2024届福建省高三下学期重点中学联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省2024届高三下学期重点中学联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为复数在复平面内的对应点为，所以，则，所以的虚部为，故选：C.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，即，由可得，则，即，故.故选：D.3.2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（）A.1.587 B.1.442C.0.587 D.0.442（）【答案】C【解析】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，设，当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为，则，两式相比得：，即，故，故圆轨道半径增加的倍数大约是.故选：C.4.孪生素数也称为孪生质数，是指一对素数，它们之间相差2，例如3和5，11和13.从不大于20的素数中任意选取2个，则这2个素数为孪生素数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不大于20的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，一共8个素数，从中任意选取2个有，其中2个素数为孪生素数的4种；故概率为：.故选：C5.已知为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，，点在第四象限，且，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且，所以.又，，且，所以，所以，.所以.故选：B6.已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，恒成立，所以对恒成立，故，又当时，为单调递增的数列，故要使对任意，都有，则，即，解得，综上可得，故选:C7.若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令,则等价于有两个根，由于时，有两个根；∴原题等价于与有一个公共点，如图，则且，所以.故选：B.8.已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：上三点，且，，直线BC与x轴交于点D，若，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取BC的中点M，设Ax1,y1，，，，则∵A，C在椭圆E上，∴，两式相减，得，即，∴．∵，∴，连接OM，则，∴，∴，∴．∵，∴，又，，∴，得．∴，∴，即，∴E的离心率.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在正六边形中，（）A. B.C. D.在上的投影向量为【答案】CD【解析】,故A错误，连接相交于，相交于，则，为，的中点,由于,所以,故B错误，,故C正确，由于故故，所以在上的投影向量为，D正确，故选：CD10.如图，在直三棱柱中，，，，点M为的中点，则（）A.直线与直线为异面直线B.线段上存在点N，使得平面C.点C到平面的距离为D.线段上存在点E，使得平面【答案】ACD【解析】选项A：显然直线与直线为异面直线，故A正确．选项B：若平面，则由平面，可得．在直三棱柱中，，又，，平面，故平面，∴，故点与点重合，即．在矩形中，，，∴，∴不与垂直，故B错误．选项C：易知两两垂直，且，∴，∴，．设到平面的距离为d，则由，可得，解得，故C正确．选项D：如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，若平面，则．∵为中点，∴为的中点．记的中点为，连接，设与交于点，由，易知≌，得到，故，又，∴，则，故线段上存在点，使得平面，故D正确．故选：ACD.11.已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（）A.B.过点的切线方程C.对，不等式恒成立D.若为函数的极值点，则【答案】ACD【解析】恒有，，可设（其中C为常数），又对任意正数恒有，对任意的正数恒有，，，，即，对于A，由上式可得，故A正确；对于B，，设切点为，则切线斜率为，，化简得，解，所以点就是切点，所以切线方程为，故B错误；对于C，令，，则，令，可得，，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，所以，对恒成立，故C正确；对于D，设，，在上单调递增，且，，所以使在上单调递减，在上单调递增，为函数的极小值点且满足，，，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若为偶函数，则______．【答案】【解析】fx的定义域为，关于坐标原点对称，,因为fx所以，得，解得.13.已知点，是抛物线C：上不同的两点，，若C的焦点F到直线AB的距离为3，则直线AB斜率的绝对值为______.【答案】【解析】由题意知，直线AB的斜率一定不为0，设直线AB的方程为，联立得:，故，解得：，焦点到直线AB的距离为3，故，解得：,故直线AB斜率的绝对值：.14.已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______.【答案】【解析】如图根据题意，平面，所以即为与平面所成角，则，又因为，，所以，则,又，即三角形为直角三角形，取中点，则为三角形外接圆圆心，取中点，则，且，所以，即为三棱锥的外接球球心，其半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.（1）求；（2）若的面积为，求的周长.解：（1）由正弦定理得，则.（2），得，由余弦定理，即，则，所以，的周长为.16.随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响．为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018—2022年的线下销售额如下：年份编号12345年份20182019202020212022销售额（单位：万元）1513146512021060860（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额．参考公式及数据：，，解：（1）由已知数据可得，，所以，所以因为非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系（2）由已知数据可得，所以，所以，关于的回归方程为令，则（万元）所以预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元．17.如图，在四棱台中，已知底面为正方形，M为的中点，，且平面，.（1）求证：平面平面；（2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长.解：（1）在棱台中，易知，则四点共面，又平面，平面平面，平面，所以，因，底面为正方形，所以，因为平面，所以平面，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）由（1）结论，可知侧面底面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设与底面夹角为，则，，，，，因为，则，，设平面的一个法向量为，则，令，则，即，设平面的一个法向量为，则，取，所以则根据题意有，所以或，所以或.18.在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点，点P为圆A上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为C.（1）求C的方程.（2）斜率存在且不为0的直线l与C交于M，N两点，点D在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件，证明另外一个成立.①轴；②直线l经过点；③D，B，N三点共线.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解：（1）由题意知，,,且点B-2,0则,故点Q的轨迹为是以为焦点，长轴的双曲线，故，双曲线的方程为：.（2）设点，直线l的方程为：，联立得：，化简得：，且.若选择①②证明③：轴，且点D在C上，则，直线l经过点，故，即，此时,故,其中，，故，即，，所以D，B，N三点共线.若选择①③证明②：轴，且点D在C上，则，由D，B，N三点共线，知，故，化简得：，即，故直线l的方程为：，过定点.若选择②③证明①：直线l经过点，故，即，由D，B，N三点共线，知，故化简得：，故直线和直线关于对称，所以关于对称，故轴，19.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设.如果对任意，，求的取值范围．解：（1）f(x)的定义域为(0，+)，.当a≥0时，＞0，故f(x)在(0，+)单调增加；当a≤－1时，＜0，故f(x)在(0，+)单调减少；当－1＜a＜0时，令＝0，解得x=.当x∈(0，)时，＞0；x∈(，+)时，＜0，故f(x)（0，）单调增加，在（，+）单调减少.（2）不妨假设x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在（0，+）单调减少.所以等价于≥4x1－4x2，，即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x，则+4＝.于是≤＝≤0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)≤g(x2)，即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2，故对任意x1，x2∈(0，+)，.福建省2024届高三下学期重点中学联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为复数在复平面内的对应点为，所以，则，所以的虚部为，故选：C.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得，即，由可得，则，即，故.故选：D.3.2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（）A.1.587 B.1.442C.0.587 D.0.442（）【答案】C【解析】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，设，当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为，则，两式相比得：，即，故，故圆轨道半径增加的倍数大约是.故选：C.4.孪生素数也称为孪生质数，是指一对素数，它们之间相差2，例如3和5，11和13.从不大于20的素数中任意选取2个，则这2个素数为孪生素数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不大于20的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，一共8个素数，从中任意选取2个有，其中2个素数为孪生素数的4种；故概率为：.故选：C5.已知为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，，点在第四象限，且，，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且，所以.又，，且，所以，所以，.所以.故选：B6.已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，恒成立，所以对恒成立，故，又当时，为单调递增的数列，故要使对任意，都有，则，即，解得，综上可得，故选:C7.若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令,则等价于有两个根，由于时，有两个根；∴原题等价于与有一个公共点，如图，则且，所以.故选：B.8.已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：上三点，且，，直线BC与x轴交于点D，若，则E的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取BC的中点M，设Ax1,y1，，，，则∵A，C在椭圆E上，∴，两式相减，得，即，∴．∵，∴，连接OM，则，∴，∴，∴．∵，∴，又，，∴，得．∴，∴，即，∴E的离心率.故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在正六边形中，（）A. B.C. D.在上的投影向量为【答案】CD【解析】,故A错误，连接相交于，相交于，则，为，的中点,由于,所以,故B错误，,故C正确，由于故故，所以在上的投影向量为，D正确，故选：CD10.如图，在直三棱柱中，，，，点M为的中点，则（）A.直线与直线为异面直线B.线段上存在点N，使得平面C.点C到平面的距离为D.线段上存在点E，使得平面【答案】ACD【解析】选项A：显然直线与直线为异面直线，故A正确．选项B：若平面，则由平面，可得．在直三棱柱中，，又，，平面，故平面，∴，故点与点重合，即．在矩形中，，，∴，∴不与垂直，故B错误．选项C：易知两两垂直，且，∴，∴，．设到平面的距离为d，则由，可得，解得，故C正确．选项D：如图，连接，交于点，连接，交于点，连接，若平面，则．∵为中点，∴为的中点．记的中点为，连接，设与交于点，由，易知≌，得到，故，又，∴，则，故线段上存在点，使得平面，故D正确．故选：ACD.11.已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（）A.B.过点的切线方程C.对，不等式恒成立D.若为函数的极值点，则【答案】ACD【解析】恒有，，可设（其中C为常数），又对任意正数恒有，对任意的正数恒有，，，，即，对于A，由上式可得，故A正确；对于B，，设切点为，则切线斜率为，，化简得，解，所以点就是切点，所以切线方程为，故B错误；对于C，令，，则，令，可得，，可得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，，所以，对恒成立，故C正确；对于D，设，，在上单调递增，且，，所以使在上单调递减，在上单调递增，为函数的极小值点且满足，，，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若为偶函数，则______．【答案】【解析】fx的定义域为，关于坐标原点对称，,因为fx所以，得，解得.13.已知点，是抛物线C：上不同的两点，，若C的焦点F到直线AB的距离为3，则直线AB斜率的绝对值为______.【答案】【解析】由题意知，直线AB的斜率一定不为0，设直线AB的方程为，联立得:，故，解得：，焦点到直线AB的距离为3，故，解得：,故直线AB斜率的绝对值：.14.已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______.【答案】【解析】如图根据题意，平面，所以即为与平面所成角，则，又因为，，所以，则,又，即三角形为直角三角形，取中点，则为三角形外接圆圆心，取中点，则，且，所以，即为三棱锥的外接球球心，其半径，所以三棱锥的外接球的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.（1）求；（2）若的面积为，求的周长.解：（1）由正弦定理得，则.（2），得，由余弦定理，即，则，所以，的周长为.16.随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响．为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018—2022年的线下销售额如下：年份编号12345年份20182019202020212022销售额（单位：万元）1513146512021060860（1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额．参考公式及数据：，，解：（1）由已知数据可得，，所以，所以因为非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系（2）由已知数据可得，所以，所以，关于的回归方程为令，则（万元）所以预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元．17.如图，在四棱台中，已知底面为正方形，M为的中点，，且平面，.（1）求证：平面平面；（2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长.解：（1）在棱台中，易知，则四点共面，又平面，平面平面，平面，所以，因，底面为正方形，所以，因为平面，所以平面，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面；（2）由（1）结论，可知侧面底面，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设与底面夹角为，则，，，，，因为，则，，设平面的一个法向量为，则，令，则，即，设平面的一个法向量为，则，取，所以则根据题意有，所以或，所以或.18.在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：