高考数学总复习《复数》专项测试卷有答案

第第页高考数学总复习《复数》专项测试卷有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．(2024·河南联考)若(1＋i)(1－2i)＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝()A．－1 B．0C．2 D．33．(2024·辽宁模拟)已知a＋eq\r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝()A．1 B.eq\r(7)C．3 D．94．(2024·江西赣州模拟)若复数eq\f(2－mi,1＋2i)＝A＋Bi(m，A，B∈R)，且A＋B＝0，则实数m的值是()A.eq\r(2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．25．(2024·安徽蚌埠模拟)非零复数z满足eq\x\to(z)＝－zi，则复数z在复平面内对应的点位于()A．实轴 B．虚轴C．第一或第三象限 D．第二或第四象限6．(2024·山东东营模拟)如图，若向量eq\o(OZ,\s\up15(→))对应的复数为z，且|z|＝eq\r(5)，则eq\f(1,\x\to(z))＝()A.eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i B．－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)iC.eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i D．－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i7．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()A．内心 B．垂心C．重心 D．外心8．(2024·陕西西安模拟)已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝()A．2－2i B．2＋2iC．－2＋2i D．－2－2i9．复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，z1＝3＋4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B，如图所示，则eq\x\to(z)2＝()A．3－4i B．－4－3iC．－4＋3i D．－3－4i10．若复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，则eq\f(y,x)的最大值为()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(2,3)二、多项选择题11．(2024·山东济宁模拟)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是()A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B.eq\f(1,z1)＝－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)iC．(x＋1)2＋(y－2)2＝4D．|z2－z1|的最大值为3eq\r(2)＋2三、填空题与解答题12．已知复数z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2023,1＋i)，则复数z在复平面内对应的点为________．13．设复数z1，z2分别对应复平面上的点A，B，且∠AOB＝60°，若|z1－z2|＝1，则|z1|的最大值为________．14．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋eq\f(5,z)是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．高分推荐题15．(多选)欧拉公式exi＝cosx＋isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是()A．复数e2i对应的点位于第二象限B．eeq\s\up15(eq\f(π,2))i为纯虚数C．复数eq\f(exi,\r(3)＋i)的模等于eq\f(1,2)D．eeq\s\up15(eq\f(π,6))i的共轭复数为eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i解析版一、单项选择题1．已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件．答案：A2．(2024·河南联考)若(1＋i)(1－2i)＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝()A．－1 B．0C．2 D．3解析：因为(1＋i)(1－2i)＝3－i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－1，所以a＋b＝2.故选C.答案：C3．(2024·辽宁模拟)已知a＋eq\r(5)i＝－2＋bi(a，b∈R)，则|a＋bi|＝()A．1 B.eq\r(7)C．3 D．9解析：因为a＋eq\r(5)i＝－2＋bi，所以a＝－2，b＝eq\r(5)，则|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(4＋5)＝3.故选C.答案：C4．(2024·江西赣州模拟)若复数eq\f(2－mi,1＋2i)＝A＋Bi(m，A，B∈R)，且A＋B＝0，则实数m的值是()A.eq\r(2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．2解析：由题意知，2－mi＝(A＋Bi)(1＋2i)＝A－2B＋(2A＋B)i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝A－2B，,－m＝2A＋B，,A＋B＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝\f(2,3)，,B＝－\f(2,3)，,m＝－\f(2,3).))答案：C5．(2024·安徽蚌埠模拟)非零复数z满足eq\x\to(z)＝－zi，则复数z在复平面内对应的点位于()A．实轴 B．虚轴C．第一或第三象限 D．第二或第四象限解析：由题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，故eq\x\to(z)＝－zi⇔a－bi＝－(a＋bi)i＝－ai＋b，故a＝b，－b＝－a，即复数z＝a＋ai，在复平面内对应的点位于第一或第三象限的角平分线上．答案：C6．(2024·山东东营模拟)如图，若向量eq\o(OZ,\s\up15(→))对应的复数为z，且|z|＝eq\r(5)，则eq\f(1,\x\to(z))＝()A.eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i B．－eq\f(1,5)－eq\f(2,5)iC.eq\f(1,5)－eq\f(2,5)i D．－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i解析：由题意，设z＝－1＋bi(b>0)，则|z|＝eq\r(1＋b2)＝eq\r(5)，解得b＝2，即z＝－1＋2i，所以eq\f(1,\x\to(z))＝eq\f(1,－1－2i)＝eq\f(－1＋2i,－1－2i－1＋2i)＝eq\f(－1＋2i,5)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.故选D.答案：D7．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的()A．内心 B．垂心C．重心 D．外心解析：因为|z－z1|，|z－z2|，|z－z3|表示复数z对应的点分别到点A，B，C的距离，故由|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，知复数z对应的点到△ABC三个顶点的距离都相等，则z对应的点是△ABC的外心，故选D.答案：D8．(2024·陕西西安模拟)已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z＝()A．2－2i B．2＋2iC．－2＋2i D．－2－2i解析：由已知，得b2＋b(4＋i)＋4＋ai＝0，即b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2＋4b＋4＝0，,a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2，))所以z＝2－2i.答案：A9．复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，z1＝3＋4i，将点A绕原点O逆时针旋转90°得到点B，如图所示，则eq\x\to(z)2＝()A．3－4i B．－4－3iC．－4＋3i D．－3－4i解析：由题意知A(3,4)，B(－4,3)，即z2＝－4＋3i，eq\x\to(z)2＝－4－3i.答案：B10．若复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，则eq\f(y,x)的最大值为()A.eq\f(2\r(5),5) B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(2,3)解析：因为复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，所以(x－3)2＋y2＝4，表示以(3,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示，eq\f(y,x)表示过原点和圆上的点(x，y)的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，eq\f(y,x)取得最值，设切线方程为y＝kx，则eq\f(|3k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝±eq\f(2\r(5),5)，所以eq\f(y,x)的最大值为eq\f(2\r(5),5).答案：A二、多项选择题11．(2024·山东济宁模拟)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是()A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B.eq\f(1,z1)＝－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)iC．(x＋1)2＋(y－2)2＝4D．|z2－z1|的最大值为3eq\r(2)＋2解析：对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；对于B，eq\f(1,z1)＝eq\f(1,－2＋i)＝eq\f(－2－i,－2＋i－2－i)＝－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)i，故B正确；对于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，∵|z2－1＋2i|＝2，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；对于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，则|z1－1＋2i|＝eq\r(－32＋32)＝3eq\r(2).|z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋3eq\r(2)，故D正确．答案：ABD三、填空题与解答题12．已知复数z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2023,1＋i)，则复数z在复平面内对应的点为________．解析：∵i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2023＝4×505＋3，∴z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2023,1＋i)＝eq\f(i＋i2＋i3,1＋i)＝eq\f(－1,1＋i)＝eq\f(－1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－1＋i,2)，∴复数z在复平面内对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))13．设复数z1，z2分别对应复平面上的点A，B，且∠AOB＝60°，若|z1－z2|＝1，则|z1|的最大值为________．解析：方法一：依题意，不妨设复数z1＝a，z2＝b(1＋eq\r(3)i)(a，b为正实数)，代入|z1－z2|＝1，并化简得4b2－2ab＋a2－1＝0，关于b的方程显然有实根，∴Δ＝(－2a)2－4×4(a2－1)≥0，解得a2≤eq\f(4,3)，即|a|≤eq\f(2\r(3),3)，故|z1|max＝eq\f(2\r(3),3).方法二：∠AOB＝60°，且|AB|＝|z1－z2|＝1，即点O对定长的线段AB的张角一定为60°，可知点O在以AB为弦的圆M的优弧上，如图所示．显然线段AO长度(即|z1|)的最大值为圆M的直径．由平面几何知识，易知该圆直径为2R＝eq\f(1,\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),3)，所以|z1|max＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)14．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋eq\f(5,z)是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.理由如下：设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，则z＋eq\f(5,z)＝a＋bi＋eq\f(5,a＋bi)＝a＋bi＋eq\f(5a－bi,a2＋b2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(5a,a2＋b2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(5b,a2＋b2)))i.∵z＋eq\f(5,z)是实数，∴b－eq\f(5b,a2＋b2)＝0.又b≠0，∴a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，∴a＋3＋b＝0.②联立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋3＝0，,a2＋b2＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1，))故存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．高分推荐题15．(多选)欧拉公式exi＝cosx＋isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是()A．复数e2i对应的点位于第二象限B．eeq\s\up15(eq\f(π,2))i为纯虚数C．复数eq\f(exi,\r(3)＋i)的模等于eq\f(1,2)D．eeq\s\up