2024届云南省楚雄彝族自治州高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1云南省楚雄彝族自治州2024届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得到，所以，又，所以，故选：D.2.在复数范围内，方程的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，因为，所以.故选：D3.若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设球O的半径为R，则，所以球O的表面积为.故选：B4.某校有甲、乙、丙、丁四个排球队，在某次排球比赛的初赛中，甲队对战丙队，乙队对战丁队，甲队每局战胜丙队的概率为0.6，乙队每局战胜丁队的概率为0.45.在初赛中，甲队和丙队对战一局，乙队和丁队对战一局，则甲队、乙队至少有一队获胜的概率是（）A.0.51 B.0.66 C.0.78 D.0.88【答案】C【解析】“甲队、乙队至少有一队获胜”的对立事件为“甲队、乙队都失败”，故甲队、乙队至少有一队获胜的概率是.故选：C5.某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多2个，已知第一排有6个座位，且该阶梯大教室共有266个座位，则该阶梯大教室共有（）A.12排 B.13排 C.14排 D.15排【答案】C【解析】阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为6，公差为2.设该阶梯大教室共有n排，则，解得故选：C6.已知是定义在R上的奇函数，，且在上单调递减，在上单调递增，则不等式的解集为（）A. B.C D.【答案】D【解析】当时，，则，且，在上单调递减，在上单调递增，则可得.因为是定义在R上的奇函数，所以的图象关于原点对称.当时，，则，由已知可得或.综上，不等式的解集为.故选：D7.设的小数部分为x，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】由，得的整数部分为2，则，所以，即，所以.故选：A8.已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，取线段的中点，连接，因为，，所以，且，所以，设，则，所以的离心率．故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知正数a，b满足，则（）A. B.a与b可能相等C. D.的最小值为【答案】BD【解析】由正数a，b满足，得，A错误；若，则，而a为正数，则，B正确；显然，则，当且仅当时取等号，C错误；，当且仅当时取等号，D正确.故选：BD10.已知椭圆：，则（）A.的长轴长为 B.当时，的焦点在轴上C.的焦距可能为4 D.的短轴长与长轴长的平方和为定值【答案】BCD【解析】若，则椭圆焦点在轴上，，长轴长为：，A错误.当时，，则的焦点在轴上，B正确.当时，的焦距为4，C正确.因为，所以，D正确.故选：BCD11.在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（）A.若为的中点，则 B.若为的中点，则到的距离为C.若，则平面 D.的周长的最小值为【答案】BCD【解析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，可得平面的一个法向量为．若为的中点，则，，，则到的距离，A不正确，B正确．若，则，则，因为平面，所以平面，C正确．将平面沿着翻折至与平面共面，当三点共线时，的周长最小，此时，翻折前，故的周长的最小值为，D正确．故选：BCD12.定义在上的函数的图像如图所示，则（）A函数恰有4个零点B.函数恰有3个零点C.函数恰有5个零点D.函数恰有8个零点【答案】ACD【解析】对A：因为，所以直线与的图像恰有4个公共点，则函数恰有4个零点，A正确.对B：因为，所以直线与的图像只有2个公共点，则函数恰有2个零点，B错误.对C：由图像可知有3个零点，则，，，数形结合可知无解，有2个不相等的实根，所以函数零点的个数为，C正确.对D：由图可知直线与的图像有4个交点，设交点的横坐标为，则，，，，数形结合可知无解，有2个不相等的实根，有2个不相等的实根，有4个不相等的实根，所以函数零点的个数为，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与曲线相切，则切点的横坐标为______.【答案】【解析】由求导得，直线斜率为，代入导函数有：，解得.故答案为：14.现有一组数据2.3，3.5，2.8，1.9，5.5，3.3，2.7，则这组数据的第30百分位数为______.【答案】2.7【解析】将这组数据按照从小到大的顺序排列为1.9，2.3，2.7，2.8，3.3，3.5，5.5，因为，所以这组数据的第30百分位数为2.7.故答案为：2.7.15.已知直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则______，______.【答案】；5【解析】圆，则圆心，半径，圆心到直线的距离，故，联立，化简整理可得，，设,，.，由韦达定理可知，，，．故答案为：；5．16.若函数在上的最小值大于，则的取值范围是______.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，又，所以，则解得.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，.（1）求，；（2）求，并判断是否为等比数列.解：（1），（2）因为，所以，所以，，…，，将以上各式相加得.因为，所以，又也满足，所以，所以，所以是等比数列，且首项、公比均为2.18.设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，.（1）求A的值；（2）若，，求c的值.解：（1）因为，，所以，由正弦定理得.又，所以.因为，所以.又，所以.（2）由，得，所以，所以点D在边上，且，因为，所以，.在中，由余弦定理得，即，解得（负根已舍去）.19.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.每位顾客从一个装有6个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额.（1）若袋中所装的6个球中1个球所标的面值为30元，2个球所标的面值为20元，3个球所标的面值为10元，求每位顾客所获得的消费券的总额为40元的概率；（2）若冰雪优惠活动有两种方案，方案甲中6个球对应的面值与（1）中一致，方案乙中6个球对应的面值分别为25，25，25，15，5，5，比较这两种方案每位顾客所获得的消费券的总额的期望的大小.解：（1）顾客所获得的消费券的总额为40元的概率为.（2）对于方案甲，设每位顾客所获的消费券总额为X，则X的可能取值为20，30，40，50，则，，，，则.对于方案乙，设每位顾客所获的消费券总额为Y，则Y的可能取值为10，20，30，40，50，则，，，，，则.因为，所以这两种方案每位顾客所获得的消费券的总额的期望相等.20.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，E是的中点，且，，.（1）证明：平面平面；（2）在棱上是否存在点F（不含端点），使得平面与平面的夹角的余弦值为？如果存在，求的长；如果不存在，请说明理由.证明:（1）由，，，得，所以，又底面是正方形，所以，因为，面，所以平面，又平面，所以平面平面；解：（2）过点A在平面内作的垂线，以A为坐标原点，以这条垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.设，因为，所以，则点P的坐标为，则，，，.设平面的法向量是，由，即，令，得.设平面法向量是，由，即，令，得.所以，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即.21.已知点，动点P到y轴的距离为d，且，记点P的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）若，是C上不同的两点，点A在第一象限，直线的斜率为k，且，求.解：（1）设，则，.由，可得，整理得.当时，；当时，.所以C的方程为或.（2）因为A在第一象限，所以.设B在曲线上，则直线的方程为，即，代入，得.由韦达定理得，则，.因为，所以，解得或4.当时，B与A重合，不符合题意，所以，.设B在曲线上，，因，所以，解得（正根已舍去）.综上，或.22.已知函数，.（1）当，时，证明：当时，恒成立；（2）当时，若函数在处取得极大值，求a的取值范围.证明：（1）当，时，令函数，则.令函数，，则，所以在上单调递增，，则在上单调递增，，故当时，恒成立.解：（2）当时，，，，且，为偶函数.令，，则，，，当时，，当，且时，，因此在上单调递减，当时，，当时，，在处取得极大值，符合题意.当时，，因为当时，，所以，，且当时，，在上单调递增，这与在处取得极大值矛盾，不符合题意.综上所述，a的取值范围是.云南省楚雄彝族自治州2024届高三上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得到，所以，又，所以，故选：D.2.在复数范围内，方程的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，因为，所以.故选：D3.若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设球O的半径为R，则，所以球O的表面积为.故选：B4.某校有甲、乙、丙、丁四个排球队，在某次排球比赛的初赛中，甲队对战丙队，乙队对战丁队，甲队每局战胜丙队的概率为0.6，乙队每局战胜丁队的概率为0.45.在初赛中，甲队和丙队对战一局，乙队和丁队对战一局，则甲队、乙队至少有一队获胜的概率是（）A.0.51 B.0.66 C.0.78 D.0.88【答案】C【解析】“甲队、乙队至少有一队获胜”的对立事件为“甲队、乙队都失败”，故甲队、乙队至少有一队获胜的概率是.故选：C5.某阶梯大教室的座位数从第二排开始，每排的座位比前一排多2个，已知第一排有6个座位，且该阶梯大教室共有266个座位，则该阶梯大教室共有（）A.12排 B.13排 C.14排 D.15排【答案】C【解析】阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列，且首项为6，公差为2.设该阶梯大教室共有n排，则，解得故选：C6.已知是定义在R上的奇函数，，且在上单调递减，在上单调递增，则不等式的解集为（）A. B.C D.【答案】D【解析】当时，，则，且，在上单调递减，在上单调递增，则可得.因为是定义在R上的奇函数，所以的图象关于原点对称.当时，，则，由已知可得或.综上，不等式的解集为.故选：D7.设的小数部分为x，则（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】由，得的整数部分为2，则，所以，即，所以.故选：A8.已知双曲线的两个焦点为为上一点，，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如图，取线段的中点，连接，因为，，所以，且，所以，设，则，所以的离心率．故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知正数a，b满足，则（）A. B.a与b可能相等C. D.的最小值为【答案】BD【解析】由正数a，b满足，得，A错误；若，则，而a为正数，则，B正确；显然，则，当且仅当时取等号，C错误；，当且仅当时取等号，D正确.故选：BD10.已知椭圆：，则（）A.的长轴长为 B.当时，的焦点在轴上C.的焦距可能为4 D.的短轴长与长轴长的平方和为定值【答案】BCD【解析】若，则椭圆焦点在轴上，，长轴长为：，A错误.当时，，则的焦点在轴上，B正确.当时，的焦距为4，C正确.因为，所以，D正确.故选：BCD11.在正四棱柱中，分别是的中点，是棱上一点，则下列结论正确的有（）A.若为的中点，则 B.若为的中点，则到的距离为C.若，则平面 D.的周长的最小值为【答案】BCD【解析】以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，可得平面的一个法向量为．若为的中点，则，，，则到的距离，A不正确，B正确．若，则，则，因为平面，所以平面，C正确．将平面沿着翻折至与平面共面，当三点共线时，的周长最小，此时，翻折前，故的周长的最小值为，D正确．故选：BCD12.定义在上的函数的图像如图所示，则（）A函数恰有4个零点B.函数恰有3个零点C.函数恰有5个零点D.函数恰有8个零点【答案】ACD【解析】对A：因为，所以直线与的图像恰有4个公共点，则函数恰有4个零点，A正确.对B：因为，所以直线与的图像只有2个公共点，则函数恰有2个零点，B错误.对C：由图像可知有3个零点，则，，，数形结合可知无解，有2个不相等的实根，所以函数零点的个数为，C正确.对D：由图可知直线与的图像有4个交点，设交点的横坐标为，则，，，，数形结合可知无解，有2个不相等的实根，有2个不相等的实根，有4个不相等的实根，所以函数零点的个数为，D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与曲线相切，则切点的横坐标为______.【答案】【解析】由求导得，直线斜率为，代入导函数有：，解得.故答案为：14.现有一组数据2.3，3.5，2.8，1.9，5.5，3.3，2.7，则这组数据的第30百分位数为______.【答案】2.7【解析】将这组数据按照从小到大的顺序排列为1.9，2.3，2.7，2.8，3.3，3.5，5.5，因为，所以这组数据的第30百分位数为2.7.故答案为：2.7.15.已知直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则______，______.【答案】；5【解析】圆，则圆心，半径，圆心到直线的距离，故，联立，化简整理可得，，设,，.，由韦达定理可知，，，．故答案为：；5．16.若函数在上的最小值大于，则的取值范围是______.【答案】【解析】因为，所以，因为，所以，又，所以，则解得.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，.（1）求，；（2）求，并判断是否为等比数列.解：（1），（2）因为，所以，所以，，…，，将以上各式相加得.因为，所以，又也满足，所以，所以，所以是等比数列，且首项、公比均为2.18.设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，.（1）求A的值；（2）若，，求c的值.解：（1）因为，，所以，由正弦定理得.又，所以.因为，所以.又，所以.（2）由，得，所以，所以点D在边上，且，因为，所以，.在中，由余弦定理得，即，解得（负根已舍去）.19.某冰雪乐园计划推出冰雪优惠活动，发放冰雪消费券.每位顾客从一个装有6个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获得的消费券的总额.（1）若袋中所装的6个球中1个球所标的面值为30元，2个球所标的面值为20元，3个球所标的面值为10元，求每位顾客所获得的消费券的总额为40元的概率；（2）若冰雪优惠活动有两种方案，方案甲中6个球对应的面值与（1）中一致，方案乙中6个球对应的面值分别为25，25，25，15，5，5，比较这两种方案每位顾客所获得的消费券的总额的期望的大小.解：（1）顾客所获得的消费券的总额为40元的概率为.（2）对于方案甲，设每位顾客所获的消费券总额为X，则X的可能取值为20，30，40，50，则，，，，则.对于方案乙，设每位顾客所获的消费券总额为Y，则Y的可能取值为10，20，30，40，50，则，，，，，则.因为，所以这两种方案