2025年高考数学复习新题速递之一元函数导数及其应用（2024年9月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习新题速递之一元函数导数及其应用（2024年9月）一．选择题（共8小题）1．（2024秋•吴江区校级月考）曲线y＝x2ex在点（1，e）处的切线方程为（）A．ex+y﹣2e＝0 B．3ex+y﹣4e＝0 C．3ex﹣y﹣2e＝0 D．ex﹣3y+2e＝02．（2024•七星区校级模拟）已知函数f（x）的定义域为R，且f(0)=f(π2)=1，若f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）•cosy，则函数fA．以π为最小正周期 B．最大值是1 C．在区间(-πD．在x=π23．（2024•安徽开学）已知函数f(x)=2sinx+cosx-5x，若a＝f（lg2），b＝f（ln3），c＝f（（﹣1）0），则a，bA．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a4．（2024春•湖北期中）下列求导运算正确的是（）A．(cosπ3)'=-sinπ3C．(log2x)'=1xln2 D．（5．（2024春•成都期中）函数y＝f（x）在定义域(-32，3)内可导，记y＝f（x）的导函数为y＝f'（x）．y＝f'（x）的图象如图所示，则yA．(-32，-1B．(-1，1C．(-1，-D．(-32，6．（2024春•中山市期末）已知函数f（x）＝lnx﹣ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥13 7．（2023秋•沙坪坝区校级期末）曲线y＝lnx+x2在点（1，1）处的切线方程是（）A．3x﹣y﹣2＝0 B．3x﹣y+2＝0 C．2x﹣y﹣1＝0 D．2x﹣3y+1＝08．（2024春•成都期中）已知limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)2Δx=3A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024•江西开学）已知函数f（x）＝2x3﹣3x2，则（）A．1是f（x）的极小值点 B．f（x）的图象关于点(12C．g（x）＝f（x）+1有3个零点 D．当0＜x＜1时，f（x2﹣1）＞f（x﹣1）（多选）10．（2024•山东开学）已知f(x)=exx+1(x＞-1)，g（x）＝（1﹣x）ex（x＜1），且f（a）＝f（b）＝1.01，g（c）＝g（d）＝0.99．若a＞A．a+b＞0 B．a+d＞0 C．b+c＞0 D．c+d＞0（多选）11．（2024•江阳区校级开学）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx的导函数为f′（x），则（）A．若f（x）为奇函数，则f′（x）为偶函数 B．若a＝0，则f（x）只有一个零点 C．若f′（x）的最小值为0，则a2＝3b D．若f′（x）为偶函数且b＜0，则f（x）有两个极值点（多选）12．（2024•衡水三模）已知函数f（x）＝x3﹣mx2，x＝2是函数f（x）的一个极值点，则下列说法正确的是（）A．m＝3 B．函数f（x）在区间（﹣1，2）上单调递减 C．过点（1，﹣2）能作两条不同直线与y＝f（x）相切 D．函数y＝f[（f（x）]+2有5个零点三．填空题（共4小题）13．（2024秋•五华区校级月考）曲线f（x）＝ex﹣x在x＝0处的切线方程为．14．（2024秋•靖远县月考）若曲线y＝ln（x+1）+x在原点处的切线也是曲线y＝ex﹣2+a的切线，则a＝．15．（2024•珠海模拟）直线y＝ax﹣e与曲线C：y＝xlnx相切，则a＝．16．（2024春•斗门区校级月考）已知函数y＝f（x）是可导函数，且f'（1）＝2，则limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=四．解答题（共4小题）17．（2024•沙坪坝区校级开学）如果函数F（x）的导数F′（x）＝f（x），可记为F（x）＝∫f（x）dx．若f（x）≥0，则abf(x)dx=F(b)-F(a)表示曲线y＝f（x），x＝a，x＝b以及x轴围成的曲边梯形”的面积（其中a（1）若F（x）＝∫xdx，且F（1）＝1，求F（x）；（2）当0＜α＜（3）证明：1+118．（2024春•博望区校级月考）已知函数f（x）＝xln（x﹣1）．（1）求曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程；（2）设g（x）＝f′（x），求函数g（x）的最小值；19．（2024秋•汉中月考）已知函数f(x)=x（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的值域．20．（2024秋•辽宁月考）根据要求完成下列问题：（1）解关于x的不等式（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0（m∈R）；（2）若不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0（m∈R）对任意x∈[-1

2025年高考数学复习新题速递之一元函数导数及其应用（2024年9月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2024秋•吴江区校级月考）曲线y＝x2ex在点（1，e）处的切线方程为（）A．ex+y﹣2e＝0 B．3ex+y﹣4e＝0 C．3ex﹣y﹣2e＝0 D．ex﹣3y+2e＝0【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】C【分析】直接利用导数的几何意义求解．【解答】解：由y＝x2ex，得y′＝2xex+x2ex＝xex（x+2），∴该曲线在点（1，e）处的切线斜率为k＝3e，故所求切线方程为y﹣e＝3e（x﹣1），即3ex﹣y﹣2e＝0．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．2．（2024•七星区校级模拟）已知函数f（x）的定义域为R，且f(0)=f(π2)=1，若f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）•cosy，则函数fA．以π为最小正周期 B．最大值是1 C．在区间(-πD．在x=π2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．【答案】D【分析】先通过赋值法求得f(x)=2sin(x+π4)【解答】解：令x＝0，y＝t，得f（t）+f（﹣t）＝2cost，令x=π2+t，y=π2，得f（π+t）令x=π2，y=π2+t，得f（π+t）+由以上3式，得f（t）＝sint+cost，即f(x)=sinx+cosx=2则f（x）的周期为T＝2π，且f（x）的最大值为2，故A，B错误；令x∈(-π4，π4)，则在(π2，π)上单调递减，故f（x）的在区间因为f′（x）＝cosx﹣sinx，则k=f'则在x=π2处的切线方程是y=-故选：D．【点评】本题考查利用导数研究某点的切线方程，考查正弦函数的性质，是中档题．3．（2024•安徽开学）已知函数f(x)=2sinx+cosx-5x，若a＝f（lg2），b＝f（ln3），c＝f（（﹣1）0），则a，bA．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理．【答案】B【分析】先求导后结合辅助角公式得到原函数为单调减函数，再对数和指数的运算求解即可．【解答】解：因为f(x)=2sinx+cosx-故f'其中cosφ=255因为0＜lg2＜1，（﹣1）0＝1，ln3＞1，故lg2＜（﹣1）0＜ln3，所以f（lg2）＞f（（﹣1）0）＞f（ln3），所以a＞c＞b．故选：B．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，函数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于中档题．4．（2024春•湖北期中）下列求导运算正确的是（）A．(cosπ3)'=-sinπ3C．(log2x)'=1xln2 D．（【考点】基本初等函数的导数．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】C【分析】根据求导公式计算，得到答案．【解答】解：A选项，(cosπ3)'=(B选项，(1x)'=-C选项，(log2x)'=D选项，（3x）′＝3xln3，D错误．故选：C．【点评】本题考查导数的运算，属于基础题．5．（2024春•成都期中）函数y＝f（x）在定义域(-32，3)内可导，记y＝f（x）的导函数为y＝f'（x）．y＝f'（x）的图象如图所示，则yA．(-32，-1B．(-1，1C．(-1，-D．(-32，【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】数形结合；综合法；导数的综合应用；数学抽象．【答案】B【分析】由已知结合导数与单调性关系即可求解．【解答】解：结合函数的图象可知，当-1＜x＜12和43＜x＜8故选：B．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．6．（2024春•中山市期末）已知函数f（x）＝lnx﹣ax在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围为（）A．a≥1 B．a＞1 C．a≥13 【考点】由函数的单调性求解函数或参数．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】A【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为a≥1【解答】解：因为f（x）＝lnx﹣ax，所以f'因为f（x）在区间[1，3]上单调递减，所以f′（x）≤0，即1x-a≤0，则a≥1x在因为y=1x在[1，3]上单调递减，所以ymax＝1，故a≥故选：A．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．7．（2023秋•沙坪坝区校级期末）曲线y＝lnx+x2在点（1，1）处的切线方程是（）A．3x﹣y﹣2＝0 B．3x﹣y+2＝0 C．2x﹣y﹣1＝0 D．2x﹣3y+1＝0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】A【分析】求得函数的导数，将x＝1代入可得切线方程的斜率，再用点斜式即可得出答案．【解答】解：因为y'=1x+2x，所以k＝y′|x又因为曲线y＝lnx+x2过点（1，1），由点斜式可得y﹣1＝3（x﹣1），化简可得3x﹣y﹣2＝0，所以切线方程是3x﹣y﹣2＝0．故选：A．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是中档题．8．（2024春•成都期中）已知limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)2Δx=3A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】D【分析】利用极限的性质以及导数的定义化简即可求解．【解答】解：因为limΔx→0则lim△x→0所以f′（x0）＝6．故选：D．【点评】本题考查了极限的性质以及导数的定义，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024•江西开学）已知函数f（x）＝2x3﹣3x2，则（）A．1是f（x）的极小值点 B．f（x）的图象关于点(12C．g（x）＝f（x）+1有3个零点 D．当0＜x＜1时，f（x2﹣1）＞f（x﹣1）【考点】利用导数求解函数的极值；利用导数求解函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】AB【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明f（x）+f（1﹣x）＝﹣1得函数图象的对称点判断选项B；利用函数单调性和零点存在定理判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D．【解答】解：对于A，函数f（x）＝2x3﹣3x2，f′（x）＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），令f′（x）＝0，解得x＝0或x＝1，故当x∈（﹣∞，0）时f′（x）＞0，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故1是f（x）的极小值点，故A正确；对于B，因为f（x）+f（1﹣x）＝2x3﹣3x2+2（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2＝2x3﹣3x2+2﹣6x+6x2﹣2x3﹣3+6x﹣3x2＝﹣1，所以f（x）的图象关于点(12，对于C，g（x）＝f（x）+1＝2x3﹣3x2+1，易知g（x），f（x）的单调性一致，而g（1）＝0，故g（x）＝f（x）+1有2个零点，故C错误；对于D，当0＜x＜1时，﹣1＜x2﹣1＜x﹣1＜0，而f（x）在（﹣1，0）上单调递增，故f（x2﹣1）＜f（x﹣1），故D错误．故选：AB．【点评】本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）10．（2024•山东开学）已知f(x)=exx+1(x＞-1)，g（x）＝（1﹣x）ex（x＜1），且f（a）＝f（b）＝1.01，g（c）＝g（d）＝0.99．若a＞A．a+b＞0 B．a+d＞0 C．b+c＞0 D．c+d＞0【考点】利用导数求解函数的单调性和单调区间．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】AC【分析】根据题意，利用导数分别求得函数f（x），g（x）的单调性与最值，结合f（x）g（﹣x）＝1合理转化，转化为函数h（x）＝（1﹣x）e2x﹣x﹣1，利用h（x）的单调性与最值，逐项判定，即可求解．【解答】解：由函数f(x)=exx+1当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣1，0）上单调递减；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以，当x＝0时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（0）＝1，又由g（x）＝（1﹣x）ex，可得g′（x）＝﹣xex，当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减，所以，当x＝0时，函数g（x）取得最大值，最大值为g（0）＝1，对于A中，要证a+b＞0，即证0＞b＞﹣a，因为函数f（x）在（﹣1，0）上单调递减，所以f（b）＜f（﹣a），因为f（a）＝f（b），即证f（a）＜f（﹣a），即证（1﹣a）e2a﹣a﹣1＜0，（0＜a＜1），设h（x）＝（1﹣x）e2x﹣x﹣1＜0，（0＜x＜1），可得h′（x）＝（1﹣2x）e2x﹣1，令φ（x）＝h′（x）＝（1﹣2x）e2x﹣1，可得φ′（x）＝﹣4xe2x＞0，所以ϕ（x）单调递增，且φ（0）＝0，所以φ（x）＜0，即h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调减，所以h（x）＜h（0）＝0，即b＞﹣a，所以a+b＞0，所以A正确；对于C中，注意到f（x）g（﹣x）＝1，又由f（b）g（c）＝10.1×0.99＜1，所以g(c)＜因为c＞0，﹣b＞0，且g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以c＞﹣b，所以b+c＞0，所以C正确；对于B中，由f（x）g（﹣x）＝1，可得f（a）g（d）＜1，所以f(a)＜又由a＞0，﹣d＞0，且f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以a＜﹣d，所以a+d＜0，所以B不正确；对于D中，要证c+d＞0，即证0＞d＞﹣c，因为g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，即证g（d）＞g（﹣c），因为g（c）＝g（d），即证g（c）＞g（﹣c），即证（1﹣c）e2c﹣c﹣1＞0，设h（x）＝（1﹣x）e2x﹣x﹣1，（x＜0），可得h′（x）＝（1﹣2x）e2x﹣1，令φ（x）＝h′（x）＝（1﹣2x）e2x﹣1，可得φ′（x）＝﹣4xe2x＞0，所以φ（x）在定义域上单调递增，且φ（0）＝0，所以φ（x）＞0，即h′（x）＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上单调增，所以h（x）＜h（0）＝0，这与h（x）＞0矛盾，所以c+d＞0不成立，所以D不正确．故选：AC．【点评】本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）11．（2024•江阳区校级开学）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx的导函数为f′（x），则（）A．若f（x）为奇函数，则f′（x）为偶函数 B．若a＝0，则f（x）只有一个零点 C．若f′（x）的最小值为0，则a2＝3b D．若f′（x）为偶函数且b＜0，则f（x）有两个极值点【考点】利用导数求解函数的极值；奇函数偶函数的判断；求函数的零点．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；数学运算．【答案】ACD【分析】根据奇偶性定义可判断A；取b＝﹣1可判断B；根据二次函数最值可判断C；利用导数求单调性可判断D．【解答】解：对A，若f（x）为奇函数，则a＝0，f（x）＝x3+bx，f′（x）＝3x2+b，因为f′（﹣x）＝3（﹣x）2+b＝3x2+b＝f′（x），所以f′（x）为偶函数，A正确；对B，若a＝0，不妨取b＝﹣1，解f（x）＝x3﹣x＝0得x＝﹣1，0，1，B错误；对C，若f′（x）＝3x2+2ax+b的最小值为0，则4×3b-4a24×3=0，即a2＝3对D，若f′（x）＝3x2+2ax+b为偶函数，则a＝0，又b＜0，解f′（x）＝3x2+b＞0得x＜--b解f′（x）＝3x2+b＜0得--所以f（x）在(-∞，--b所以f（x）有两个极值点，D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了导数与极值及最值关系，函数零点个数的判断，函数奇偶性的判断，属于中档题．（多选）12．（2024•衡水三模）已知函数f（x）＝x3﹣mx2，x＝2是函数f（x）的一个极值点，则下列说法正确的是（）A．m＝3 B．函数f（x）在区间（﹣1，2）上单调递减 C．过点（1，﹣2）能作两条不同直线与y＝f（x）相切 D．函数y＝f[（f（x）]+2有5个零点【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理．【答案】AD【分析】对于A，B：求导分析单调性，即可判断A，B是否正确；对于C：设过点（1，﹣2）且与函数y＝f（x）相切的切点为（x0，y0），则写出切线方程，把切点坐标代入，解得x0，即可判断D是否正确；对于D：令f（x）＝t，则f（t）＝﹣2的根有三个，作出图像，即可判断故D是否正确．【解答】解：对于A、B：f′（x）＝3x2﹣2mx，又x＝2是函数f（x）的一个极值点，所以f′（2）＝0，解得m＝3，则f′（x）＝3x（x﹣2），令f′（x）＝0，解得x1＝0或x2＝2，所以在（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0，2）上f′（x）＜0，在（2，+∞）上f′（x）＞0，所以f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，故A选项正确，B选项错误；对于C：设过点（1，﹣2）且与函数y＝f（x）相切的切点为（x0，y0）．则该切线方程为y＝f′（x0）（x0﹣1）﹣2＝（3x02-6x0）（x﹣1由于切点（x0，y0）满足直线方程，则f(x整理得2（x0﹣1）（x02-2x0+1解得x0＝1，所以只能作一条切线，故C选项错误；对于D：令f（x）＝t，则f（t）＝﹣2的根有三个，如图：所以﹣1＜t1＜0＜t2＜t3，故方程f（x）＝t有3个不同根，方程f（x）＝t2和f（x）＝t3均有1个根，故y＝f[f（x）]+2有5个零点，故D选项正确．故选：AD．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•五华区校级月考）曲线f（x）＝ex﹣x在x＝0处的切线方程为y＝1．【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】y＝1．【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程．【解答】解：因为f（x）＝ex﹣x，则f（0）＝1，又f′（x）＝ex﹣1，所以f′（0）＝0，所以曲线f（x）＝ex﹣x在x＝0处的切线方程为y＝1．故答案为：y＝1．【点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题．14．（2024秋•靖远县月考）若曲线y＝ln（x+1）+x在原点处的切线也是曲线y＝ex﹣2+a的切线，则a＝2ln2．【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】2ln2．【分析】求导，根据y＝ln（x+1）+x在原点处的切线方程为y＝2x，进而根据公切线满足的数量关系得y＝ex﹣2+a的切点为（ln2，a），将其代入y＝2x即可求解．【解答】解：由y＝ln（x+1）+x得y'所以曲线y＝ln（x+1）+x在原点处的切线为y＝2x．由y＝ex﹣2+a得y′＝ex，设切线与曲线y＝ex﹣2+a相切的切点为(x由两曲线有公切线得ex0=2，解得x0＝ln2，则切点为（ln2因为切点在切线y＝2x上，所以a＝2ln2．故答案为：2ln2．【点评】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．15．（2024•珠海模拟）直线y＝ax﹣e与曲线C：y＝xlnx相切，则a＝2．【考点】由函数的切线方程求解函数或参数．【专题】对应思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】2．【分析】设切点坐标为（t，tlnt），由导数的几何意义求解即可．【解答】解：设切点坐标为（t，tlnt），由于y′＝lnx+1，所以切线的斜率为：k＝lnt+1，所以曲线在（t，tlnt）处的切线方程为：y＝（lnt+1）（x﹣t）+tlnt，即y＝（lnt+1）x﹣t，所以t＝e，a＝lnt+1＝lne+1＝2．故答案为：2．【点评】本题考查导数的几何意义及其应用，考查运算求解能力，是基础题．16．（2024春•斗门区校级月考）已知函数y＝f（x）是可导函数，且f'（1）＝2，则limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．【专题】整体思想；定义法；导数的概念及应用；数学运算．【答案】1．【分析】由已知根据导数的定义求解即可．【解答】解：因为函数y＝f（x）是可导函数，且f'（1）＝2，所以，根据导数的定义，limΔx→0故答案为：1．【点评】本题主要考查了导数的定义，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2024•沙坪坝区校级开学）如果函数F（x）的导数F′（x）＝f（x），可记为F（x）＝∫f（x）dx．若f（x）≥0，则abf(x)dx=F(b)-F(a)表示曲线y＝f（x），x＝a，x＝b以及x轴围成的曲边梯形”的面积（其中a（1）若F（x）＝∫xdx，且F（1）＝1，求F（x）；（2）当0＜α＜（3）证明：1+1【考点】利用导数研究函数的单调性；定积分的应用．【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（1）F(x)=x（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义得到．（2）先由新定义的运算得到0acosxdx=sinα-sin0=sinα，再构造函数h（x）＝sinx﹣xcos（3）先证明x≥1时lnx≤12【解答】解：（1）因为(x22又F（1）＝1，代入上式可得F(1)=12+C=1所以F(x)=x（2）证明：因为F（x）＝∫cosxdx＝sinx+C，所以0a设h（x）＝sinx﹣xcosx，0＜x＜π2，则h′（x）＝x所以h（x）在0＜x＜π2上单调递增，h（x）min＞h（0（3）证明：令f(x)=lnx-12(x-1x)∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，∵f（1）＝0，∴x≥1时f（x）≤0恒成立；知当x≥1时lnx≤12(x-1∵n+1n＞1∴ln21＜1-1lnn+1累加得ln(n+1)＜即ln(n+1)＜∴1+1【点评】本题考查导数和定积分的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．18．（2024春•博望区校级月考）已知函数f（x）＝xln（x﹣1）．（1）求曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程；（2）设g（x）＝f′（x），求函数g（x）的最小值；【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】综合题；对应思想；综合法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）y＝2x﹣4；（2）2．【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；（2）利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值．【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为（1，+∞），可得f'此时f′（2）＝2，又f（2）＝0，所以曲线y＝f（x）在x＝2处的切线方程为y＝2（x﹣2），即y＝2x﹣4；（2）因为g(x)=f'(x)=ln(x-1)+x可得g'当1＜x＜2时，g′（x）＜0；当x＞2时，g′（x）＞0，所以函数g（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以g（x）在x＝2处取得极小值即最小值．则g（x）min＝g（2）＝2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．19．（2024秋•汉中月考）已知函数f(x)=x（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[﹣1，2]上的值域．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．【答案】（1）递增区间为（0，2），递减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）；（2）[0，e]．【分析】（1）求定义域后求导数，令导数大于0得到单调递增区间；令导数小于0得到单调递减区间；（2）由（1）的单调性可得函数的极值，再求出端点处的函数值与极值进行比较即可得到最值．【解答】解：（1）函数f(x)=x2ef'由f′（x）＞0，得0＜x＜2；由f′（x）＜0，得x＜0或x＞2，故函数f（x）的递增区间为（0，2），递减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞）．（2）由（1）可得f（x）在[﹣1，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，∴f（x）在x＝0处取得极小值即最小值，∴f（x）min＝f（0）＝0，又f(-∴f（x）max＝f（﹣1）＝e，∴函数f（x）在[﹣1，2]上的值域为[0，e]．【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于中档题．20．（2024秋•辽宁月考）根据要求完成下列问题：（1）解关于x的不等式（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0（m∈R）；（2）若不等式（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0（m∈R）对任意x∈[-1【考点】不等式恒成立的问题；解一元二次不等式．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（1）答案见解析；（2）[1，+∞）．【分析】（1）对不同参数范围进行讨论，求解不等式即可．（2）利用分离参数法结合换元法对函数进行化简，再利用基本不等式求解范围即可．【解答】解：（1）因为（m+1）x2﹣2mx+m﹣1≥0，当m+1＝0时，即m＝﹣1时，原不等式可化为2x﹣2≥0，解得x≥1，所以原不等式的解集为[1，+∞）；当m+1≠0时，即m＝﹣1时，原不等式可化为[（m+1）x﹣（m﹣1）]（x﹣1）≥0，当m+1＞0时，即m＞﹣1时，(x-因为m-1m+1=1-2当m+1＜0时，即m＜﹣1时，(x-因为m-1m+1=1-2（2）因为（m+1）x2﹣（m﹣1）x+m﹣1≥0，即m•（x2﹣x+1）≥﹣x2﹣x+1，因为x2-x+1=(x-所以m≥故m≥令1﹣x＝t，因为-12≤x≤所以m≥-1+2tt因为t+1t≥2，当且仅当t＝1所以m≥1，且仅当x＝0时取等号，即实数m的取值范围为[1，+∞）．【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．

考点卡片1．解一元二次不等式【知识点的认识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．特征当△＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）当△＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．当△＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．【解题方法点拨】例1：一元二次不等式x2＜x+6的解集为．解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成ax2+bx+c＜0的形式；然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘法；最后结合其图象便可求解．【命题方向】一元二次不等式ax2+bx+c＞0﹣将不等式转化为ax2+bx+c＝0形式，求出根．﹣根据根的位置，将数轴分为多个区间．﹣在各区间内选择测试点，确定不等式在每个区间内的取值情况．﹣综合各区间的解，写出最终解集．不等式x2﹣2x＞0的解集是（）解：不等式x2﹣2x＞0整理可得x（x﹣2）＞0，可得x＞2或x＜0，{x|x＜0或x＞2}2．奇函数偶函数的判断【知识点的认识】奇函数如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．偶函数如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【解题方法点拨】①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．【命题方向】奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．3．求函数的零点【知识点的认识】一般地，对于函数y＝f（x）（x∈R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f（x）（x∈D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．【解题方法点拨】解法﹣﹣二分法①确定区间[a，b]，验证f（a）*f（b）＜0，给定精确度；②求区间（a，b）的中点x1；③计算f（x1）；④若f（x1）＝0，则x1就是函数的零点；⑤若f（a）f（x1）＜0，则令b＝x1（此时零点x0∈（a，x1））；⑥若f（x1）f（b）＜0，则令a＝x1．（此时零点x0∈（x1，b）⑦判断是否满足条件，否则重复（2）～（4）【命题方向】常见题型包括求解一元一次函数、二次函数、多项式函数、分段函数的零点．函数y＝x-1x的零点为解：根据题意，若x-1x=0，解可得x即函数y＝x-1x的零点为±4．含Δx表达式的极限计算与导数的关系【知识点的认识】导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）=【解题方法点拨】导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）=△x→0②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．【命题方向】常见题型包括利用极限定义导数，解决涉及导数和变化率的实际问题．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为f′（x0），则limΔx→0A．2f′（x0）B．﹣2f′（x0）C．12f'(x解：根据题意，limΔx→0f(x0+Δx)-f(故选：C．5．基本初等函数的导数【知识点的认识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′=1x*（logae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[f(x)g(x)]′=3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．【命题方向】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0B．2014C．2015D．8解：f′（x）＝acosx+3bx2，∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinxB．（lnx﹣2x）′=1xC．（2sin2x）′＝2cos2xD．（sinxx）′解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；对于选项B，(lnx-2x对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，(sinxx)'=故选C．6．利用导数研究函数的单调性【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f'(x)+m（Ⅲ）求证：ln22解：（Ⅰ）f'(x)=a(1-x)当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(x)=x∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g'(2)（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln27．利用导数求解函数的单调性和单调区间【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B8．由函数的单调性求解函数或参数【知识点的认识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．【命题方向】导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f'(x)+m（Ⅲ）求证：ln22解：（Ⅰ）f'(x)=a(1-x)当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）f'(2)=-a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣∴g(x)=x∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴g由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：g'(1)＜0g'(2)（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴0∴ln29．利用导数研究函数的极值【知识点的认识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．10．利用导数求解函数的极值【知识点的认识】1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．2、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣零点分析：求解f'（x）＝0以找到可能的极值点．﹣极值判断：通过二阶导数或导数符号变化判断极值类型．【命题方向】常见题型包括利用导数求解函数的极值，分析函数在极值点的行为．已知函数f（x）＝﹣lnx+2x﹣2．求函数f（x）的极值．解：f（x）的定义域为（0，+∞）．令f'（x）＝0，得-1x+2=0令f'（x）＞0，得x＞12；令f'（x）＜0故f（x）在(0，12所以f（x）存在极小值为f(111．利用导数研究函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．12．利用导数求解函数的最值【知识点的认识】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上