2025届河南九师联盟高三11月质量检测巩固数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南九师联盟2025届高三11月质量检测巩固数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z满足，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由，得，所以.故选：D2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，则；由，得，则，所以.故选：C3.已知向量，满足，在上的投影向量为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在上的投影向量为，所以.故选：A.4.记等比数列的前n项和为，若，，则（）A. B. C.32 D.64【答案】D【解析】设等比数列的公比为，由，得，则，即，而，因此，所以.故选：D5.已知正方体，E为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，因此，所以异面直线，所成角的余弦值为.故选：A6.如图为一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.过点作一条直线分别交的边，于点，，并沿直线裁掉，则裁掉的面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，，因为，，所以，由，得，则，平方整理得，当且仅当，即，时等号成立，所以.故选：B.7.设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（）A.0 B.2 C.4 D.2025【答案】B【解析】在上的函数的图象关于对称，则，由为奇函数，得，于是，，因此函数是以4为周期的周期函数，由，得，由，得，而，则，所以.故选：B8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，令，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，，即，函数在上单调递减，则，即，，因此；令，求导得，当时，，即，函数在上单调递减，则，即，，因此，所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若为纯虚数，，则B.若，，则，C.若在复平面内z对应的点的坐标为，则D.若是关于x的方程的根，则【答案】BD【解析】对于A，因为为纯虚数，，所以，解得，故A错误；对于B，因为，，所以，解得，故B正确；对于C，因为在复平面内对应的点的坐标为，所以，所以，，故C错误；对于D，因为是关于x的方程的根，所以，所以，整理得，所以，解得，故D正确.故选：BD.10.记为等差数列的前n项和，则（）A. B.若的公差不为，，则C.，，成等差数列 D.是等差数列【答案】ACD【解析】的首项为，公差为，对于A：，所以，故正确；对于B：，，又因为，所以，解得，故错误；对于C：，，，所以，，所以，所以，，成等差数列，故正确；对于D：因为，所以，所以是公差为的等差数列，故正确；故选：ACD.11.如图，在直三棱柱中，，，P，Q分别为，的中点，则（）A.平面 B.平面C.到平面距离为 D.到直线的距离为【答案】ABD【解析】对于A，在直三棱柱中，平面，平面，则，由，为的中点，得，而平面，因此平面，A正确；取中点，连接，由矩形，得，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，则，，对于B，，则，即，，由平面，平面，得，而，平面，因此平面，B正确；对于C，，，设平面的法向量为，则，令，得，又，所以到平面的距离，C错误；对于D，，到直线的距离，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是______.【答案】498【解析】依题意，每排停车位的个数排成一列构成数列，于是，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即，所以设计的停车位总数为.故答案为：49813.已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为______.【答案】18【解析】在四面体中，，，，则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球，设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为，则，于是，所以该四面体外接球的表面积为故答案为：1814.已知，，，，则的取值范围是______.【答案】【解析】在平面直角坐标系内作出方程的曲线，由，得或表示的是双曲线与所夹含原点的区域，因此满足，，的图形是图中的曲线段，而与中互换位置，方程、不等式都不变，则曲线与表示的区域关于直线对称，只需求出图中曲线段对应的的范围即可，由，得，由，得，由，即，，解得，令，求导得，而，则，即，函数在上单调递增，因此，即，所以的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等比数列满足，其前n项和为.（1）求的通项公式；（2）记，求.解:（1）设等比数列的公比为，由，得，解得，所以的通项公式为.（2）由（1）得，所以16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，.（1）求A；（2）求的面积.解:（1）由，由正弦定理得，，因为，所以，，则，即，则.（2）由（1）知，，因为，所以，则，即，即，因为，则或，即或，若，，由，则，则，所以的面积为.17.如图，在三棱柱中，，，，，二面角的余弦值为.（1）证明：四边形为菱形；（2）侧棱上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.解:（1）在三棱柱中，取的中点，连接，由，得，而，，平面，则平面，又平面，于是，则是二面角的平面角，即，在中，，，则，在中，，，则，在中，由余弦定理得：，即，整理得，即，于，在中，，所以四边形为菱形.（2）由（1）得平面，而平面，则平面平面，平面平面，在平面内过作，则平面，于是直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，在平面内过作于，则平面，由，，得，，则，则，，，，则，，设平面的法向量为，则，令，得，，设，，由与平面所成角的正弦值为，得，整理得，解得，即处，所以在侧棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，点在处.18.已知函数.（1）若，求最大值；（2）若，证明：；（3）若，时，恒成立，求c的取值范围.解:（1）函数的定义域为，求导得，当时，，，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以.（2）由，得，即，由（1）知，，要证，只证，即证，即证，令，，则证，设函数，则，函数是0,1上的增函数，于是，即成立，所以.（3）当，时，，令，依题意，当时，恒成立，求导得，函数在上单调递减，，则存在，使得，当时，；当时，，所以函数在上递增，在上递减，，由，解得，函数在上单调递增，则，即，因此，，函数在上单调递增，因此，则恒有，于是，解得，所以c的取值范围是.19.对于给定的数列以及正整数m，若，使得成立，则称为“m阶可分拆数列”.（1）设，证明：为“3阶可分拆数列”；（2）设的前n项和为，若为“1阶可分拆数列”，求实数a的值；（3）设，是否存在m，使得为“m阶可分拆数列”？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由.解:（1），，，若，使得成立，则成立，显然，当时等式成立，所以，使得成立，得证.（2）因为数列的前项和为当时，；当时，，所以，因为存在正整数使得成立，则①当时，，即，因为，，所以，而，所以不存在正整数（）使得成立；②当时，若成立，则，得，所以时存在正整数使得成立，由①②得.（3）假设存在使得数列为“阶可分拆数列”即存在确定的正整数，存在正整数使得成立.即，即，①当时，，时方程成立，②当时，当时，；当时，，当时，，所以不存在正整数使得成立；③当时，，当时，成立，④当时，，所以不存在正整数使得成立.综上：或3.河南九师联盟2025届高三11月质量检测巩固数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z满足，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由，得，所以.故选：D2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，则；由，得，则，所以.故选：C3.已知向量，满足，在上的投影向量为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为在上的投影向量为，所以.故选：A.4.记等比数列的前n项和为，若，，则（）A. B. C.32 D.64【答案】D【解析】设等比数列的公比为，由，得，则，即，而，因此，所以.故选：D5.已知正方体，E为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，因此，所以异面直线，所成角的余弦值为.故选：A6.如图为一块三角形铁片，已知，，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点，，.过点作一条直线分别交的边，于点，，并沿直线裁掉，则裁掉的面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，，因为，，所以，由，得，则，平方整理得，当且仅当，即，时等号成立，所以.故选：B.7.设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（）A.0 B.2 C.4 D.2025【答案】B【解析】在上的函数的图象关于对称，则，由为奇函数，得，于是，，因此函数是以4为周期的周期函数，由，得，由，得，而，则，所以.故选：B8.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，令，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，，即，函数在上单调递减，则，即，，因此；令，求导得，当时，，即，函数在上单调递减，则，即，，因此，所以.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若为纯虚数，，则B.若，，则，C.若在复平面内z对应的点的坐标为，则D.若是关于x的方程的根，则【答案】BD【解析】对于A，因为为纯虚数，，所以，解得，故A错误；对于B，因为，，所以，解得，故B正确；对于C，因为在复平面内对应的点的坐标为，所以，所以，，故C错误；对于D，因为是关于x的方程的根，所以，所以，整理得，所以，解得，故D正确.故选：BD.10.记为等差数列的前n项和，则（）A. B.若的公差不为，，则C.，，成等差数列 D.是等差数列【答案】ACD【解析】的首项为，公差为，对于A：，所以，故正确；对于B：，，又因为，所以，解得，故错误；对于C：，，，所以，，所以，所以，，成等差数列，故正确；对于D：因为，所以，所以是公差为的等差数列，故正确；故选：ACD.11.如图，在直三棱柱中，，，P，Q分别为，的中点，则（）A.平面 B.平面C.到平面距离为 D.到直线的距离为【答案】ABD【解析】对于A，在直三棱柱中，平面，平面，则，由，为的中点，得，而平面，因此平面，A正确；取中点，连接，由矩形，得，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，而，则，，对于B，，则，即，，由平面，平面，得，而，平面，因此平面，B正确；对于C，，，设平面的法向量为，则，令，得，又，所以到平面的距离，C错误；对于D，，到直线的距离，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是______.【答案】498【解析】依题意，每排停车位的个数排成一列构成数列，于是，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即，所以设计的停车位总数为.故答案为：49813.已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为______.【答案】18【解析】在四面体中，，，，则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球，设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为，则，于是，所以该四面体外接球的表面积为故答案为：1814.已知，，，，则的取值范围是______.【答案】【解析】在平面直角坐标系内作出方程的曲线，由，得或表示的是双曲线与所夹含原点的区域，因此满足，，的图形是图中的曲线段，而与中互换位置，方程、不等式都不变，则曲线与表示的区域关于直线对称，只需求出图中曲线段对应的的范围即可，由，得，由，得，由，即，，解得，令，求导得，而，则，即，函数在上单调递增，因此，即，所以的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等比数列满足，其前n项和为.（1）求的通项公式；（2）记，求.解:（1）设等比数列的公比为，由，得，解得，所以的通项公式为.（2）由（1）得，所以16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，.（1）求A；（2）求的面积.解:（1）由，由正弦定理得，，因为，所以，，则，即，则.（2）由（1）知，，因为，所以，则，即，即，因为，则或，即或，若，，由，则，则，所以的面积为.17.如图，在三棱柱中，，，，，二面角的余弦值为.（1）证明：四边形为菱形；（2）侧棱上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.解:（1）在三棱柱中，取的中点，连接，由，得，而，，平面，则平面，又平面，于是，则是二面角的平面角，即，在中，，，则，在中，，，则，在中，由余弦定理得：，即，整理得，即，于，在中，，所以四边形为菱形.（2）由（1）得平面，而平面，则平面平面，平面平面，在平面内过作，则平面，于是直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，在平面内过作于，则平面，由，，得，，则，则，，，，则，，设平面的法向量为，则，令，得，，设，，由与平面所成角的正弦值为，得，整理得，解得，即处，所以在侧棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，点在处.