2025年高考数学复习新题速递之相等关系与不等关系（2024年9月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习新题速递之相等关系与不等关系（2024年9月）一．选择题（共8小题）1．（2024•湖南开学）已知集合U=R，A．A⊆∁UB B．∁UA⊆B C．（∁UA）∪B＝U D．A∪B＝U2．（2024•湖南开学）已知集合A＝{x|log2（x+1）≤2}，B＝{﹣3，﹣1，2，5}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣1} B．{﹣1，2} C．{2} D．{2，5}3．（2024•湖南开学）由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案．第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉．下列说法正确的是（）A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定4．（2024•香河县校级模拟）设集合A={x|2x+1x-4≤0}，B＝{1，2，3，4，5}，则AA．7 B．8 C．15 D．165．（2023秋•福州月考）下列命题中的真命题是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若ac2＜bcC．若a＞b，则abD．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d6．（2023秋•武强县校级期末）已知a→=(1-m，2)，b→=(n，1)，m＞0，n＞0A．8 B．9 C．10 D．127．（2024•四川模拟）已知直线ax+by﹣2＝0（a＞0，b＞0）经过点（1，4），则4aA．4 B．8 C．9 D．258．（2023秋•深圳校级月考）已知集合A＝{x|ln（x﹣1）＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣4，2） B．（﹣2，2） C．（1，2） D．（﹣2，4）二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024•河南模拟）已知a，b，c∈R，anb＝an+1+b2+c（n∈{0，1}），则下列说法正确的是（）A．当n＝c＝0时，a的取值范围是(-∞，B．当n＝1，c＝0时，a＝0 C．当n＝1，c＝﹣1时，ab的取值范围是（﹣∞，1] D．当n＝1，c＝﹣1时，a2+b2的取值范围是[（多选）10．（2024•句容市校级开学）设a，b为正数，且a﹣5b﹣4ab＝1，则（）A．a＞1 B．b＞14 C．a≥25b D．a+3（多选）11．（2024•南昌县校级开学）下列不等式恒成立的是（）A．a2+9≥6a B．若a≠0，则a+1C．若ab＞0，则baD．若a，b＞0，则ab（多选）12．（2023秋•固始县校级月考）已知a，b∈R，则下列叙述中正确的是（）A．“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件 B．若函数y=x+mx-2(x＞2，mC．若a＞b，则1aD．若a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则4a2+b2有最大值为1三．填空题（共4小题）13．（2024秋•浦东新区校级月考）不等式3x-2≥-1的解集为14．（2024•福鼎市校级开学）设A，B，C是非空集合，定义A•B•C＝{x|x∈A，且x∈B，且x∈C}．已知A={x|y=x2+4x}，B={y|y=3x+1}，C={x|x+2x-515．（2024•句容市校级开学）不等式log12(x216．（2024•包头开学）设x＞0，y＞0，1x+4y=1，则x+1y的最小值为四．解答题（共4小题）17．（2024•安徽开学）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；（2）如果书架上已摆放10本语义书，那么数学书最多还可以摆多少本？18．（2024•山东开学）解关于x的不等式：m(3x-8)3x-219．（2024秋•齐齐哈尔月考）已知关于x的不等式ax2﹣2x﹣8＜0的解集为{x|﹣2＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）若x＞0，y＞﹣2，且ax+by+2=420．（2023秋•故城县校级期末）已知a＞0，b＞0，且a+b﹣ab＝0．（1）求ab的最小值；（2）求2a+3b的最小值．

2025年高考数学复习新题速递之相等关系与不等关系（2024年9月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2024•湖南开学）已知集合U=R，A．A⊆∁UB B．∁UA⊆B C．（∁UA）∪B＝U D．A∪B＝U【考点】指、对数不等式的解法；集合的交并补混合运算．【专题】集合思想；定义法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】C【分析】解不等式得到集合A与B，由补集和并集运算法则，结合子集的概念得到答案．【解答】解：对于A，A={x|-所以∁UB＝{x|x≤﹣1}，则A不是∁UB的子集，选项A错误；对于B，∁UA＝{x|x≤﹣1或x≥3}，所以∁UA不是B的子集，选项B错误；对于C，（∁UA）∪B＝R＝U，选项C正确；对于D，A∪B＝（﹣1，﹣∞），选项D错误．故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的概念与运算问题，是基础题．2．（2024•湖南开学）已知集合A＝{x|log2（x+1）≤2}，B＝{﹣3，﹣1，2，5}，则A∩B＝（）A．{﹣3，﹣1} B．{﹣1，2} C．{2} D．{2，5}【考点】指、对数不等式的解法；求集合的交集．【专题】集合思想；综合法；集合；数学运算．【答案】C【分析】先解对数不等式求出集合A，再结合交集定义计算即可．【解答】解：因为log2（x+1）≤2，所以0＜x+1≤22，即﹣1＜x≤3，所以A＝（﹣1，3]，B＝{﹣3，﹣1，2，5}，所以A∩B＝{2}．故选：C．【点评】本题主要考查了对数不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题．3．（2024•湖南开学）由于猪肉的价格有升也有降，小张想到两种买肉方案．第一种方案：每次买3斤猪肉；第二种方案：每次买50元猪肉．下列说法正确的是（）A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】B【分析】设两次购买猪肉的价格分别为a，b，a＞0，b＞0，表达出两种方案购买的均价，结合基本不等式比较出大小，得到答案．【解答】解：不妨设两次购买猪肉的价格分别为a，b，a＞0，b＞0，第一种方案，均价为3a+3b6第二种方案，均价为10050其中a+b2≥ab，当且仅当a2aba+b≤2ab2ab故2aba+b≤a+b2，当且仅当所以采用第二种方案划算．故选：B．【点评】本题主要考查了不等式及基本不等式在实际问题中的应用，属于基础题．4．（2024•香河县校级模拟）设集合A={x|2x+1x-4≤0}，B＝{1，2，3，4，5}，则AA．7 B．8 C．15 D．16【考点】其他不等式的解法；子集与真子集；交集及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；集合；数学运算．【答案】B【分析】解分式不等式确定集合A，然后由交集定义计算A∩B，再由子集的性质得结论．【解答】解：由题意知，A={x|2x+1所以A∩B＝{1，2，3}，所以A∩B的子集的个数为23＝8．故选：B．【点评】本题主要考查分散不等式的解法，集合交集的运算，子集个数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．5．（2023秋•福州月考）下列命题中的真命题是（）A．若a＞b，则ac＞bc B．若ac2＜bcC．若a＞b，则abD．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d【考点】等式与不等式的性质；不等关系与不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】B【分析】选项A，不等式两边同乘一个正数才能保证不等号不变；选项B，不等式ac2＜bc2成立，默认c2选项C，从不等式a＞b到不等式ab＞1，是不等式两边同乘1选项D，对于结论a﹣c＞b﹣d，实际上是a+（﹣c）＞b+（﹣d），但﹣c＜﹣d，无法保证同向相加．【解答】解：选项A：若c≤0，则ac＞bc不成立，即A错误；选项B：由不等式性质可知：若ac2＜bc2，则有选项C：当a＞0，b＜0时，由a＞b，可得ab＜1选项D：当a＝5，b＝2，c＝11，d＝2时，有a＞b，c＞d成立，但此时a﹣c＝5﹣11＝﹣6，b﹣d＝2﹣2＝0，由﹣6＜0可知，a﹣c＞b﹣d不成立，即D错误．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．6．（2023秋•武强县校级期末）已知a→=(1-m，2)，b→=(n，1)，m＞0，n＞0A．8 B．9 C．10 D．12【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】B【分析】根据向量共线的坐标表示可得m+2n＝1，再结合基本不等式中的巧用1即可求解．【解答】解：若存在非零实数λ使得a→=λb→，即a→所以1﹣m＝2n，即m+2n＝1，所以1m当且仅当2nm=2m所以1m+2故选：B．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．7．（2024•四川模拟）已知直线ax+by﹣2＝0（a＞0，b＞0）经过点（1，4），则4aA．4 B．8 C．9 D．25【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；直线与圆；不等式；数学运算．【答案】B【分析】由题意可得a+4b＝2，然后利用乘1法及基本不等式即可求解．【解答】解：因为直线ax+by﹣2＝0（a＞0，b＞0）经过点（1，4），所以a+4b＝2，则4a+1b=12（4a+1b）（a+4b）=当且仅当a＝4b，即b=14，a＝故选：B．【点评】本题主要考查了乘1法及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（2023秋•深圳校级月考）已知集合A＝{x|ln（x﹣1）＜0}，B＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，则A∩B＝（）A．（﹣4，2） B．（﹣2，2） C．（1，2） D．（﹣2，4）【考点】指、对数不等式的解法；解一元二次不等式；求集合的交集．【专题】整体思想；综合法；集合；数学运算．【答案】C【分析】根据对数函数性质求集合A，根据二次不等式求集合B，进而根据交集运算求解．【解答】解：由题意可得：A＝{x|ln（x﹣1）＜0}＝{x|0＜x﹣1＜1}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，所以A∩B＝（1，2）．故选：C．【点评】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024•河南模拟）已知a，b，c∈R，anb＝an+1+b2+c（n∈{0，1}），则下列说法正确的是（）A．当n＝c＝0时，a的取值范围是(-∞，B．当n＝1，c＝0时，a＝0 C．当n＝1，c＝﹣1时，ab的取值范围是（﹣∞，1] D．当n＝1，c＝﹣1时，a2+b2的取值范围是[【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；数学运算．【答案】BD【分析】对于A，由条件可得a0b＝a+b2，结合幕的性质，即可排除A；对于B，由条件可得a2＝0，结合二次方程有解判别式大于等于0，判断B；对于C，由条件可得ab＝a2+b2﹣1，结合基本不等式求ab的取值范围，判断C；对于D，由条件可得ab＝a2+b2﹣1，结合C的结论，求a2+b2的范围，判断D．【解答】解：A选项中，当n＝c＝0时，anb＝an+1+b2+c可化为a0b＝a+b2，所以a＝b﹣b2，a≠0，所以a的取值范围是(-∞，0)∪B选项中，当n＝1，c＝0时，anb＝an+1+b2+c可化为a2＝0，所以Δ＝（﹣a）2﹣4a2＝﹣3a2≥0，所以a＝0，故B正确；C选项中，当n＝1，c＝﹣1时，anb＝an+1+b2+c可化为ab＝a2+b2﹣1由ab＝a2+b2﹣1≥2ab﹣1，得ab≤1，当且仅当a＝b时，等号成立，由ab＝a2+b2﹣1≥﹣2ab﹣1，得ab≥-13，当且仅当a所以ab的取值范围是[-13D选项中，由C选项，得ab∈[-所以a2+b2的取值范围是[23，故选：BD．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）10．（2024•句容市校级开学）设a，b为正数，且a﹣5b﹣4ab＝1，则（）A．a＞1 B．b＞14 C．a≥25b D．a+3【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】AC【分析】通过a﹣5b﹣4ab＝1变形为b（5+4a）＝a﹣1，a（1﹣4b）＝1+5b，可判定选项A，B；利用基本不等式构造ba的不等关系式即可判定选项C；利用a﹣5b﹣4ab＝1消元求出1b+a的最值，从而得到1+ab≥11b，将ab=【解答】解：对于AB，因为a﹣5b﹣4ab＝1，所以b（5+4a）＝a﹣1，且a（1﹣4b）＝1+5b，因为a，b为正数，所以a﹣1＞0，1﹣4b＞0，即a＞1，0＜b＜14对于C，因为a﹣5b﹣4ab＝1，所以同除a可得1-又a，b为正数，可得1-5ba则5(ba)2+4ba-1≤0，故0＜对于D，因为a﹣5b﹣4ab＝1，所以a=1b+51b所以1b+a=(1即1+ab≥11b，因为a﹣5b﹣4ab＝1，所以ab=a-5b-1又1+ab≥11b所以1+a-5b-1即a+3≥49b，故D不正确．故选：AC．【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．（多选）11．（2024•南昌县校级开学）下列不等式恒成立的是（）A．a2+9≥6a B．若a≠0，则a+1C．若ab＞0，则baD．若a，b＞0，则ab【考点】运用基本不等式求最值．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】ACD【分析】对于ACD，利用基本不等式分析判断，对于B，举例判断．【解答】解：对于A，a2+9＝a2+32≥6a，当且仅当a＝3时取等号，所以A正确．对于B，若a＝﹣1，则a+1a=-2对于C，因为ab＞0，所以ba所以ba+ab≥2ba⋅a对于D，因为a，b＞0，所以a+b2≥ab，当且仅当a所以ab≤(a+b2)2，当且仅当故选：ACD．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．（多选）12．（2023秋•固始县校级月考）已知a，b∈R，则下列叙述中正确的是（）A．“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件 B．若函数y=x+mx-2(x＞2，mC．若a＞b，则1aD．若a＞0，b＞0，且2a+b＝1，则4a2+b2有最大值为1【考点】运用基本不等式求最值；不等式比较大小．【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；不等式；数学运算．【答案】AB【分析】解不等式，再根据充分条件与必要条件的定义即可判断A项；利用基本不等式可判断B、D项；举反例排除C项；【解答】解：对于A，a2＞a⇔a（a﹣1）＞0，解得a＜0或a＞1，∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件，故A正确．对于B，∵x＞当且仅当x-2=mx-2，即x=2+m时等号成立，∴2m+2=6对于C，当a＝2，b＝﹣1时，1a＞1对于D，∵2a+b=1≥22ab，∴ab则4a2+∴4a2+b2有最小值为12，故D故选：AB．【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2024秋•浦东新区校级月考）不等式3x-2≥-1的解集为（﹣∞，﹣1]∪（2，+【考点】分式不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）．【分析】分式不等式移项，通分，再转化为一元二次不等式，即可求解．【解答】解：3x-2≥-1⇔3(x+1)(x-2)≥0x-2≠0，解得：x＞2所以不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题．14．（2024•福鼎市校级开学）设A，B，C是非空集合，定义A•B•C＝{x|x∈A，且x∈B，且x∈C}．已知A={x|y=x2+4x}，B={y|y=3x+1}，C={x|x+2x-5≤0}，则A•B•【考点】分式不等式；简单函数的定义域；指数函数的值域．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】{x|1＜x＜5}．【分析】分别求出集合A，B，C，依题意A•B•C是求三个集合的交集，据此求解即可．【解答】解：由x2+4x≥0得x≤﹣4或x≥0，所以A＝{x|x≤﹣4或x≥0}．因为3x＞0，所以3x+1＞1，所以B＝{y|y＞1}．由x+2x-5≤0得(x+2)(x-5)≤0x-5≠0所以C＝{x|﹣2≤x＜5}，因为A•B•C＝{x|x∈A，且x∈B，且x∈C}，所以A•B•C＝{x|1＜x＜5}，故答案为：{x|1＜x＜5}．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题．15．（2024•句容市校级开学）不等式log12(x2-x-2)＞【考点】指、对数不等式的解法．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】（2，3）．【分析】利用对数函数的单调性解不等式即可求解．【解答】解：由对数函数的性质可得：x，解得：x＞2，∵log且y=log∴x，解得：0＜x＜3，综上所述：不等式的解集为（2，3）．故答案为：（2，3）．【点评】本题主要考查对数不等式的解法，属于基础题．16．（2024•包头开学）设x＞0，y＞0，1x+4y=1，则x+1y的最小值为【考点】运用“1”的代换构造基本不等式．【专题】转化思想；构造法；不等式；数学运算．【答案】9．【分析】根据已知条件，结合基本不等式，求解即可．【解答】解：因为x＞0，y＞0，1x所以x+1当且仅当4xy=1xy，故答案为：9．【点评】本题考查了利用基本不等式求最值问题，是基础题．四．解答题（共4小题）17．（2024•安徽开学）如图，书架宽84cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8cm，每本语文书厚1.2cm．（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；（2）如果书架上已摆放10本语义书，那么数学书最多还可以摆多少本？【考点】不等关系与不等式．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】（1）数学书60本，语义书30本；（2）90本．【分析】（1）设书架上数学书x本，则语文书（90﹣x）本，根据题意列出方程求解即可；（2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可．【解答】解：（1）设书架上数学书x本，则语文书（90﹣x）本，根据题意得，0.8x+1.2（90﹣x）＝84，解得x＝60，所以90﹣x＝30，所以书架上数学书60本，语义书30本．（2）设数学书还可以摆m本，则10×1.2+0.8m≤84，解得m≤90，所以数学书最多还可以摆90本．【点评】本题主要考查了不等式及不等关系的应用，属于基础题．18．（2024•山东开学）解关于x的不等式：m(3x-8)3x-2【考点】分式不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．【答案】答案详见解析．【分析】将分式不等式整理等价转化为[（3m﹣3）x+2﹣8m]（3x﹣2）＞0，对参数m进行分类讨论即可得出对应的解集．【解答】解：由题意可知，m(3x-8)3x-2-1＞也即[（3m﹣3）x+2﹣8m]（3x﹣2）＞0．当m＝1时，不等式可化为﹣6×（3x﹣2）＞0，解得x＜若m≠1，则8m-23m-3当m＞1时，8m-23m-3＞23且3m﹣3＞0，解得当0＜m＜1时，8m-23m-3＜23且3m﹣3＜当m＜0时，8m-23m-3＞23且3m﹣3＜当m＝0时，原不等式可化为0＞1，解集为∅．综上所述：当m＞1时，不等式的解集为(-∞，当m＝1时，不等式的解集为(-∞，当0＜m＜1时，不等式的解集为(8m-2当m＜0时，不等式的解集为(2当m＝0时，不等式的解集为∅．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题．19．（2024秋•齐齐哈尔月考）已知关于x的不等式ax2﹣2x﹣8＜0的解集为{x|﹣2＜x＜b}．（1）求a，b的值；（2）若x＞0，y＞﹣2，且ax+by+2=4【考点】运用基本不等式求最值；解一元二次不等式．【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；不等式；数学运算．【答案】（1）a＝1，b＝4；（2）-7【分析】（1）结合二次方程与二次不等式的转化关系即可求解；（2）由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【解答】解：（1）因为ax2﹣2x﹣8＜0解集为（﹣2，b），所以b＞-24a-4=0（2）由（1）知，a＝1，b＝4，所以1x所以x+2y=1=1=1当且仅当2y+4x综上，x+2y最小值-7【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．20．（2023秋•故城县校级期末）已知a＞0，b＞0，且a+b﹣ab＝0．（1）求ab的最小值；（2）求2a+3b的最小值．【考点】基本不等式及其应用．【专题】整体思想；综合法；不等式；数学运算．【答案】（1）4；（2）5+26【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；（2）利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可．【解答】解：（1）因为a+b﹣ab＝0，所以1a+1所以ab≥4，当且仅当1a=1b，即a＝b＝2时等号成立，即（2）2a+3b=(1当且仅当即3ba=2a所以2a+3b的最小值为5+26【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．

考点卡片1．子集与真子集【知识点的认识】1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）．记作：A⊆B（或B⊇A）．2、真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集．所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集．{1，3}⊂{1，2，3，4}{1，2，3，4}⊆{1，2，3，4}3、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．【命题方向】本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题．2．交集及其运算【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．3．求集合的交集【知识点的认识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算性质：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）解：因为A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：D．4．集合的交并补混合运算【知识点的认识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律∁U（A∩B）＝∁UA∪∁UB，∁U（A∪B）＝∁UA∩∁UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅．【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．设全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，求：（Ⅰ）∁U（A∩B）；（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）；（Ⅲ）A∩（∁UB）．解：（Ⅰ）∵全集U＝R，A＝{x|0≤x＜8}，B＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|1＜x＜5}，∵全集U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅱ）（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）＝{x|x≤1或x≥5}；（Ⅲ）∵全集U＝R，B＝{x|1＜x＜5}，∴∁UB＝{x|x≤1或x≥5}，∵A＝{x|0≤x＜8}，∴A∩（∁UB）＝{x|0≤x≤1或5≤x＜8}．5．等式与不等式的性质【知识点的认识】1．不等式的基本性质（1）对于任意两个实数a，b，有且只有以下三种情况之一成立：①a＞b⇔a﹣b＞0；②a＜b⇔a﹣b＜0；③a＝b⇔a﹣b＝0．（2）不等式的基本性质①对称性：a＞b⇔b＜a；②传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；③可加性：a＞b⇒a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d⇒a+c＞b+d；⑤可积性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；⑥同向整数可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；⑦平方法则：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧开方法则：a＞b＞0⇒na＞nb（n∈N，且6．不等关系与不等式【知识点的认识】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如42与84就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞不等式定理①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命题方向】例1：解不等式：sinx≥1解：∵sinx≥1∴2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6∴不等式sinx≥12的解集为{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：当ab＞0时，a＞b⇔1a证明：由ab＞0，知1ab＞又∵a＞b，∴a⋅1ab＞b⋅若1a＜∴a＞b．这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．7．不等式比较大小【知识点的认识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【命题方向】方法一：作差法典例1：若a＜0，b＜0，则p=b2a+a2bA．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q解：p﹣q=b2a+a2b-a﹣b=b∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，若a＝b，则p﹣q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p﹣q＜0，此时p＜q，综上p≤q，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数(25)-1A．(65)-15＜(65)-解：由指数函数的单调性可知，(6由幂函数的单调性可知，(2则(2故(6故选：B．8．基本不等式及其应用【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b实例解析例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．A：a，b均为负数，则2ab+b2a≥2．B：x2+2x2解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．对于C选项中sinx≠±2，不满足“相等”的条件，再者sinx可以取到负值．故选：C．A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求y=xx2+2的最值？当0＜x＜解：当x＝0时，y＝0，当x≠0时，y=x用基本不等式若x＞0时，0＜y≤2若x＜0时，-24≤y综上得，可以得出-24≤∴y=xx2+2的最值是这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．【解题方法点拨】基本不等式的应用1、求最值例1：求下列函数的值域．2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【命题方向】技巧一：凑项点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．y＝x（8﹣2x）=12[2x•（8﹣2x）]≤12（2x+8-2x当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离例3：求y=x解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1=(x+1)当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2(x+1)×4x+1+5＝9（当且仅当技巧四：换元对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+a技巧六：整体代换点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．技巧七：取平方点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．9．运用基本不等式求最值【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b【解题方法点拨】在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式．例如，要求代数式x+1x的最小值，可以利用均值不等式x+1x≥2从而得出最小值为2，并且在【命题方向】均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等．例如，求解一个代数式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大．这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求解，并能正确代入和计算．已知正数a，b满足a+b＝1，则a+1+b+1的最大值是解：因为正数a，b满足a+b＝1，所以a+1+b+1＝3，则a+1+当且仅当a＝b=1故答案为：6．10．运用“1”的代换构造基本不等式【知识点的认识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：a+b2≥ab（a≥0，b≥0），变形为ab≤（a+b2）2或者a+b【解题方法点拨】在一些复杂的代数式问题中，结合已知条件中的和或积为常熟，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而构造均值不等式，简化问题．【命题方向】运用“1”的代换构造均值不等式时，可以通过将“1”表示为两个数的和或积，从而应用均值不等式．已知实数x，y∈R+，且x+y＝4，求1x解：∵x＞0，y＞0，x+y＝4，∴1x+3y=∴1x+3故答案为：1+311．分式不等式【知识点的认识】分式不等式指的是含有分式的数学不等式．解分式不等式时，关键是注意分母不为零．【解题方法点拨】将分式不等式转化为普通不等式，并限定分母部分不为零，找出符合不等式的区间．综合各区间解，写出最终解集．【命题方向】典型的命题包括解简单的分式不等式，结合实际应用题解分式不等式，以及分式不等式在函数单调性、最值问题中的应用．求不等式3x+13-x解：3x+13-x＞-1可化为2x+4x-3＜0，即（2x+4）（x解得：﹣2＜x＜3，所以原不等式的解集为：{x|﹣2＜x＜3}．12．指、对数不等式的解法【知识点的认识】不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值；②应用数形思想；③应用化归思想等价转化．注：常用不等式的解法举例（x为正数）：13．其他不等式的解法【知识点的认识】指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解．【解题方法点拨】例1：已知函数f（x）＝ex﹣1（e是自然对数的底数）．证明：对任意的实数x，不等式f（x）≥x恒成立．解：（I）设h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x∴h'（x）＝ex﹣1﹣1，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）为增，当x＜1时，h'（x）＜0，h（x）为减，当x＝1时，h（x）取最小值h（1）＝0．∴h（x）≥h（1）＝0，即f（x）≥x．这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单调性，考查的重点其实是大家的计算能力．例2：已知函数f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣