2024届江西省九师联盟高三上学期1月质量检测试考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省九师联盟2024届高三上学期1月质量检测考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，则（）A.3 B.2 C. D.1【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选：C.2.已知集合，，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】由，得或，所以或，所以.由得，所以，所以.故选：B3.如图是正方体的表面展开图，在原正方体中，直线AB与CD所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将正方体的表面展开图还原为正方体，与在正方体中的位置如图所示，由于平面平面，故，又，且平面，故AB⊥平面，平面，所以，故直线与所成角的大小为.故选：D.4.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，即，所以，所以.故选：C.5.下表统计了2017年～2022年我国的新生儿数量（单位：万人）.年份201720182019202020212022年份代码x123456新生儿数量y17231523146512001062956经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且，据此预测2023年新生儿数量约为（）（精确到0.1）（参考数据：）A.773.2万 B.791.1万 C.800.2万 D.821.1万【答案】A【解析】由题意得，，所以，，当时，.故选：A.6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A.，互斥 B. C. D.【答案】C【解析】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；由题意得，，，，，故B，D均正确；因为，故C错误.故选：C.7.阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，，，由题意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以.故选：B.8.若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】原不等式等价于，设，，则，令，得，当时，，单调递增；当时，f'x<0，单调递减又，时，，因此y=fx与y=g当时，显然不满足题意；当时，当且仅当，或由第一个不等式组，得，即，由第二个不等式组，得，该不等式组无解.综上所述，.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.过抛物线（）的焦点作直线，交抛物线于两点，若，则直线的倾斜角可能为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】当的倾斜角为锐角时，如图所示，由抛物线（）的焦点为，准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为，直线交准线于，作，垂足为，则，，，所以，，所以，则，所以直线的倾斜角；当直线的倾斜角为钝角时，如图所示，由抛物线（）的焦点为，准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为，直线交准线于，作，垂足为，则，，，所以，，所以，则，则的倾斜角为.故选：BC.10.已知函数，若的图象过，，三点，其中点B为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A. B.C.的图象关于直线对称 D.在上单调递减【答案】BC【解析】由题意得，得，又，则，所以.由，得，由图知在0,m上单调递增，所以，，解得.又，只可能，所以，所以，根据已知图象平移可得，故A错误，B正确；因为，所以的图象关于直线对称，故C正确；令，，解得，，令，得，故上不单调，故D错误.故选：BC.11.如图，正方体的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面内（含边界）一点，则（）A.若平面，则点P与点B重合B.以D为球心，为半径的球面与截面的交线的长度为C.若P为棱BC中点，则平面截正方体所得截面的面积为D.若P到直线的距离与到平面的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧【答案】ABC【解析】正方体中，平面，平面，，正方形中，，平面，，则平面，平面，，同理，，平面，，平面，若点P不与B重合，因为平面，则，与矛盾，故当平面时，点P与B重合，故A正确；，，三棱锥为正三棱锥，故顶点D在底面的射影为的中心H，连接DH，由，得，所以，因为球的半径为，所以截面圆的半径，所以球面与截面的交线是以H为圆心，为半径的圆在内部部分，如图所示，，所以.，所以，同理，其余两弦所对圆心角也等于，所以球面与截面的交线的长度为，故B正确；对于C，过E，P的直线分别交DA、DC的延长线于点G，M，连接、，分别交侧棱于点N，交侧棱于点H，连接EH和NP，如图所示：则截面为五边形，，，，，，，故，所以，，所以五边形的面积，故C正确；因为平面，平面，所以，点P到直线的距离即点P到点的距离，因为平面平面，故点P到平面的距离为点P到的距离，由题意知点P到点的距离等于点P到的距离，故点P的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线在侧面内的部分，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，得，故常数项为．故答案为：.13.已知A为圆C：上的动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为______________.【答案】【解析】设关于直线的对称点为，则，解得，故，则圆关于对称的圆的方程为，要使的值最大，则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线，且该直线过两点，如图，其最大值为.故答案为：.14.在1，3中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3为数列1，3的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，，，…，，3为数列1，3的第n次扩展数列，令，则数列an的通项公式为______.【答案】【解析】因为，所以，所以，又，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.（1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.附：若（），则，，.解：（1）因为服从正态分布，所以，，，所以.进入面试的人数，.因此，进入面试的人数大约为16.（2）由题意可知，的可能取值为0，2，4，6，8，10，则；；；；；.所以.16.如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β.（1）求的值；（2）若△ABD的面积为，△BCD的面积为，求的最大值.解：（1）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，所以，.（1）由题意知，，所以，由（1）知，，所以，所以，所以当时，取得最大值，最大值为.17.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，窟盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为矩形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，P是线段AD上一点.（1）若点P是线段AD上靠近点A的三等分点，Q为线段CF上一点，且，证明：平面；（2）若E到平面的距离为，与平面所成角的正弦值为，求AP的长.证明：（1）连接交于点，连接，因为，且，所以，因为，所以，所以，所以，因平面，平面，所以平面；解：（2）分别取的中点，连接，则，且，因为四边形与四边形为全等的等腰梯形，所以，四边形为等腰梯形，且，，，，又，所以，因为平面，且为两条相交直线，所以平面，平面，所以平面平面.平面平面,过在平面内作的垂线，垂足为，则平面，，.过作，易得两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，设（），所以，，.设平面的一个法向量，则，令，解得，，所以，设PF与平面所成角的大小为，则，解得，且满足题意，所以，或.18.已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，右顶点为A，且，离心率为.（1）求C的方程；（2）已知点，M，N曲线C上两点（点M，N不同于点A），直线分别交直线于P，Q两点，若，证明：直线过定点.解：（1）设椭圆C的半焦距为c，由题意得，解得，故C的方程为.证明：（2）由题意可知直线的斜率不为0，否则将位于x轴同侧，，不合题意；设的方程为（），代入，得，由，得，设Mx1,y1，N所以，，直线AM的方程为，令，得，故，同理可求，所以，，由，得，即，所以，所以，解得，（舍），所以直线MN的方程为，故直线MN过定点.19.已知函数（）.（1）当时，求的最小值；（2）若有2个零点，求a的取值范围.解：（1）的定义域为0,+∞.当时，，.令（），则，所以在上0,+∞单调递增，又，所以当x∈0,1时，gx<0，当x∈1,+∞时，gx所以在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，所以.（2）由题意知（）.①当时，f'x>0在0,+∞上恒成立，所以在0,+∞②当时，令，则在0,+∞上恒成立，所以hx在0,+因为，，所以存在唯一，使得，所以.当x∈0,x0时，hx<0，；当x∈x所以在上单调递减，在上单调递增，所以.（a）当时，由（1）知，即时，，且，只有一个零点1，不合题意；（b）当时，因为，则，又在上单调递减，所以，而，令，则.当时，φ'x>0，φx在1,+∞上单调递增；当时，φ'x所以；当时，，即.又，所以，所以，由的单调性及零点存在定理，知在上有且仅有一个零点.又在上有且仅有一个零点1，所以，当时，存在两个零点；（c）当时，由，得，又在上单调递增，所以.取，则，所以.当x∈0,1时，，所以，所以，所以.又因为，，由的单调性及零点存在定理，知在上有且有一个零点，又1为在内的唯一零点，所以当时，存在两个零点.综上可知，a的取值范围是.江西省九师联盟2024届高三上学期1月质量检测考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足，则（）A.3 B.2 C. D.1【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选：C.2.已知集合，，则（）A B. C. D.【答案】B【解析】由，得或，所以或，所以.由得，所以，所以.故选：B3.如图是正方体的表面展开图，在原正方体中，直线AB与CD所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将正方体的表面展开图还原为正方体，与在正方体中的位置如图所示，由于平面平面，故，又，且平面，故AB⊥平面，平面，所以，故直线与所成角的大小为.故选：D.4.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，即，所以，所以.故选：C.5.下表统计了2017年～2022年我国的新生儿数量（单位：万人）.年份201720182019202020212022年份代码x123456新生儿数量y17231523146512001062956经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且，据此预测2023年新生儿数量约为（）（精确到0.1）（参考数据：）A.773.2万 B.791.1万 C.800.2万 D.821.1万【答案】A【解析】由题意得，，所以，，当时，.故选：A.6.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）A.，互斥 B. C. D.【答案】C【解析】因为每次只取一球，故，是互斥的事件，故A正确；由题意得，，，，，故B，D均正确；因为，故C错误.故选：C.7.阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，其离心率，从发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，，，由题意知，，，所以，，，所以，又，所以，解得，所以.故选：B.8.若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】原不等式等价于，设，，则，令，得，当时，，单调递增；当时，f'x<0，单调递减又，时，，因此y=fx与y=g当时，显然不满足题意；当时，当且仅当，或由第一个不等式组，得，即，由第二个不等式组，得，该不等式组无解.综上所述，.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.过抛物线（）的焦点作直线，交抛物线于两点，若，则直线的倾斜角可能为（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】当的倾斜角为锐角时，如图所示，由抛物线（）的焦点为，准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为，直线交准线于，作，垂足为，则，，，所以，，所以，则，所以直线的倾斜角；当直线的倾斜角为钝角时，如图所示，由抛物线（）的焦点为，准线方程为，分别过作准线的垂线，垂足为，直线交准线于，作，垂足为，则，，，所以，，所以，则，则的倾斜角为.故选：BC.10.已知函数，若的图象过，，三点，其中点B为函数图象的最高点（如图所示），将图象上的每个点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（

）A. B.C.的图象关于直线对称 D.在上单调递减【答案】BC【解析】由题意得，得，又，则，所以.由，得，由图知在0,m上单调递增，所以，，解得.又，只可能，所以，所以，根据已知图象平移可得，故A错误，B正确；因为，所以的图象关于直线对称，故C正确；令，，解得，，令，得，故上不单调，故D错误.故选：BC.11.如图，正方体的棱长为2，点E是AB的中点，点P为侧面内（含边界）一点，则（）A.若平面，则点P与点B重合B.以D为球心，为半径的球面与截面的交线的长度为C.若P为棱BC中点，则平面截正方体所得截面的面积为D.若P到直线的距离与到平面的距离相等，则点P的轨迹为一段圆弧【答案】ABC【解析】正方体中，平面，平面，，正方形中，，平面，，则平面，平面，，同理，，平面，，平面，若点P不与B重合，因为平面，则，与矛盾，故当平面时，点P与B重合，故A正确；，，三棱锥为正三棱锥，故顶点D在底面的射影为的中心H，连接DH，由，得，所以，因为球的半径为，所以截面圆的半径，所以球面与截面的交线是以H为圆心，为半径的圆在内部部分，如图所示，，所以.，所以，同理，其余两弦所对圆心角也等于，所以球面与截面的交线的长度为，故B正确；对于C，过E，P的直线分别交DA、DC的延长线于点G，M，连接、，分别交侧棱于点N，交侧棱于点H，连接EH和NP，如图所示：则截面为五边形，，，，，，，故，所以，，所以五边形的面积，故C正确；因为平面，平面，所以，点P到直线的距离即点P到点的距离，因为平面平面，故点P到平面的距离为点P到的距离，由题意知点P到点的距离等于点P到的距离，故点P的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线在侧面内的部分，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的常数项为__________．（用数字作答）．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，得，故常数项为．故答案为：.13.已知A为圆C：上的动点，B为圆E：上的动点，P为直线上的动点，则的最大值为______________.【答案】【解析】设关于直线的对称点为，则，解得，故，则圆关于对称的圆的方程为，要使的值最大，则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线，且该直线过两点，如图，其最大值为.故答案为：.14.在1，3中间插入二者的乘积，得到1，3，3，称数列1，3，3为数列1，3的第一次扩展数列，数列1，3，3，9，3为数列1，3的第二次扩展数列，重复上述规则，可得1，，，…，，3为数列1，3的第n次扩展数列，令，则数列an的通项公式为______.【答案】【解析】因为，所以，所以，又，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节.某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得4分，答错不得分.（1）若一共有100人应聘，他们的笔试得分X服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）；（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩Y的数学期望.附：若（），则，，.解：（1）因为服从正态分布，所以，，，所以.进入面试的人数，.因此，进入面试的人数大约为16.（2）由题意可知，的可能取值为0，2，4，6，8，10，则；；；；；.所以.16.如图，在△ABC中，AB=BC=2，D为△ABC外一点，AD=2CD=4，记∠BAD=α，∠BCD=β.（1）求的值；（2）若△ABD的面积为，△BCD的面积为，求的最大值.解：（1）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，所以，.（1）由题意知，，所以，由（1）知，，所以，所以，所以当时，取得最大值，最大值为.17.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，窟盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍甍”如图所示，四边形为矩形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，P是线段AD上一点.（1）若点P是线段AD上靠近点A的三等分点，Q为线段CF上一点，且，证明：平面；（2）若E到平面的距离为，与平面所成角的正弦值为，求AP的长.证明：（1）连接交于点，连接，因为，且，所以，因为，所以，所以，所以，因平面，平面，所以平面；解：（2）分别取的中点，连接，则，且，因为四边形与四边形为全等的等腰梯形，所以，四边形为等腰梯形，且，，，，又，所以，因