，这就是诺顿定理。

根据诺顿定理，如图5-28(a)所示的线性含源二端网络，可以用图5-28(b)所示的虚线部分的等效电路来代替。这个等效电路称为诺顿等效电路。5.4诺顿定理诺顿定理：线性含源二端网络可以用一个电流源IN与一个电阻RN并联的等效电路替换。其中，IN是端口的短路电流ISC，RN是令独立源为零后端口的等效电阻R0。图5-28诺顿定理诺顿等效电路也由两个元件组成，诺顿等效电路与戴维南等效电路中的电阻相同，即

RN=RTh=R0

(5-14)

电流源IN可以用图5-28(c)所示的短路电流ISC求得，即将负载短路后，a、b两端的短路电流，所以

IN=ISC

(5-15)也可以用电源变换的方法求得

(5-16)

所以，一般来说求得了戴维南等效电路，也就获得了诺顿等效电路。常把电源等效变换称为戴维南-诺顿变换。

【例5-15】

求图5-29(a)所示电路的诺顿等效电路。

解先求等效电阻R0：用求戴维南等效电路的等效电阻的方法一样，将独立源置零后的电路如图5-29(b)所示。计算可得

R0=5∥(8+4+8)

=5∥20=4Ω图5-29例5-15的电路

再求短路电流ISC：如图5-29(c)所示，可用叠加定理求得

诺顿等效电路如图5-29(d)所示。考虑图5-30(a)所示电路，设线性网络含有电阻、独立电源和受控电源。在网络的a、b端加激励电流源I，则a、b端的电压U是电路的响应。它的戴维南等效电路如图5-30(b)所示。

为了简单起见，设图5-30(a)的电路中含有两个电压源US1、US2和两个电流源IS1、IS2。根据叠加定理，电路的响应U可表示为

U=A0I+A1US1+A2US2+A3IS1+A4IS2(5-17)*5.5戴维南和诺顿定理的证明图5-30戴维南定理的证明其中，A0~A4均为常数，响应U的每个分量都是每个独立电源单独作用的结果。将独立电源分为两组，二端网络内部的独立电源作用时的响应为B0，外部电流源I作用的响应为A0I。

式(5-17)可写为

U=A0I+B0

(5-18)其中，B0=A1US1+A2US2+A3IS1+A4IS2，令网络a、b端开路，即I=0，则U=B0。因此，B0就是开路电压UOC，也就是戴维南等效电路的电压源的电压UTh，即

B0=UTh

(5-19)令二端网络内部的独立电源为零，即B0=0，则网络可以用等效电阻Req来代换，Req=RTh,式(5-18)变为

U=A0I=RThI(5-20)所以，式(5-18)变为

U=RThI+UTh(5-21)式(5-21)正是图5-30(b)所示电路a、b端的伏安关系式。因此，图5-30(a)和图5-30(b)两电路是等效的。同样的电路用电压源U激励，电流I为响应，如图5-31(a)所示。用叠加定理可得

I=C0U+D0

(5-22)

其中，C0U是电压源U单独作用的结果，而D0是二端网络内部独立源作用的结果。当a、b端短路，即U=0，则I=D0=-ISC。显然ISC是短路电流，也就是诺顿电流IN，即

D0=-IN

(5-23)令二端网络内部的独立电源为零，即D0=0，则网络可以用等效电阻Req来代换，因有Req=RTh=RN，式(5-22)变为

(5-24)

式(5-24)正是图5-31(b)所示电路a、b端的伏安关系式。因此，图5-31(a)和图5-31(b)两电路是等效的。图5-31诺顿定理的证明从电源将功率传输到负载需要研究的基本问题有两个。一是强调功率传输的效率，电力供电系统就是最好的例子。电能从发电厂产生、经传输送到每个用户，如果功率传输的效率低，则产生的功率有很大部分消耗在传输中，形成能源的浪费。二是强调功率传输时负载是否获得最大功率。通信和仪器系统最能说明问题。因为要传送的电信号是微弱信号，应尽量使负载或接收器获得较多的功率。下面就讨论最大功率传输问题。5.6最大功率传输定理一般接有负载的线性含源二端网络如图5-32(a)所示，总可以用戴维南等效电路(如图5-32(b)所示)或诺顿等效电路(如图5-32(c)所示)替换。最大功率传输问题可表达为当负载RL为何值时，它得到的功率为最大。若用戴维南等效电路，RL的功率可表示为

(5-25)图5-32戴维南和诺顿等效电路要使P为最大，应使dP/dRL=0，由此可解得P为最大时的RL值。即

(5-26)由此可得

RL=RTh

(5-27)

此时，负载获得的最大功率为

(5-28)

若用诺顿等效电路，同样有RL=RTh=RN=R0，则

(5-29)

所以，最大功率传输定理可表述为

由线性含源二端网络传输到负载的功率为最大的条件是：负载RL与戴维南(或诺顿)等效电阻相等。负载的最大功率由式(5-28)或式(5-29)确定。图5-33例5-16的电路

【例5-16】

电路如图5-33所示。

(1)求RL获得最大功率时的值；

(2)求RL获得的最大功率；

(3)当RL获得最大功率时，求360V电源产生功率的百分之多少给RL？

解先求戴维南等效电路，开路电压为

等效电阻为

(1)根据最大功率传输定理，当RL=R0=25Ω时，RL获得最大功率。

(2)RL获得的最大功率为

(3)当RL=25Ω时，其两端电压为开路电压UOC的一半，即150V。于是，电压源中的电流为

360V电压源的功率为

PS=-360×7=-2520W(产生功率)

负载获得功率的百分比为

【例5-17】

在图5-34(a)所示电路中，负载RL为何值时它能获得最大功率？最大功率是多少？

解首先求戴维南等效电阻，用伏安关系法求解，电路如图5-34(b)所示。由于I0=-I，因此，

图5-34例5-17的电路再求开路电压UOC，电路如图5-34(c)所示。由于，因此

UOC=100×0.9I=-45V

戴维南等效电路如图5-34(d)所示。当RL=R0=10Ω时，负载能获得最大功率，最大功率为

【例5-18】

在如图5-35(a)所示电路中，电阻R可调，当R=1Ω时，最大功率Pmax=36Ｗ，求受控源的控制系数β和电流源IS。图5-35例5-18的电路

解先将R移去，求戴维南等效电阻。如图5-35(b)所示，用伏安关系法可得

U=2I+1(I-βI)=(3-β)I

于是，等效电阻为

根据最大功率传输定理，R=R0=3-β=1Ω，所以，β=2。求开路电压用图5-35(c)所示电路，由于开路，I=0，故受控电流源βI=0，可得

UOC=9+3IS

已知最大功率为36W，由公式

解得

UOC=12V

故有

12=9+3IS

电流源电流为

自测题5-8如图5-36(a)所示电路的诺顿等效电路如图5-36(b)所示，其中诺顿电流源IN=

，诺顿等效电阻RN=

。图5-36自测题5-8电路

自测题5-9

电路如图5-37所示，当RL=

Ω时，RL上能获得最大功率，且最大功率Pmax=

W。

自测题5-10

电路如图5-38所示，电阻RL上获得最大功率的条件是RL=

Ω，最大功率Pmax＝

W。图5-37自测题5-9电路图5-38自测题5-10电路特勒根定理有两种形式。

特勒根定理１：(功率定理)对于一个具有n个节点和b条支路的电路，假设各支路电流和电压取关联参考方向，则对任何时间t，有

(5-30)*5.7特勒根定理图5-39特勒根定理1的证明这实际上是功率守恒。以图5-39所示电路的图为例，证明如下。

支路电压与节点电压的关系为

u1=un1-un3，u2=un1-un2，u3=un2-un3，

u4=un1，u5=un2，u6=un3

三个独立节点的KCL方程为

i1+i2+i4=0，-i2+i3+i5=0，-i1-i3+i6=0

所以

将上例推广到有n个节点、b条支路的电路，就得到式(5-30)。

特勒根定理２：(拟功率定理)如果有两个具有n个节点和b条支路的电路，它们由不同的二端元件所组成，但它们的图(拓扑结构)完全相同。

假设各支路电流和电压取关联参考方向，则对任何时间t，有

(5-31)

(5-32)

以图5-39和图5-40为例，两个电路有相同的图而各支路有不同的元件，证明如下：同理可证明图5-40特勒根定理2的证明从上述证明过程可知，只应用了基尔霍夫定律，并没有说明构成电路的元件性质。因此，对于任何集总参数网络，不管它包含什么样的元件，线性的或非线性的，无源的或有源的，时变的或非时变的，这个定理均适用。

•

定理1实际上是功率守恒的数学表达式，表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和恒等于零。

•

定理2不能用功率守恒解释，由于它仍具有功率之和的形式，故称为“拟功率定理”。

•

定理2同样对支路内容没有任何限制，只要两网络的图相同。

•

应用特勒根定理时，支路的电压、电流要取关联参考方向。

拟功率定理的另一种形式：

特勒根定理2即拟功率定理，在网络分析中十分有用。为了适应大部分网络分析问题，可以推导出拟功率定理的一种变形公式。对于有两个端口的网络如图5-41所示。其中，在图5-41(a)中的网络N与在图5-41(b)中的网络是完全相同的，每条支路均是由线性电阻元件组成的。图5-41特勒根定理2的另一种形式设整个网络有b条支路，除两个端口支路外，网络N或

中应有b-2条支路。应用特勒根定理2有

(5-34)其中，N网络的每条支路是电阻，第k条支路的电压为Uk=RkIk；网络中第k条支路

(5-33)(5-35)

由式(5-33)、式(5-34)可得

(5-36)

【例5-19】

如图5-42所示电路N仅由电阻组成，已知US1=10V时，I1=2A，I2=1A。当接入US2=5V时，求流经US1的电流。图5-42例5-19的电路

解根据特勒根定理2，有

其中，U1=US1=10V，U2=0，=US1=10V，=US2=5V，

故有

互易定理描述如下：

对一个仅含线性电阻的电路，在单一激励的情况下，当激励和响应互换位置时，将不改变同一激励所产生的响应。互易定理有三种形式。

互易定理的第一种形式：电压源US在图5-43(a)中产生响应I2，若将激励和响应调换位置，如图5-43(b)所示，则有I2=。*5.8互易定理图5-43互易定理的第一种形式用特勒根定理证明：

其中，U1=US，U2=0，=0，=US，代入上式得

互易定理的第二种形式：电流源IS在图5-44(a)中产生响应U2，若将激励和响应调换位置，如图5-44(b)所示，则有U2=。图5-44互易定理的第二种形式同理可用特勒根定理证明。

互易定理的第三种形式：电流源IS在图5-45(a)中产生响应I2，若将激励和响应调换位置，如图5-45(b)所示。设IS=US，则有I2=。

其中，IS和I2以及US和分别取相同的单位。图5-45互易定理的第三种形式同理可用特勒根定理证明。

应用互易定理应注意：

•

互易前后应保持网络的拓扑结构及参数不变，仅理想电源搬移。

•

互易前后，网络两端口支路的电压和电流的参考方向应保持一致，即要关联都关联，要非关联都非关联。

•

互易定理只适用于一个独立源作用的线性网络。

•

由于互易定理可用特勒根定理证明，故可用互易定理求解的题目，一般也可用特勒根定理来求解。

【例5-20】

如图5-46所示的线性时不变电阻网络，在图5-46(a)所示情况下，US=100V，U2=20V，R1=10Ω，R2=5Ω。在图5-46(b)所示情况下，IS=5A，求电流I1。图5-46例5-20的电路

解方法一：用互易定理和齐次性原理求解，在图5-46(a)中R2的电流为

在图5-46(b)中电流源模型等效变换成电压源模型，电路变形如图5-47(b)所示。图5-47图5-46的变形电路在图5-46(a)中，100V是激励，4A是响应。根据互易定理，将激励与响应互换位置如图5-46(b)所示。若激励仍是100V，则响应I1应是4A。但激励是25V，是原来激励的1/4，根据齐次性原理，则响应I1也是原来的1/4，故有

I1=1A

方法二：用特勒根定理求解。由图5-47可知

100I1=4×25

故有

I1=1A

【例5-21】

线性时不变电阻网络有一对输入端和一对输出端，当输入电压为10V时，输入端电流为5Ａ，而输出端的短路电流为1Ａ。如果把电压源移到输出端，同时在输入端跨接2Ω电阻，求2Ω电阻上的电压。

解根据题意，可画出电路如图5-48所示。图5-48例5-21的电路方法一：用互易定理和诺顿定理求解，如果能求出图5-48(b)中负载2Ω的诺顿等效电路即可求得U。对图5-48(a)应用互易定理，就可求得图5-48(b)中将2Ω短路的短路电流。即

ISC=1A

等效电阻可以借助对图5-48(a)求出，因为将图5-48(b)中电压源短路从负载两端看出的等效电阻就是图5-48(a)，所以

图5-49诺顿等效电路于是，诺顿等效电路如图5-49所示，可求得

U=1V

方法二：用特勒根定理求解。

对图5-48(a)、5-48(b)，应用特勒根定理2，有

解得

U=1V

【例5-22】

求图5-50(a)所示电路中的电流I。

解方法一：用互易定理求解，将激励与响应互换位置如图5-50(b)所示。

从图中看出，(2∥2+3)∥4=2Ω，有

图5-50例5-22的电路

所以

I=I1-I2=1-0.25=0.75A

方法二：用节点法求解。设上面节点为参考节点，3Ω左边为U1，右边为U2。可列节点方程为

解得

U2=6V

故

方法三：用戴维南定理求解。开路电压

等效电阻为

R0=(2∥2+3)∥4=2Ω

故有

自测题5-11

若网络N和的支路数都是ｂ，则特勒根定理成立的条件是

。

(Ａ)Ｎ和的图必须完全相同，对应支路的元件和参数也必须完全相同；

(Ｂ)Ｎ和的图必须完全相同，且电流电压采用关联的参考方向；

(Ｃ)Ｎ和的图必须完全相同，支路内容可以不同，但必须是由线性元件组成。图5-51自测题5-12的电路

自测题5-12

在图5-51所示电路中，N为线性电阻网络，当IS=10A时，U为-2V。

若IS=20A，施加于端钮d、c(d端流入)，而把端钮a、b的电流源移去，则ab端的电压为U′=

V。在电路分析中，有一种特别有趣的现象，即电路中的对偶性质。在电路的两组关系式中，如果把电压U和电流

I、电阻R和电导G、电压源和电流源等互换，则两组关系式可以彼此转换。这些互换元素称为对偶元素。

如欧姆定律U=RI，只要将U换成I，R换成G，I换成U，就是欧姆定律的另一种形式：

I=GU。*5.9对偶原理同样，KCL：∑I=0，只要将I换成U，就是KVL：∑U=0。所以，电流I与电压U，电阻R与电导G等都是对偶元素。

由于电路中的对偶元素存在，就相应存在一些对偶公式。如串联电阻的等效电阻公式与并联电导的等效电导公式，即

分压公式与分流公式，即

在这些公式中只要其对偶元素互换，就会得出另一相对应的关系式。

表5-1列出了一些常见的电路中的对偶元素。表5-2列出了一些电路中常见的对偶公式。两个电路的电路方程通过对偶元素可以彼此转换，这两个电路就称为对偶电路，如图5-52所示。表5-1电路中的对偶元素表5-2电路中的对偶公式图5-52对偶电路对图5-52(a)列网孔方程为

(R1+R2)Im1-R2Im2=US1-R2Im1+(R2+R3)Im2=-US2

对图5-52(b)列节点方程为

(G1+G2)Un1-G2Un2=IS1-G2Un1+(G2+G3)Un2=-IS2

在电路的两组方程中，可见，网孔方程与节点方程为对偶方程，这两个电路称为对偶电路。

电路中某些元素之间的关系(或方程)用它们的对偶元素对应地置换后，所得的新关系(或方程)也一定成立，后者和前者互为对偶，这就是对偶原理。

根据对偶原理，如果导出了某一关系式和结论，就等于解决了和它对偶的另一关系式和结论。这对于掌握电路的规律，由此及彼，学一知二，起着事半功倍的效果。例如：在电路中应用最大功率传输定理时，首先要求得戴维南等效电路和诺顿等效电路，如图5-53所示，可见，这两个电路是对偶的。我们只要推导出图5-53(a)所示的戴维南等效电路中负载获得最大功率的条件：

RL=R0

此时负载获得的最大功率为

图5-53戴维南电路与诺顿电路的对偶根据对偶原理，图5-53(b)所示的诺顿等效电路中负载获得最大功率的条件，只要将R换成G即可

GL=G0

此时负载获得的最大功率也只要将开路电压UOC换成短路电流ISC，电阻R0换成G0即可

EWB是ElectronicsWorkBench(电子工作平台)的简称，是目前应用较广泛的一种电路仿真软件。下面将应用EWB验证叠加定理和戴维南定理。EWB的详细使用说明见附录和与本书配套的“电路分析实验教程”。*5.10计算机仿真5.10.1叠加定理的验证

以本章例5-6的电路为例，首先构建电路图如图5-54所示，并将所有元件的参数改成例5-6中的值，然后接上电压表。电路创建完成后，再接通右上角开关，电压表的读数为15V。与理论计算的结果一致。

应用叠加定理，先令电压源独立作用，即将电流源置零，如图5-55(a)所示。再接通右上角开关后，电压表的读数为6V。图5-54EWB构建例5-6的电路再令电流源独立作用，即将电压源置零，如图5-55(b)所示。然后接通右上角开关后，电压表的读数为9V。

将两次结果相加，3Ω两端电压为15V。从而，验证了叠加定理的正确性。图5-55验证叠加定理的电路5.10.2戴维南定理的验证

EBW除了用电压表、电流表、示波器和频谱仪等虚拟仪器测量电量外，还可以对电路进行多种分析。为了验证戴维南定理，选择“Analysis”中的“ParameterSweep”，即参数变化的分析。下面以本章例5-15电路为例，用EWB的这一功能得到戴维南等效电路。首先创建如图5-56所示电路，并在输出端接上电流源，用“I2”标识。由于EWB采用的是节点分析，因此要选择参考节点(接地点)。电路图创建完成后，单击“Analysis”中的“ParameterSweep”项，会弹出如图5-57(a)所示的对话框，要变化的的元件是“I2”，参数是电流Current”，变化范围是0A至2A，电流增加方式选线性“Linear”，间隔是0.1A，输出节点编号为8。图5-56验证戴维南定理的电路图5-57参数设置和输出的伏安特性设置完成后，单击如图5-57(a)所示的对话框右上角“Simalate”项开始仿真，就会显示如图5-57(b)所示的伏安关系曲线图。从这个图中，可以获得戴维南等效电路的两个参数。

当I2为零时，即开路电压。因此

UOC=4V

等效电阻就是伏安曲线的斜率，即

这与例5-15的理论计算完全一致。线性电路的线性性质即齐次性原理，表示网络中只有一个独立电源时，激励与响应成线性关系。若用x表示激励，用y表示响应，则有

y=Kx(K为常数)叠加定理是线性电路的属性，它表示线性电路的响应可以通过对独立电源单独作用的响应求和而得到。若用x表示激励，用y表示响应，则有

y=K1x1+K2x2+…(Ki为常数)本章小结戴维南定理表示用一个电压源与一个电阻串联等效代替线性含源二端网络，它是将电路化简的方法。应注意：

·

戴维南电压UTh是原电路两端的开路电压。

·戴维南电阻RTh是原电路两端的等效电阻。

·求戴维南等效电阻有三种方法。

·应用戴维南定理时，含源二端网络是线性的，但负载可以是线性的也可以是非线性的。当网络中含有受控源时，应保证受控源及其控制量都包括在二端网络内，即断开负载时，以至于没有将受控源及其控制量分开。

诺顿定理表示用一个电流源与一个电阻并联等效代替线性含源二端网络，它也是电路化简的方法。应注意：

·诺顿电流IN是原电路两端的短路电流。

·诺顿电阻RN是原电路两端的等效电阻，与戴维南电阻相同。

·用电源等效变换的方法可以将戴维南等效电路等效变换为诺顿等效电路。最大功率传输定理可以用来计算负载获得的最大功率，其条件是RTh=RL。若用戴维南等效电路时，最大功率是

用诺顿等效电路时，最大功率是

特勒根定理是有关功率的定理。它与电路元件的性质无关，适用于集总参数电路。有人称它为基尔霍夫第三定律。

互易定理有三种形式。可知某支路的激励在另一支路产生的响应，等于将激励和响应互换位置后在原激励支路产生的响应。

对偶原理是分析电路的一种思维方式。从对偶的意义上说，所有电路或公式只要搞清楚了一半，另一半都可以利用对偶的关系推导出来。

计算机仿真是检验和分析电路的常用方法。在实验之前，先用计算机仿真，仿真成功之后再实验，可以大大减少人力物力。同时计算机仿真也是检验电路分析正确性的方法。

1.什么是线性电路的齐次性原理？应用的条件是什么？

2.在应用叠加定理时，电路中含有受控源如何处理？

3.计算电路中的功率能直接应用叠加定理吗？为什么？

4.求戴维南等效电路的电阻RTh有几种方法？每种方法适用的条件是什么？

5.戴维南定理与诺顿定理的关系？UTh、RTh、

IN、RN之间的关系？思考题

6.当外电路发生变化时，有源二端网络的戴维南等效电路或诺顿等效电路的参数是否发生变化？

7.如何根据有源二端网络的伏安特性曲线来画出戴维南等效电路或诺顿等效电路？

8.若有源二端网络采用诺顿等效电路，网络获得的最大功率和条件是什么？请用对偶原理推导。

9.特勒根定理的内容和意义是什么？有什么用途？

10.互易定理的含义有几种形式？

11.什么是对偶元素和对偶电路？对偶原理的作用是什么？

12.什么是计算机仿真？基本练习题

5-1求如题5-1图所示电路中的电压U1。

5-2求如题5-2图所示电路中的电压U。当电压源改为25V时，电压U为多少？习题5题5-1图题5-2图5-3用叠加定理求如题5-3图所示电路中的电流I。

5-4用叠加定理求如题5-4图所示电路中的电压U。

5-5用叠加定理求如题5-5图所示电路中的电压U。题5-3图题5-4图题5-5图

5-6用叠加定理求如题5-6图所示电路中的电流I。

5-7电路如题5