2025年高考数学复习新题速递之空间向量及其运算（2024年9月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习新题速递之空间向量及其运算（2024年9月）一．选择题（共8小题）1．（2024•湖南开学）已知空间向量p→=2a→-3b→A．（5，﹣3，4） B．（5，﹣2，4） C．（2，﹣3，3） D．（3，1，1）2．（2024•孝感开学）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝3，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，则向量A1A．29 B．34 C．52 D．33．（2024秋•吕梁月考）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BC，C1D1的中点．设AB→=a→，AD→A．-12a→+12b→+c→4．（2023秋•金安区校级期末）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠DAB＝90°，则|AA．26 B．25 C．23 5．（2023秋•叙州区校级期末）三棱柱ABC﹣DEF中，G为棱AD的中点，若BA→=a→，BC→A．-a→+b→-c→ B．16．（2024春•蜀山区校级期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为BB1，A1C1中点，过A，E，F作三棱柱的截面交B1C1于M，且B1M=λA．13 B．12 C．23 7．（2024春•泗洪县期中）已知空间单位向量a→，b→，c→A．3 B．6 C．3 D．68．（2023秋•三水区期末）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA→，OB→，A．14OA→+1C．14OA→+二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024•建安区校级开学）如图，球O与棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，G为正方形BCC1B1的中心，则（）A．球O与该正方体的体积之比为π3B．球O与该正方体的表面积之比为π6C．直线PQ被球O截得的线段的长度为2 D．过A，R，G三点的正方体的截面与球O的球面的交线长为π（多选）10．（2024•湖南开学）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为CD1的中点，Q为CA1上靠近点A1的五等分点，则（）A．AM→B．2AMC．AQ→D．5（多选）11．（2023秋•咸阳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若A（1，2，3），B（2，﹣1，0），C（﹣1，2，0），D四点可以构成一个平行四边形，则D的坐标可以为（）A．（0，﹣1，﹣3） B．（﹣2，5，3） C．（4，﹣1，3） D．（3，﹣2，0）（多选）12．（2024秋•三元区校级月考）关于空间向量，以下说法正确的是（）A．若a→⋅b→＞0B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点O，有OP→=112OA→+14OBD．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面三．填空题（共4小题）13．（2024•黑龙江开学）已知空间向量a→=(1，0，0)，b→14．（2024春•华安县校级月考）已知|a→|=3，b→15．（2023秋•莱芜区校级月考）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1各条棱长均为2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，则线段AC1的长度为．16．（2023秋•宝安区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知PA→=a→，PB→=b→，PC四．解答题（共4小题）17．（2024•湖南开学）在空间直角坐标系中，已知点A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），C（1，2，3）．（1）若AC→•BC→=2（2）求|AB|的最小值．18．（2024•原阳县校级开学）如图，在空间四边形OABC中，2BD→=DC→，点E（1）试用向量a→，b（2）若OA＝OB＝OC＝3，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求OE→19．（2024秋•三元区校级月考）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．（1）求体对角线AC1的长度；（2）求证：四边形BDD1B1为正方形．20．（2023秋•广丰区校级期末）如图，在棱长为4的正四面体ABCD中，E是AD的中点，BF→=3FC（1）求x+y+z的值；（2）求EF→•DF

2025年高考数学复习新题速递之空间向量及其运算（2024年9月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2024•湖南开学）已知空间向量p→=2a→-3b→A．（5，﹣3，4） B．（5，﹣2，4） C．（2，﹣3，3） D．（3，1，1）【考点】空间向量的共线与共面．【专题】计算题；整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】B【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理，结合单位正交基底，求向量的坐标．【解答】解：空间向量p→=2a→-3故p→+q→以{a→，故选：B．【点评】本题考查了空间向量的线性运算和空间向量基本定理，属于基础题．2．（2024•孝感开学）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝3，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，则向量A1A．29 B．34 C．52 D．3【考点】空间向量的数量积运算．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；直观想象；数学运算．【答案】D【分析】由已知结合向量的线性运算及向量数量积的性质即可求解．【解答】解：设CD→=a→，则A1C→|A1C→|＝|=9+9+9+2×3×3×＝35．故选：D．【点评】本题主要考查了向量的线性运算及向量数量积的性质的应用，属于基础题．3．（2024秋•吕梁月考）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是BC，C1D1的中点．设AB→=a→，AD→A．-12a→+12b→+c→【考点】空间向量的数乘及线性运算．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果．【解答】解：由题意可得，EF→故选：A．【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．4．（2023秋•金安区校级期末）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠DAB＝90°，则|AA．26 B．25 C．23 【考点】空间向量及其线性运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】B【分析】分析得出AC1→=AB【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，∠DAB＝90°，∴AB→⋅A∵AC1→∴AC∴|A故选：B．【点评】本题考查知识点：向量的线性运算，向量的数量积，向量的模，主要考查学生的运算能力，属于基础题．5．（2023秋•叙州区校级期末）三棱柱ABC﹣DEF中，G为棱AD的中点，若BA→=a→，BC→A．-a→+b→-c→ B．1【考点】空间向量的数乘及线性运算．【专题】对应思想；转化法；空间向量及应用；数学抽象．【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算法则与向量相等的定义，求解即可．【解答】解：CG→=CA→+AG→=CA→+故选：B．【点评】本题考查了空间向量的线性运算与向量相等的应用问题，是基础题．6．（2024春•蜀山区校级期末）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为BB1，A1C1中点，过A，E，F作三棱柱的截面交B1C1于M，且B1M=λA．13 B．12 C．23 【考点】空间向量的共线与共面．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】B【分析】以向量AB→，AC→，AA1→【解答】解：根据题意，可得AE→=AB由B1M=12AA1因为A、E、M、F四点共面，所以向量EM→与AE→、设EM→=xAE→+yAF→，则-λ1+λAB→+λ1+λAC→+1所以-λ1+λ=xλ1+λ=y故选：B．【点评】本题主要考查棱柱的结构特征、向量的线性运算、空间向量的共面定理等知识，考查了计算能力、图形的理解能力，属于中档题．7．（2024春•泗洪县期中）已知空间单位向量a→，b→，c→A．3 B．6 C．3 D．6【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】A【分析】直接利用向量的运算求出结果．【解答】解：空间单位向量a→，b→，c→两两垂直，所以a→⋅所以：|a→故|a故选：A．【点评】本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．8．（2023秋•三水区期末）如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA→，OB→，A．14OA→+1C．14OA→+【考点】空间向量的数乘及线性运算．【专题】计算题；对应思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】利用空间向量基本定理，空间向量的线性运算求解即可．【解答】解：∵M是四面体OABC的棱BC的中点，MN=12∴OM→=12（OB→∵AP=34∴OP→=OA=14OA=1故选：A．【点评】本题考查空间向量基本定理，空间向量的线性运算，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024•建安区校级开学）如图，球O与棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，G为正方形BCC1B1的中心，则（）A．球O与该正方体的体积之比为π3B．球O与该正方体的表面积之比为π6C．直线PQ被球O截得的线段的长度为2 D．过A，R，G三点的正方体的截面与球O的球面的交线长为π【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．【答案】BC【分析】根据正方体和球的表面积和体积公式，可判定A错误；B正确；连接OP，OQ，AQ，取PQ中点M，得到OM⊥PQ，求得M到PQ的距离，结合圆的弦长公式，可判定C正确；以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，求得AO→=(-1，1，1)和平面ARG的法向量，结合距离公式，得到过A，R，【解答】解：因为球O与棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的六个面都相切，对于A中，可得正方体的体积为V1＝2×2×2＝8，球的半径为r＝1，体积为V2球O与该正方体的体积之比为V2V1对于B中，正方体的表面积为S1＝6×2×2＝24，球的表面积为S2所以球O与该正方体的表面积之比为S2S1对于C中，连接OP，OQ，可得OP=OQ=2再连接AQ，在直角△PAQ中，可得PQ=P取PQ中点M，连接OM，则OM⊥PQ，可得OM=O即点M到PQ的距离为22所以直线PQ被球O截得的线段的长度为2r2-O对于D中，以D为原点，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，A（2，0，0），R（0，1，2），G（1，2，1），O（1，1，1），则AR→设平面ARG的法向量为n→=(x，令x＝1，可得y＝0，z＝1，所以n→所以点O到平面ARG的距离为d=|可得过A，R，G三点的正方体的截面恰好过球O的球心，所以截面交线的周长为2πr＝2π，所以D错误．故选：BC．【点评】本题考查正方体、球的表面积和体积公式、点到平面的距离、圆的弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（多选）10．（2024•湖南开学）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为CD1的中点，Q为CA1上靠近点A1的五等分点，则（）A．AM→B．2AMC．AQ→D．5【考点】空间向量的数乘及线性运算．【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．【答案】BD【分析】运用空间向量的基底表示，结合平面向量的三角形法则和线性运算规则可解．【解答】解：四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为CD1的中点，Q为CA1上靠近点A1的五等分点，则AM→即2AM→=AB→+2ADAQ→即5AQ→=AB→+AD故选：BD．【点评】本题考查了空间向量的基底表示和平面向量的三角形法则，属于中档题．（多选）11．（2023秋•咸阳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，若A（1，2，3），B（2，﹣1，0），C（﹣1，2，0），D四点可以构成一个平行四边形，则D的坐标可以为（）A．（0，﹣1，﹣3） B．（﹣2，5，3） C．（4，﹣1，3） D．（3，﹣2，0）【考点】空间向量的共线与共面；空间中的点的坐标．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】ABC【分析】分类考虑平行四边形顶点的位置，结合向量的相等，即可求得D点坐标，即得答案．【解答】解：由题意得AB→设D的坐标为（x，y，z），若四边形ABDC为平行四边形，则AB→=CD→，则（1，﹣3，﹣3）＝（x+1，y﹣此时D的坐标为（0，﹣1，﹣3）．若四边形ABCD为平行四边形，则AB→则（1，﹣3，﹣3）＝（﹣x﹣1，﹣y+2，﹣z），此时D的坐标为（﹣2，5，3）．若四边形ADBC为平行四边形，则AD→则（x﹣1，y﹣2，z﹣3）＝（3，﹣3，0），此时D的坐标为（4，﹣1，3）．故选：ABC．【点评】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于中档题．（多选）12．（2024秋•三元区校级月考）关于空间向量，以下说法正确的是（）A．若a→⋅b→＞0B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若对空间中任意一点O，有OP→=112OA→+14OBD．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面【考点】空间向量的共线与共面；空间向量的数量积运算．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】BC【分析】根据空间向量共面定理，即可判断出B的真假；根据a→⋅b→＞0，得到a→，b→【解答】解：对A，若a→⋅b→＞0，则a→，b对B，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确；对C，因为OP→=112OA→+14OB→+2对D，分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，因为空间中的向量是可以平行移动的，则两条向量共面，故D错误．故选：BC．【点评】本题考查空间向量的性质的应用，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．（2024•黑龙江开学）已知空间向量a→=(1，0，0)，b→【考点】空间向量的共线与共面．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算．【答案】0．【分析】由已知可得c→=xa【解答】解：因为a→所以c→=xa→+yb→，即（1，1，m）＝x（1，0，0）+y（0，1，0则x=1y=1.故答案为：0．【点评】本题主要考查空间向量的基本定理，属于基础题．14．（2024春•华安县校级月考）已知|a→|=3，b→【考点】空间向量的数量积运算．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】根据|2a→-【解答】解：由|a则|2a故答案为：37．【点评】本题考查了空间向量数量积的运算，重点考查了空间向量模的运算，属基础题．15．（2023秋•莱芜区校级月考）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1各条棱长均为2，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∠BAD＝90°，则线段AC1的长度为25．【考点】空间向量的数量积运算．【专题】数形结合；向量法；空间向量及应用；数学运算．【答案】25【分析】根据题意，利用空间向量数量积运算律求解即可．【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→，所以AC所以AC=AB→2+AD→2+AA1→2+＝4+4+4+2×2×2×0+2×2×2×12+2×2×2所以|AC1→|＝2所以线段AC1的长度为25故答案为：25【点评】本题考查了利用空间向量数量积求模长问题，是基础题．16．（2023秋•宝安区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，已知PA→=a→，PB→=b→，PC【考点】空间向量及其线性运算．【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用；数学运算．【答案】12【分析】利用空间向量的线性运算即可求解．【解答】解：BE→=12BP→+12故答案为：12【点评】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2024•湖南开学）在空间直角坐标系中，已知点A（x，5﹣x，2x﹣1），B（1，x+2，2﹣x），C（1，2，3）．（1）若AC→•BC→=2（2）求|AB|的最小值．【考点】空间向量的数量积运算．【专题】计算题；整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】（1）2或-1（2）357【分析】（1）根据向量的数量积坐标运算公式计算求参；（2）先由空间两点间的距离公式计算，再结合二次函数值域求解．【解答】解：（1）由题意可得AC→因为AC→解得x＝2或-1（2）由空间两点间的距离公式，得|AB|=(1-x当x=87时，|AB|有最小值【点评】本题考查了向量的数量积坐标运算和空间两点间的距离公式，属于中档题．18．（2024•原阳县校级开学）如图，在空间四边形OABC中，2BD→=DC→，点E（1）试用向量a→，b（2）若OA＝OB＝OC＝3，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求OE→【考点】空间向量的数量积运算；空间向量基底表示空间向量．【专题】整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．【答案】（1）12a→+13【分析】（1）先把OD→表示出来，然后由点E为AD的中点得OE（2）把OE→，BC【解答】解：（1）因为2BD→=所以BD→所以OD→因为点E为AD的中点，所以OE=1（2）因为OA＝OB＝OC＝3，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，即|OA→|＝|OB→|＝|OC→|则BC→=OC所以OE=1=1【点评】本题考查了向量的运算性质，属于中档题．19．（2024秋•三元区校级月考）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°．（1）求体对角线AC1的长度；（2）求证：四边形BDD1B1为正方形．【考点】空间向量的数量积运算．【专题】对应思想；向量法；空间向量及应用；数学运算．【答案】（1）AC（2）证明见解答．【分析】（1）根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求出|AC1|；（2）利用平行六面体的结构特征，结合已知及正方形的判断推理即得．【解答】（1）解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC由AB＝AD＝AA1＝1，∠BAA1＝∠BAD＝∠DAA1＝60°，得AD→所以|=AD=3+3×2×（2）证明：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1＝AA1＝DD1，BB1∥AA1∥DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，由AB＝AD＝1，∠BAD＝60°，得△ABD是等边三角形，即BD＝1＝DD1，则平行四边形BDD1B1为菱形，又BD→则BD→⊥BB1→所以四边形BDD1B1为正方形．【点评】本题考查空间向量数量积的运算以及平行六面体的结构特征等相关知识，属中档题．20．（2023秋•广丰区校级期末）如图，在棱长为4的正四面体ABCD中，E是AD的中点，BF→=3FC（1）求x+y+z的值；（2）求EF→•DF【考点】空间向量的数量积运算．【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用；数学运算．【答案】（1）12（2）9．【分析】（1）由题意，用DA→、DB→和DC→表示EF→，即可得出x、（2）由（1）知，利用数量积计算EF→•DF【解答】解：（1）因为E是AD的中点，BF→所以EF→=DF→-又EF→=xDA→+yDB→+zDC→所以x+y+z=-（2）因为DF→=1由正四面体ABCD的棱长为4，可得DA→•DB→=DA→•DC→=DB→•且DB→2=DC【点评】本题考查了空间向量的线性表示与数量积计算问题，是基础题．

考点卡片1．空间中的点的坐标【知识点的认识】1、在x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c），在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）．2、点P（a，b，c）关于x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，）点P（a，b，c）关于y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOy的对称点为（a，b，﹣c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面xOz的对称点为（a，﹣b，c，）；点P（a，b，c）关于坐标平面yOz的对称点为（﹣a，b，c，）；点P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）．3、已知空间两点P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段P1P2的中点坐标为（x12．空间向量及其线性运算【知识点的认识】1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为|AB→|，|a特别地：①规定长度为0的向量为零向量，记作0→②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a→的相反向量记为-5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0→②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．1．加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．2．加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．（1）交换律：a（2）结合律：(a3．推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：A1（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量A11．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a→的乘积λ①当λ＞0时，λa→与②当λ＜0时，λa→与③当λ＝0时，λa④|λa→|＝|λ|•|aλa→的长度是a→的长度的|λ2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）结合律：λ(μ注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±3．空间向量的数乘及线性运算【知识点的认识】1．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a→的乘积λ①当λ＞0时，λa→与②当λ＜0时，λa→与③当λ＝0时，λa④|λa→|＝|λ|•|aλa→的长度是a→的长度的|λ2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）结合律：λ(μ注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±【解题方法点拨】﹣标量运算：进行数乘运算时，将标量与向量分量相乘．﹣线性组合：应用线性组合公式，计算向量的线性组合结果．【命题方向】﹣向量数乘和线性运算：考查如何进行空间向量的数乘和线性组合运算．4．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果两个向量a→、b→不共线，则向量p→与向量a→、b→共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a→=λb→成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出（2）a→∥b→表示空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使MP→=xMA→+yMB→．满足这个关系式的点P证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共线向量的条件b→=λa→，推出比例关系求出解答：∵a→=（2x，1，3）与b→=（1，﹣2故有2x1∴x=16，y故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根据共面向量定理OM→=m⋅OA→+n⋅OB→+p⋅OC解答：由共面向量定理OM→说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．5．空间向量的数量积运算【知识点的认识】1．空间向量的夹角已知两个非零向量a→、b→，在空间中任取一点O，作OA→=a→，OB→=b→，则∠2．空间向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量a→、b→，则|a→||b→|cos＜a→，b→＞叫做向量a→与b→的数量积，记作a→•b→（2）几何意义：a→与b→的数量积等于a→的长度|a→|与b→在a→的方向上的投影|b→|cosθ的乘积，或b→的长度|b→|与3．空间向量的数量积运算律空间向量的数量积满足交换律和分配律．（1）交换律：(λa→)⋅b→=λ（a（2）分配律：a→4．数量积的理解（1）书写向量的数量积时，只能用符号a→⋅b→（2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）当a→≠0→时，由a→⋅b→=【解题方法点拨】利用数量积求直线夹角或余弦值的方法：利用数量积求两点间的距离：利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a→|=利用数量积证明垂直关系：（1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断a→⊥b→时，须指明（2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a→，b→，c→【命题方向】求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌