北师大版九年级上册数学期末考试试题含答案解析

北师大版九年级上册数学期末考试试卷一、选择题。（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）1．两个相似三角形对应高之比为，那么它们的对应中线之比为（）A． B． C． D．2．过反比例函数图象上一点作两坐标轴的垂线段，则它们与两坐标轴围成的四边形面积为（）A．－6 B．－3 C．3 D．63．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则的值为（）A．1 B． C． D．4．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4：9，则OB′：OB为（）A．2：3 B．3：2 C．4：5 D．4：95．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则sin∠BDE的值是（）A． B． C． D．6．下列各点在反比例函数y=-图象上的是()A．(3,2) B．(2,3) C．(-3,-2) D．(-,2)7．在Rt△ABC中,∠C=90°,若cosB=,则∠B的度数是()A．90° B．60° C．45° D．30°8．如图，为平行四边形中边上一点．且，和于点，则等于（）A． B． C． D．9．从3，0，，4.1，这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（）A． B． C． D．10．若关于x的方程（a﹣2）x2＋x＋1＝0是一元二次方程，则a的取值范围为（）A．a＝2 B．a≠﹣2 C．a≠±2 D．a≠2二、填空题11．如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是____．12．计算:cos45°=________________13．如图，在正方形网格中有，则的值等于______．14．如图，在△ABC中，点D，点E分别为AB，AC的中点．若△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积值是______．15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D为BC上一点，AD=BD，CD=1，AC=，则∠B的度数为_________________．16．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝3，点P为BC边上一动点，若AP⊥DP，则BP的长为_____．三、解答题17．计算：．18．已知反比例函数的图象过点P（－1，3），求m的值和该反比例函数的表达式．19．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．20．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．求证：FA＝AB．21．某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，≈1.73，≈1.41）22．如图，在菱形中，点，分别是边，的中点．（1）求证：；（2）设与的交点为H，若，求的值．23．如图，一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝（k为常数且k≠0）的图象交于A(﹣2，a)，B两点，与x轴交于点C．（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点P在x轴上，且，求点P的坐标．24．如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若AB＝6，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．25．如图，已知是矩形的对角线，的垂直平分线分别交、于点和，交于点．（1）求证：四边形是菱形：（2）若，，求四边形的周长．参考答案1．A【解析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，对应中线的比等于相似比解答．【详解】∵两个相似三角形对应高之比为1:2，∴它们的相似比是1:2，∴它们对应中线之比为1:2.故选A.【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键在于掌握其性质.2．D【分析】根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为即为比例系数k的绝对值，即可得出答案．【详解】设B点坐标为（x，y），由函数解析式可知，xy＝k＝－6，则可知S矩形ABCO＝|xy|＝|k|＝6，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是理解图中矩形的面积为即为比例系数k的绝对值．3．B【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα解答即可．【详解】解：解：∵在△ABC中，∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴sinA=cosB=，

故选：B．【点睛】本题考查了互余两角的三角函数关系式，掌握当∠A+∠B=90°时，sinA=cosB是解题的关键．4．A【分析】根据位似的性质得△ABC∽△A′B′C′，再根据相似三角形的性质进行求解即可得.【详解】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC，∵△A'B'C'与△ABC的面积的比4：9，∴△A'B'C'与△ABC的相似比为2：3，∴，故选A．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．5．C【分析】由矩形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，可得BE＝CE＝BC＝AD，由全等三角形的性质可得AE＝DE，由相似三角形的性质可得AF＝2EF，由勾股定理可求DF的长，即可求sin∠BDE的值．【详解】∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC∵点E是边BC的中点，∴BE＝CE＝BC＝AD，∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABC＝∠DCB＝90°∴△ABE≌△DCE（SAS）∴AE＝DE∵AD∥BC∴△ADF∽△EBF∴＝2∴AF＝2EF，∴AE＝3EF＝DE，∴sin∠BDE＝，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形的运用，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．6．D【分析】将各选项点的横坐标代入，求出函数值，判断是否等于纵坐标即可.【详解】解：A.将x=3代入y=-中，解得y=-2，故(3,2)不在反比例函数y=-图象上，故A不符合题意；B.将x=2代入y=-中，解得y=-3，故(2,3)不在反比例函数y=-图象上，故B不符合题意；C.将x=-3代入y=-中，解得y=2，故(-3,-2)不在反比例函数y=-图象上，故C不符合题意；D.将x=-代入y=-中，解得y=2，故(-,2)在反比例函数y=-图象上，故D符合题意；故选：D.【点睛】此题考查的是判断一个点是否在反比例函数图象上，解决此题的关键是将点的横坐标代入，求出函数值，判断是否等于纵坐标即可.7．B【分析】根据锐角三角函数值，即可求出∠B.【详解】解：∵在Rt△ABC中,cosB=,∴∠B=60°故选：B.【点睛】此题考查的是根据锐角三角函数值求角的度数，掌握特殊角的锐角三角函数值是解决此题的关键.8．C【分析】根据“AD=DH”求出AH：AD即AE：BC的值是1：3，再根据相似三角形对应边成比例求出AK：KC的值．【详解】解：∵AD=DH，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴△AHK∽△CBK，∴AK：KC=，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，比例式的变形是解题的关键．9．C【分析】根据有理数的定义可找出在从，0，π，4.1，3这5个数中只有0、4.1、3为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率．【详解】解：∵在，0，π，4.1，3这5个数中有理数只有0、4.1、3这3个数，∴抽到有理数的概率是，故选：C．【点睛】本题考查了概率公式以及有理数，根据有理数的定义找出五个数中的有理数的个数是解题的关键．10．D【分析】根据一元二次方程定义可得a-2≠0，再解即可．【详解】解：由题意得：a-2≠0，

解得：a≠2，

故选：D．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足4个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2；

④二次项系数不为0．11．4．【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值．【详解】依题意．∵方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0，解得：m=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△=b2-4ac＜0时，方程无实数根．12．1【分析】将cos45°=代入进行计算即可.【详解】解：cos45°=故答案为：1.【点睛】此题考查的是特殊角的锐角三角函数值，掌握cos45°=是解决此题的关键.13．【分析】首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，最后根据锐角三角函数的定义求出sin∠ABC的值．【详解】解：∵AB=，BC=，AC=，∴AB2=BC2+AC2，∴∠ACB=90°．∴sin∠ABC=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理和它的逆定理以及锐角三角函数的定义．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．14．3【分析】根据题意判断出DE为中位线，从而得出相似三角形，进而利用相似三角形的性质求解即可．【详解】∵点D，点E分别为AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，则DE∥BC，∴△ABC与△ADE相似，相似比为2，则面积比为4，即：，∴,故答案为：3．【点睛】本题考查三角形中位线的判定与性质，及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．15．30°．【分析】根据勾股定理求得AD，再根据三角函数值分析计算．【详解】∵∠C=90°，CD=1，AC=，∴，而AD=BD，∴BD=2，在Rt△ABC中，AC=，BC=BD+CD=3，∴tan∠B=，∴∠B=30°，故填：30°．【点睛】本题考查勾股定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．16．1或2【分析】设BP=x，则PC=3-x，根据平行线的性质可得∠B=90°，根据同角的余角相等可得∠CDP=∠APB，即可证明△CDP∽△BPA，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．【详解】设BP=x，则PC=3-x，∵AB∥CD，∠C＝90°，∴∠B=180°-∠C=90°，∴∠B=∠C，∵AP⊥DP，∴∠APB+∠DPC=90°，∵∠CDP+∠DPC=90°，∴∠CDP=∠APB，∴△CDP∽△BPA，∴，∵AB＝1，CD＝2，BC＝3，∴，解得：x1=1，x2=2，∴BP的长为1或2，故答案为：1或2【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程是解题的关键．17．1．【分析】根据负整数指数幂、特殊三角函数值、0指数幂以及运算顺序计算求解．【详解】解：原式＝＝．【点睛】本题考查负整数指数幂、特殊三角函数值、0指数幂的运算，熟练掌握基础知识是关键．18．2；．【分析】把点P的坐标代入函数解析式求得m的值即可【详解】解：把点P（-1，3）代入，得．解得．把m=2代入，得，即．∴反比例函数的表达式为．【点睛】本题考查了待定系数法确定函数关系式，反比例函数图象上点的坐标特征．难度不大，熟悉函数图象的性质即可解题．19．证明见解析．【分析】根据AC=，CD＝4，BD＝2，可得，根据∠C=∠C，即可证明结论．【详解】解：∵AC=，CD＝4，BD＝2∴，∴∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．20．见解析【分析】用AAS来证明△AFE≌△DCE，根据全等的性质再证明AF＝DC，从而证明AF＝AB．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC．∴∠FAE＝∠D，∠F＝∠ECD．又∵EA＝ED，∴△AFE≌△DCE（AAS）．∴AF＝DC．∴AF＝AB．【点睛】此题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，AAS，ASA，SAS，HL(直角三角形)．21．0.7m【分析】根据题意画出图形，延长BC交AD于点E，可得则AE＝AD﹣DE＝0.6m，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC交AD于点E，则AE＝AD﹣DE＝0.6（m），∴,,MN＝BC＝≈0.7（m），答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为0.7m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．22．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据菱形的性质证明，故可求解；（2）利用，得到=90°，再根据解直角三角形的定义即可求解．【详解】（1）证明：四边形是菱形点，分别是边，的中点在和中，，∴（2）解：∴=90°sin,sin，∴．【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知熟知菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数的定义．23．（1）y＝﹣；（2）P(﹣，0)或(，0)【分析】（1）利用点A在y＝﹣x+5上求a，进而代入反比例函数求k．（2）联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标．【详解】解：（1）把点A（﹣2，a）代入y＝x+5，得a＝3，∴A（﹣2，3）把A（﹣2，3）代入反比例函数，∴k＝﹣6，∴反比例函数的表达式为y＝﹣；（2）联立两个函数的表达式得解得或∴点B的坐标为B（﹣3，2），当y＝x+5＝0时，得x＝﹣5，∴点C（﹣5，0），设点P的坐标为（x，0），∵∴解得x，∴点P(﹣，0)或(，0)．【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标