2024届山东省青岛市莱西市高三上学期期末教学质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省青岛市莱西市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则复数虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，所以的虚部为.故选：B.2.对于直线，下列选项正确的为（）A.直线倾斜角为B.直线在轴上的截距为C.直线的一个方向向量为D.直线经过第二象限【答案】C【解析】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；在中，令，解得，即直线过两点，，所以直线的一个方向向量为，故C正确；画出直线的图象如图所示，所以直线不经过第二象限，故D错误.故选：C.3.在等比数列中，，则（）A.4 B. C.8 D.5【答案】A【解析】由题意，所以，即等比数列公比为，所以，解得，所以.故选：A.4.“”是“直线与平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，直线与平行；当直线与平行时，有且，解得，故“”是“直线与平行”的充要条件，故选：C5.圆与圆相交于A、B两点，则（）A.2 B. C. D.6【答案】D【解析】两圆方程相减得直线的方程为，圆化为标准方程，所以圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，弦长，所以.故选：D6.是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】由题意得，时，取得最大值，所以有，，，若，则，若，，则，有，.故选：D7.设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（）A.2024 B.2023 C.2022 D.2021【答案】B【解析】，又，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，故，令由且，则，由，则，则，所以，故，则正整数的值为2023.故选：B8.直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为E，AE的中点为，设直线与椭圆的另一交点为，若，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，则，，，，①，三点共线，，②，在椭圆上，，两式相减可得，③将①②代入③可得，，，所以椭圆的离心率.故选：A二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列结论正确的是（）A.在复平面内对应的点在第三象限B.C.的共轭复数为1D.复数的实部为【答案】BD【解析】对于A，在复平面对应的点为在第二象限（因为），故A错误；对于B，，故B正确；对于C，的共轭复数为，故C错误；对于D，的实部为，故D正确.故选：BD.10.已知点是直线的上一动点，，，成公差非0的等差数列，，则下列说法正确的有（）A.若，则的最大值为B.直线恒过定点C.存在3个点到直线的距离为.D.已知，，若存在点，使得，则正数的范围为.【答案】ACD【解析】因为，，成公差非0的等差数列，设公差为，则，，所以直线，由，化简得，由，解得，则直线过定点，故B不正确；设，则，又，知，故点在直线上，则点为两直线的交点，而与是互相垂直的直线，所以点在以为直径的圆上，圆方程为，其圆心为，半径为，因，则和除外.若，则的最大值为，故A正确；又点到直线的距离为，半径为，所以存在3个点到直线的距离为，故C正确；已知，，若存在点，使得，即以原点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，故，解得，故D正确.故选：ACD.11.南宋数学家杨辉所著的（详析九章算法.商功）中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…..，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由题意，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，即，故C正确；对于D，，故D错误.故选：BC.12.已知椭圆，直线与相交于两点，，若椭圆恒过定点，则下列说法正确的是（）A. B.C.|AB|的长可能为3 D.|AB|的长可能为4【答案】AC【解析】由消去得：，点在椭圆内，必有，设，则，而，，由，得，即，整理得，因此，整理得，于是椭圆恒过定点，且，显然，，A正确，B错误；，而，则，，因此，C正确，D错误.故选：AC三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值____________.【答案】2（答案不唯一，满足皆可）【解析】由题意双曲线的一条渐近线为，其斜率为，若直线与无公共点，则，所以，满足题意的双曲线的离心率为.故答案为：2（答案不唯一）.14.已知复数()的模为，则的最大值为_______.【答案】【解析】因为，所以，故在以为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点与原点所在直线的斜率，如图，由平面几何知识，易知当直线与圆相切时取得最值，在中，，所以,此时.故答案：.15.数列的前项和，数列定义如下:对于正整数是使得不等式成立的所有中的最小值，则数列的前项和为____________.【答案】【解析】数列的前项和，当时，，而满足上式，因此，由，得，则当为正奇数时，，当为正偶数时，，于是数列的前项和为.故答案为：16.过抛物线的焦点的直线交于两点，中点的轨迹经过点，则的最小值为____________.【答案】【解析】抛物线的焦点，因为过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线的斜率不存在时，的中点定在轴上，中点不可能为；则设直线的方程为：，设，联立方程组：，得：，得，所以中点的轨迹满足：，当恰好为时，即，解得，得此时抛物线，一般地，直线的方程为：，且，则故，令，，其中，则，，由，得，当时，；当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故当时，函数取得最小值，所以的最小值为，故答案为：.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和.条件①:；条件②:；条件③:.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）由题意知:，即:，化简得.所以数列的通项公式.（2）若选①:，，若选②:，.，若选③:，18.已知抛物线上第一象限一点到其焦点的距离为2.（1）求拋物线的方程及点的坐标;（2）过点的直线交抛物线于A，B两点，的角平分线过抛物线焦点，求直线的方程.解：（1）由题意得:由可得:，故抛物线方程为:，当时，，又因为，所以，所以点坐标为;（2）由题意可设直线方程为，由，消去得，所以，因为的角平分线过焦点，轴，所以，所以，即，即，所以，直线的方程为.19.已知为等差数列，公差中的部分项恰为等比数列，且公比为，若;（1）求；（2）求数列的通项公式及其前项之和.解：（1）由成等比数列，则，即，整理得，且，则，可得，故等比数列的公比.（2）在等差数列中，可得，在等比数列中，可得，则，即，所以.20.已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列，数列bn的前项和.（1）求（2）求解：（1）因为成等比数列，所以，设等差数列的公差为，，所以，解得，，，对上式两边同时除以得:，即，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，即；（2）当为偶数时，,当为奇数时，,故.21.中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过点一条渐近线方程为.（1）求的方程:（2）若过的上焦点的直线与交于A，B两点.求证:以AB为直径的圆过定点.并求该定点.解：（1）由题可设双曲线方程为，双曲线经过点双曲线方程为（2）设AB方程为，显然，由韦达定理得：，，以AB为直径的圆的方程为，即:，由对称性知以AB为直径的圆必过轴上的定点，令，得，，即.对恒成立，，经过定点检验，当时，，此时圆的方程为，也经过点以AB为直径的圆过定点.22.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且直线是双曲线的一条渐近线.直线与椭圆交于C，D两点，且的周长最大值为8.椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，直线与轴相交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为.（1）求值.（2）若，设和的面积分别为，求的最大值.解：（1）设与轴的交点为，由题意可知，则，当过右焦点时，的周长取最大值，所以，双曲线的渐近线为，又直线是双曲线的一条渐近线，，即，所以，所以椭圆的标准方程，设，直线的方程为，与椭圆方程联立，有消去得，，则，即，由韦达定理得:，即，由题意，，所以，.（2）若，则直线的方程为，由韦达定理得，，所以，，则，因为函数在上单调递增，故，所以，，当，即时，等号成立，因此，的最大值为3.山东省青岛市莱西市2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则复数虚部为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，所以的虚部为.故选：B.2.对于直线，下列选项正确的为（）A.直线倾斜角为B.直线在轴上的截距为C.直线的一个方向向量为D.直线经过第二象限【答案】C【解析】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；在中，令，解得，即直线过两点，，所以直线的一个方向向量为，故C正确；画出直线的图象如图所示，所以直线不经过第二象限，故D错误.故选：C.3.在等比数列中，，则（）A.4 B. C.8 D.5【答案】A【解析】由题意，所以，即等比数列公比为，所以，解得，所以.故选：A.4.“”是“直线与平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，直线与平行；当直线与平行时，有且，解得，故“”是“直线与平行”的充要条件，故选：C5.圆与圆相交于A、B两点，则（）A.2 B. C. D.6【答案】D【解析】两圆方程相减得直线的方程为，圆化为标准方程，所以圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，弦长，所以.故选：D6.是等差数列的前项和，若恒成立，则不可能的值为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】由题意得，时，取得最大值，所以有，，，若，则，若，，则，有，.故选：D7.设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（）A.2024 B.2023 C.2022 D.2021【答案】B【解析】，又，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，故，令由且，则，由，则，则，所以，故，则正整数的值为2023.故选：B8.直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为E，AE的中点为，设直线与椭圆的另一交点为，若，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，则，，，，①，三点共线，，②，在椭圆上，，两式相减可得，③将①②代入③可得，，，所以椭圆的离心率.故选：A二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列结论正确的是（）A.在复平面内对应的点在第三象限B.C.的共轭复数为1D.复数的实部为【答案】BD【解析】对于A，在复平面对应的点为在第二象限（因为），故A错误；对于B，，故B正确；对于C，的共轭复数为，故C错误；对于D，的实部为，故D正确.故选：BD.10.已知点是直线的上一动点，，，成公差非0的等差数列，，则下列说法正确的有（）A.若，则的最大值为B.直线恒过定点C.存在3个点到直线的距离为.D.已知，，若存在点，使得，则正数的范围为.【答案】ACD【解析】因为，，成公差非0的等差数列，设公差为，则，，所以直线，由，化简得，由，解得，则直线过定点，故B不正确；设，则，又，知，故点在直线上，则点为两直线的交点，而与是互相垂直的直线，所以点在以为直径的圆上，圆方程为，其圆心为，半径为，因，则和除外.若，则的最大值为，故A正确；又点到直线的距离为，半径为，所以存在3个点到直线的距离为，故C正确；已知，，若存在点，使得，即以原点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，故，解得，故D正确.故选：ACD.11.南宋数学家杨辉所著的（详析九章算法.商功）中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…..，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由题意，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，即，故C正确；对于D，，故D错误.故选：BC.12.已知椭圆，直线与相交于两点，，若椭圆恒过定点，则下列说法正确的是（）A. B.C.|AB|的长可能为3 D.|AB|的长可能为4【答案】AC【解析】由消去得：，点在椭圆内，必有，设，则，而，，由，得，即，整理得，因此，整理得，于是椭圆恒过定点，且，显然，，A正确，B错误；，而，则，，因此，C正确，D错误.故选：AC三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.记双曲线的离心率为，写出满足条件“直线与无公共点”的的一个值____________.【答案】2（答案不唯一，满足皆可）【解析】由题意双曲线的一条渐近线为，其斜率为，若直线与无公共点，则，所以，满足题意的双曲线的离心率为.故答案为：2（答案不唯一）.14.已知复数()的模为，则的最大值为_______.【答案】【解析】因为，所以，故在以为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点与原点所在直线的斜率，如图，由平面几何知识，易知当直线与圆相切时取得最值，在中，，所以,此时.故答案：.15.数列的前项和，数列定义如下:对于正整数是使得不等式成立的所有中的最小值，则数列的前项和为____________.【答案】【解析】数列的前项和，当时，，而满足上式，因此，由，得，则当为正奇数时，，当为正偶数时，，于是数列的前项和为.故答案为：16.过抛物线的焦点的直线交于两点，中点的轨迹经过点，则的最小值为____________.【答案】【解析】抛物线的焦点，因为过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线的斜率不存在时，的中点定在轴上，中点不可能为；则设直线的方程为：，设，联立方程组：，得：，得，所以中点的轨迹满足：，当恰好为时，即，解得，得此时抛物线，一般地，直线的方程为：，且，则故，令，，其中，则，，由，得，当时，；当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故当时，函数取得最小值，所以的最小值为，故答案为：.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求数列的前项和.条件①:；条件②:；条件③:.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）由题意知:，即:，化简得.所以数列的通项公式.（2）若选①:，，若选②:，.，若选③:，18.已知抛物线上第一象限一点到其焦点的距离为2.（1）求拋物线的方程及点的坐标;（2）过点的直线交抛物线于A，B两点，的角平分线过抛物线焦点，求直线的方程.解：（1）由题意得:由可得:，故抛物线方程为:，当时，，又因为，所以，所以点坐标为;（2）由题意可设直线方程为，由，消去得，所以，因为的角平分线过焦点，轴，所以，所以，即，即，所以，直线的方程为.19.已知为等差数列，公差中的部分项恰为等比数列，且公比为，若;（1）求；（2）求数列的通项公