2025年高考数学复习新题速递之空间向量基本定理及坐标表示（2024年9月）

第1页（共1页）2025年高考数学复习新题速递之空间向量基本定理及坐标表示（2024年9月）一．选择题（共8小题）1．（2024•湖南开学）已知空间向量a→=(x，1，2)，A．1 B．-52 C．-322．（2024春•湘西州期末）已知A（﹣2，1，3），B（1，﹣1，4），则AB→A．（3，0，1） B．（﹣1，﹣2，1） C．（﹣1，0，7） D．（3，﹣2，1）3．（2024春•长春期末）已知向量p→在基底{a→，b→，c→}下的坐标是（A．（﹣2，4，﹣1） B．（2，5，2） C．（2，5，﹣1） D．（﹣2，4，1）4．（2024春•镇江期末）已知a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣1，4，﹣2），c→=（4，5，λ），如果a→，bA．0 B．9 C．5 D．35．（2024春•潍坊期末）如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点，且平面ABC中的小方格均为边长为1的正方形，＜OA→，AB→＞=＜OA→，AC→＞=60°，|A．15 B．15 C．23 D．6．（2023秋•安顺期末）p：a→，b→，c→是三个不共面的单位向量，q：{a→A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（2023秋•安顺期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设MN→=xOA→+yOB→A．13 B．12 C．23 8．（2024春•永昌县校级期末）已知{a→，b→，c→}A．0 B．﹣6 C．6 D．5二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024•浑南区校级开学）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若AB→=(-2，A．AP⊥AB B．AP⊥BP C．BC=53 D．AP⊥（多选）10．（2024春•大荔县期末）给出下列命题，其中正确的有（）A．空间任意三个向量都可以作为一个基底 B．已知向量a→∥b→，则aC．对空间任一向量p→，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得pD．如果a→，b→（多选）11．（2023秋•南宁期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，能作为空间的一个基底的一组向量有（）A．AA1→，AB→，AC→ B．BAC．AC1→，BD1→，CB1（多选）12．（2023秋•黔东南州期末）已知{aA．|aB．{a→C．（a→+b→）•（D．{a三．填空题（共4小题）13．（2023秋•江西期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且DE=23DP，BE→=xBA→+yBC→+z14．（2024秋•三元区校级月考）已知向量a→=(2，3，-2)，b→=(2，15．（2024春•泗洪县期中）已知A（2，1，3），B（﹣4，2，x），C（1，﹣x，2），若向量OA→+OC→与OB→垂直（O为坐标原点），则x等于16．（2024春•宁德期末）四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，且PE→=2EC→，若DE→=xAB四．解答题（共4小题）17．（2024•浑南区校级开学）已知空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，﹣2），C（3，0，﹣4），设a→（1）已知(a→+k（2）若|c→|=6，且c18．（2024•福建开学）已知点P（﹣2，0，2），Q（﹣1，1，2），R（﹣3，0，4），设a→=PQ→，（1）若实数k使ka→+b→（2）求a→在b19．（2024春•广陵区校级期中）已知空间三点A（0，﹣2，3）、B（﹣2，﹣1，6）、C（1，1，5）．（1）若向量m→与AB→平行，且|m（2）求以CB、CA为邻边的平行四边形的面积．20．（2023秋•开州区校级月考）已知向量a→=(1，1，0)，（1）若（a→+kb→）∥（a（2）若向量-a→-kb→

2025年高考数学复习新题速递之空间向量基本定理及坐标表示（2024年9月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2024•湖南开学）已知空间向量a→=(x，1，2)，A．1 B．-52 C．-32【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．【答案】B【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解．【解答】解：因为a→=(x，1，2)，b→=(4，2，故选：B．【点评】本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题．2．（2024春•湘西州期末）已知A（﹣2，1，3），B（1，﹣1，4），则AB→A．（3，0，1） B．（﹣1，﹣2，1） C．（﹣1，0，7） D．（3，﹣2，1）【考点】空间向量线性运算的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】D【分析】利用向量的坐标运算即可．【解答】解：由题意可得AB→故选：D．【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题．3．（2024春•长春期末）已知向量p→在基底{a→，b→，c→}下的坐标是（A．（﹣2，4，﹣1） B．（2，5，2） C．（2，5，﹣1） D．（﹣2，4，1）【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】由题意知p→=2a→+3b→-c→，设【解答】解：由题意知p→=2a→+3b→-c→，设所以p→所以x+y=2y+z=3z=-1，解得所以p→在基底{a→，a→+故选：A．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算和空间向量基本定理应用问题，是基础题．4．（2024春•镇江期末）已知a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣1，4，﹣2），c→=（4，5，λ），如果a→A．0 B．9 C．5 D．3【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；空间向量的共线与共面．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算．【答案】C【分析】根据已知条件，结合空间向量的基本定理，即可求解．【解答】解：∵a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣1，∴a→与b∵a→，b→，∴存在实数x，y使得c→=xa→+y故实数λ为5．故选：C．【点评】本题主要考查空间向量的基本定理，属于基础题．5．（2024春•潍坊期末）如图，已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外任意一点，且平面ABC中的小方格均为边长为1的正方形，＜OA→，AB→＞=＜OA→，AC→＞=60°，|A．15 B．15 C．23 D．【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】转化思想；数形结合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】A【分析】根据题意，得出OP→=OA→+【解答】解：由题意知，＜OA→，AB→＞=＜OA→，AC→＞所以OP→=OA所以OP→2=OA→2+4AB→2+AC→2+4OA→•AB→+2OA→•AC→+4AB→•AC→=4+4+1+4×2所以|OP→|=故选：A．【点评】本题考查了空间向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题．6．（2023秋•安顺期末）p：a→，b→，c→是三个不共面的单位向量，q：{a→A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；充分不必要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；简易逻辑；逻辑推理．【答案】A【分析】根据基底的含义与性质，结合充分、必要条件的定义，求解即可．【解答】解：根据基底的定义可知，若a→，b→，c→是三个不反过来，若{a→，b→，c→}所以p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查基底的含义与充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．7．（2023秋•安顺期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设MN→=xOA→+yOB→A．13 B．12 C．23 【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】B【分析】根据图形，结合空间向量的线性运算法则，求解即可．【解答】解：设BN→=λBC→，λ∈则MN→所以x=-12，y＝1﹣λ，z所以x+y+z=1故选：B．【点评】本题考查空间向量的线性运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．8．（2024春•永昌县校级期末）已知{a→，b→，c→}A．0 B．﹣6 C．6 D．5【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；空间向量的共线与共面．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．【答案】C【分析】首先化简向量n→【解答】解：n→=(x+4)a→+(y-x)b→所以(x+4)a所以x+4=2λ，y-x=3λ所以x+y＝6．故选：C．【点评】本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．（2024•浑南区校级开学）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若AB→=(-2，A．AP⊥AB B．AP⊥BP C．BC=53 D．AP⊥【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．【答案】ACD【分析】根据题意，结合空间向量的数量积的坐标运算，以及模的坐标表示，逐项判定，即可求解．【解答】解：因为向量AB⇀对于A，由AB⇀⋅AP⇀=-2×1+1×(-2)+4×1=0，所以AB⇀⊥对于B，由BP→=AP所以BP→与AP⇀不垂直，即AP与BP不垂直，选项对于C，由BC→=AC即BC=53，选项C对于D，由AP→⋅BC→=1×6+(-2)×1+1×(-4)=0，所以AP→⊥故选：ACD．【点评】本题考查了空间向量的数量积坐标运算问题，是基础题．（多选）10．（2024春•大荔县期末）给出下列命题，其中正确的有（）A．空间任意三个向量都可以作为一个基底 B．已知向量a→∥b→，则aC．对空间任一向量p→，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得pD．如果a→，b→【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；命题的真假判断与应用；平面向量的概念与平面向量的模．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理．【答案】BD【分析】根据共线向量、空间向量的基本定理、基底、单位向量概念等知识对选项进行分析，由此确定正确答案．【解答】解：对于A，因为{a→，b→，c→}是空间的一组基底，所以a对于B，因为a→∥b→，所以a→与b→共线，故对于C，当{a→，b→则存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p→=xa对于D，若a→，b→都是单位向量，则模长都为1，故|a故选：BD．【点评】本题主要考查基底的定义，空间向量基本定理，命题真假的判断，属于基础题．（多选）11．（2023秋•南宁期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，能作为空间的一个基底的一组向量有（）A．AA1→，AB→，AC→ B．BAC．AC1→，BD1→，CB1【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理；空间向量及其线性运算．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】AC【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解．【解答】解：画出正方体ABCD﹣A1B1C1D1，如图所示：对于A：AA1→，AB→，AC对于B：因为BD→=BA→+BC→由空间向量的基本定理可知，不能作为空间的一个基底，故选项B错误；对于C：AC1→，BD1→对于D：因为BA所以AD1→，BA1故选：AC．【点评】本题主要考查了空间向量的基本定理，属于基础题．（多选）12．（2023秋•黔东南州期末）已知{aA．|aB．{a→C．（a→+b→）•（D．{a【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】计算题；整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】ACD【分析】根据单位正交基底的定义判断A；利用空间向量基本定理判断BD；利用向量的运算判断C．【解答】解：因为{a→，所以|a→+(a→+因为a→-b→+假设存在实数x，y，使得x(a则x=1y-x=0y=-1，该方程组无解，所以{a故选：ACD．【点评】本题考查了单位正交基底的定义和空间向量基本定理，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．（2023秋•江西期末）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD上一点，且DE=23DP，BE→=xBA→+yBC→+z【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】43【分析】由已知选取BA→【解答】解：连接BD，如图所示：则BE→又BE→=xBA故答案是：43【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．14．（2024秋•三元区校级月考）已知向量a→=(2，3，-2)，b→=(2，【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．【答案】2．【分析】根据空间向量垂直的坐标关系即可求解．【解答】解：因为向量a→=(2，3，所以a→⋅b→=4-3m+2=0故答案为：2【点评】本题考查空间向量垂直的坐标关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（2024春•泗洪县期中）已知A（2，1，3），B（﹣4，2，x），C（1，﹣x，2），若向量OA→+OC→与OB→垂直（O为坐标原点），则x等于【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】103【分析】先求出OA→+OC→与OB→的坐标，再利用（【解答】解：∵A（2，1，3），B（﹣4，2，x），C（1，﹣x，2），∴OA+OC→=（2，1，3）+（1，﹣x，2）＝（3，1﹣x，5），OB→=（﹣∵向量OA→+OC∴（OA→+OC→∴﹣12+2（1﹣x）+5x＝0，解得x=10故答案为：103【点评】本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题．16．（2024春•宁德期末）四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，且PE→=2EC→，若DE→=xAB【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算．【答案】-2【分析】由已知结合向量的线性运算即可求解．【解答】解：棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，且PE→则DE→=DC=2若DE→=xAB→+yAD→+zAP→故xyz=-故答案为：-2【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．四．解答题（共4小题）17．（2024•浑南区校级开学）已知空间中三点A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，﹣2），C（3，0，﹣4），设a→（1）已知(a→+k（2）若|c→|=6，且c【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．【答案】（1）k=15；（2）c→【分析】（1）根据条件得到a→=(-1，（2）根据条件得到c→=(2λ，【解答】解：1）因为A（2，0，﹣2），B（1，﹣1，﹣2），C（3，0，﹣4），a→所以a→=(-1，又(a→+kb→（2）因为c→=λBC→=(2λ，λ，-2λ)，又|所以c→的坐标为c→=(4【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．18．（2024•福建开学）已知点P（﹣2，0，2），Q（﹣1，1，2），R（﹣3，0，4），设a→=PQ→，（1）若实数k使ka→+b→（2）求a→在b【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得．（2）利用投影向量的意义求解即得．【解答】解：（1）依题意，a→ka由ka→+b→与c→垂直，得所以k＝2．（2）由（1）知，a→⋅b所以a→在b→上的投影向量为【点评】本题考查空间向量坐标运算法则、向量垂直、向量投影等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（2024春•广陵区校级期中）已知空间三点A（0，﹣2，3）、B（﹣2，﹣1，6）、C（1，1，5）．（1）若向量m→与AB→平行，且|m（2）求以CB、CA为邻边的平行四边形的面积．【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．【答案】（1）（﹣2，1，3）或（2，﹣1，﹣3）；（2）73【分析】（1）由已知可设m→=λAB→，其中λ∈R，利用向量的模长公式求出（2）利用空间向量的数量积可求出C的值，然后利用三角形的面积公式可求得以CB、CA为邻边的平行四边形的面积．【解答】解：（1）由已知可得AB→因为向量m→与AB→平行，设m→=λ则|m→|=|λ|⋅|AB→所以m→=AB（2）cosC=CA→⋅CB→|CA→|⋅|所以以CB、CA为邻边的平行四边形的面积|CA【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．20．（2023秋•开州区校级月考）已知向量a→=(1，1，0)，（1）若（a→+kb→）∥（a（2）若向量-a→-kb→【考点】空间向量数量积的坐标表示．【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算．【答案】（1）k＝1；（2）{k|k＞-14且k【分析】（1）根据空间向量平行的坐标运算求解即可得到答案．（2）根据题意得到(-a→【解答】解：（1）a→+kb因为（a→+kb→）∥（a→+b→），所以(a→+kb→)=λ(a→+b→所以1-（2）-a→-k因为向量-a→-k所以(-a→-kb→)⋅(a→+当-a→-kb→与a→+所以向量-a→-k故实数k的范围为{k|k＞-14且k【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题．

考点卡片1．充分不必要条件的判断【知识点的认识】充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件．【解题方法点拨】要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件．【命题方向】充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等．已知命题p：x2﹣4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）A．x≤1B．1＜x＜2C．x≥3D．2＜x＜3解：由x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜3，则1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要条件．故选：BD．2．命题的真假判断与应用【知识点的认识】判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．【解题方法点拨】1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．3．平面向量的概念与平面向量的模【知识点的认识】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．向量的几何表示用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小写字母a→、b→，…表示．有向向量的长度为模，表示为|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的长度（或称模），记作|AB零向量长度为零的向量叫做零向量，记作0→，零向量的长度为0单位向量长度为一个单位长度的向量叫做单位向量AB→（与AB→共线的单位向量是相等向量长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．4．平面向量的基本定理【知识点的认识】1、平面向量基本定理内容：如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a→，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．3、说明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．5．空间向量及其线性运算【知识点的认识】1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示．2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为|AB→|，|a特别地：①规定长度为0的向量为零向量，记作0→②模为1的向量叫做单位向量；3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量．4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如a→的相反向量记为-5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量．6．注意：①零向量的方向是任意的，规定0→②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1；③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；⑤一般来说，向量不能比较大小．1．加减法的定义：空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则．2．加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律．（1）交换律：a（2）结合律：(a3．推广：（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量：A1（求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量）（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量A11．空间向量的数乘运算实数λ与空间向量a→的乘积λ①当λ＞0时，λa→与②当λ＜0时，λa→与③当λ＝0时，λa④|λa→|＝|λ|•|aλa→的长度是a→的长度的|λ2．运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律．（1）分配律：①λ(②（λ+μ）a（2）结合律：λ(μ注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ±6．空间向量的共线与共面【知识点的认识】1．定义（1）共线向量与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a→∥b（2）共面向量平行于同一平面的向量叫做共面向量．2．定理（1）共线向量定理对于空间任意两个向量a→、b→（b→≠0），a→（2）共面向量定理如果两个向量a→、b→不共线，则向量p→与向量a→、b→共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x【解题方法点拨】空间向量共线问题：（1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a→=λb→成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出（2）a→∥b→表示空间向量共面问题：（1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．（2）空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使MP→=xMA→+yMB→．满足这个关系式的点P证明三个向量共面的常用方法：（1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；（2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行．【命题方向】1，考查空间向量共线问题例：若a→=（2x，1，3），b→=（1，﹣2y，9），如果A．x＝1，y＝1B．x=12，y=-12C．x=16，y=-分析：利用共线向量的条件b→=λa→，推出比例关系求出解答：∵a→=（2x，1，3）与b→=（1，﹣2故有2x1∴x=16，y故选C．点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．2．考查空间向量共面问题例：已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是（）A．OM→=OA→+OB→+OC→B分析：根据共面向量定理OM→=m⋅OA→+n⋅OB→+p⋅OC解答：由共面向量定理OM→说明M、A、B、C共面，可以判断A、B、C都是错误的，则D正确．故选D．点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题．7．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示【知识点的认识】1．空间向量基本定理如果三个向量a→，b→，c→不共面，那么对空间任一向量p→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p→=x任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a→，b→，2．单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{e1→，e2→3．空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{e1→，e2→，e3→}，以点O为原点，分别以e1→，e2→，e3其中，点O叫做原点，向量e1→，e24．空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p→，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP→=p→，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p→=xe1→+ye2→+ze3→．把x，y【解题方法点拨】1．基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a→2．空间向量的坐标表示用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为：（1）观察图形：充分观察图形特征；（2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；（3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算；（4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来．3．用基底表示向量用基底表示向量时，（1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．（2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．8．空间向量基本定理及空间向量的基底【知识点的认识】空间向量基本定理如果三个向量a→，b→，c→不共面，那么对空间任一向量p→，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p→=x任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，a→，b→，【解题方法点拨】基底的判断判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ使得a→【命题方向】﹣向量定理和基底：考查如何应用向量的基本定理以及如何选择和使用空间的基底．9．空间向量运算的坐标表示【知识点的认识】1．空间向量的坐标运算规律：设空间向量a→=(x（1）a（2）a（3）λ（4）a→2．空间向量的坐标表示：设空间两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则AB→=OB→-OA→=（x2，y2，z2）﹣（x1，y1，z1）＝（x2﹣x1，y2﹣y3．空间向量平行的条件：（1）a→∥b→(（2）若x2y2z2≠0，则a→∥4．空间向量垂直的条件：a→⊥b→⇔x1x2+y1y2+z1【解题方法点拨】空间向