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第第页专题2.1等腰(直角)三角形中的分类讨论问题专项讲练1、等腰三角形中的分类讨论:【解题技巧】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题,优先考虑分类讨论,再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。1.无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论;②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论;③遇高线需分高在△内和△外两类讨论;④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。2.“两定一动”等腰三角形存在性问题:(常见于与坐标系综合出题,后续会专题进行讲解)即:如图:已知,两点是定点,找一点构成等腰方法:两圆一线具体图解:①当时,以点为圆心,长为半径作⊙,点在⊙上(,除外)②当时,以点为圆心,长为半径作⊙,点在⊙上(,除外)③当时,作的中垂线,点在该中垂线上(除外)注意:本专题部分题目涉及勾股定理,希望大家学习完第3章后再完成该专题训练。例1.(2022·上虞市实验中学初二月考)在如图所示的三角形中,∠A=30°,点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点,分别连接BP和PQ,把△ABC分割成三个三角形△ABP,△BPQ,△PQC,若分割成的这三个三角形都是等腰三角形,则∠C有可能的值有________个.变式1.(2021·保定市第三中学分校初二期中)如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,在轴上确定点,使为等腰三角形,则符合条件的点有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个例2.(2022·福建·厦门一中八年级期末)在平面直角坐标系中,点A(10,0)、B(0,3),以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC,则点C的坐标为_______.变式2.(2022·黑龙江密山·八年级期末)如图,直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点,.(1)求A,B两点的坐标;(2)若点O到AB的距离为,求线段AB的长;(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在点P,使△ABP是以AB为腰的等腰三角形,若存在请直接写出满足条件的点P的坐标.例3.(2021·北京·北方工业大学附属学校八年级期中)Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,以AC为一边.在△ABC外部作等腰直角三角形ACD,则线段BD的长为____.变式3.(2021·浙江余杭·八年级期中)如图,已知在中,,,,若动点P从点B开始,按的路径运动,且速度为每秒2个单位长度,设出发的时间为t秒.(1)出发2秒后,求CP的长.(2)出发几秒钟后,CP恰好平分的周长.(3)当t为何值时,为等腰三角形?例4.(2022·江西宜春·八年级期末)规定:在直角三角形中,如果直角边是斜边的一半,那么它所对的锐角为30°.等腰三角形ABC中,于点D,若,则底角的度数为______.变式4.(2021·重庆市荣昌初级中学八年级期中)如图1,一副直角三角板△ABC和△DEF,∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠F=30°,点B、D、C、F在同一直线上,点A在DE上.如图2,△ABC固定不动,将△EDF绕点D逆时针旋转α(0°<α<135°)得△E′DF',当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时,α的大小为___.2、直角三角形中的分类讨论:【解题技巧】1.无图需分类讨论——经典运用:已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论。2.“两定一动”直角三角形存在性问题:(常见于与坐标系综合出题,后续会专题进行讲解)即:如图:已知,两点是定点,找一点构成方法:两线一圆具体图解:①当时,过点作的垂线,点在该垂线上(除外)②当时,过点作的垂线,点在该垂线上(除外)③当时,以为直径作圆,点在该圆上(,除外)例1.(2022·江西九江·八年级期末)已知在平面直角坐标系中A(﹣2,0)、B(2,0)、C(0,2).点P在x轴上运动,当点P与点A、B、C三点中任意两点构成直角三角形时,点P的坐标为________.例2.(2021·江苏兴化·八年级期中)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D、E在边BC所在的直线上,且AB=DB,AC=EC,则∠DAE的度数为________.变式1.(2021·广东广州·八年级阶段练习)在中,若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形,其中一个为等腰三角形,另一个为直角三角形,则称这条直线为的关于点的二分割线.例如:如图,在中,,,若过顶点的一条直线交于点,且,则直线是的关于点的二分割线.如图,已知,同时满足:①为最小角;②存在关于点的二分割线,则的度数为______.例3.(2021·河南·郑州市第六十三中学三模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,点P是边AC上一动点,把△ABP沿直线BP折叠,使得点A落在图中点A′处,当△AA′C是直角三角形时,则线段CP的长是_________.变式2.(2021•海州区校级一模)如图,在△ABC中,AB=BC=6,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为.例4.(2022·全国·八年级专题练习)如图,,点A是延长线上的一点,,动点P从点A出发沿以的速度移动,动点Q从点O出发沿以的速度移动,如果点同时出发,用表示移动的时间,当_____s时,是等腰三角形;当___s时,是直角三角形.变式3.(2022·浙江·诸暨市八年级期中)如图∠MAN=60°,若△ABC的顶点B在射线AM上,且AB=6,动点C从点A出发,以每秒1个单位沿射线AN运动,当运动时间t是_______秒时,△ABC是直角三角形.课后训练1.(2022·安徽淮北·九年级阶段练习)如图,在中,,,.若点P为直线BC上一点,且为等腰三角形,则符合条件的点P有(
).A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.(2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校八年级阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,在轴上确定点,使为等腰三角形,则符合条件的点有(
)A.2个 B.3个 C.4个 D.5个3.(2022·四川广元·八年级期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C为原点,C所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有(
)A.6个B.7个C.8个D.9个4.(2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末)在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,2),在y轴确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P有____个.5.(2022·全国·八年级课时练习)如图,在中,,,,.是边上的一个动点,点与点关于直线对称,当为直角三角形时,的长为________.6.(2022·全国·八年级课时练习)如图,,点A是延长线上的一点,,动点P从点A出发沿以的速度移动,动点Q从点O出发沿以的速度移动,如果点同时出发,用表示移动的时间,当_________s时,是等腰三角形;当_________s时,是直角三角形.7.(2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团八年级期中)如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点P是BC边上的一个动点,点B与B′是关于直线AP的对称点,当△CPB'是直角三角形时,BP的长=_______.8.(2022·河南平顶山·八年级期末)如图,中,,,的平分线与线段交于点,且有,点是线段上的动点(与A、不重合),连接,当是等腰三角形时,则的长为___________.9.(2022·河北承德·八年级期末)如图,,,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线运动,嘉琪在研究过程中发现,随着点Р运动,形状在发生变化,设点P的运动时间为t秒.(1)当是直角三角形时,t的值为_________;(2)当是钝角三角形时,t满足的条件是____________.10.(2022·全国·八年级专题练习)已知:如图,线段和射线有公共端点.求作:点,使点在射线上,且为等腰三角形.(利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点,不写作法,保留作图痕迹)11.(2022·山东·周村二中八年级期中)在同一平面内,若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形,则
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