2024-2025学年河北省保定市唐县高二上册12月期末数学检测试题（含解析）

2024-2025学年河北省保定市唐县高二上学期12月期末数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．2．在数列中，若，则下列数是中的项的是（）A．4 B．4 C． D．33．已知等比数列的前项和为，若，则（

）A． B． C． D．4．已知为等差数列的前n项和，公差为d.若，，则（）A． B．C． D．无最大值5．棱长为的正四面体中，点是AD的中点，则（

）A． B． C． D．6．已知两条直线与被圆截得的线段长均为2，则圆的面积为（

）A． B． C． D．7．椭圆的离心率为，点为上一点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最大值为（

）A． B． C． D．8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，，设第层有个球，则的值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（

）A． B．C．若，且，则 D．若且，则10．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．椭圆离心率为B．C．若，则的面积为D．最大值为11．已知直线l：，圆：，与圆：．则下列结论正确的是（

）A．直线l与圆的位置关系是相切 B．直线l与圆的位置关系是相离C．圆与圆的公共弦长是 D．圆上的点到直线l的距离为1的点有3个三、填空题（本大题共3小题）12．已知是等差数列的前项和，且，，则.13．过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为14．抛物线的焦点为，准线为，过焦点且斜率为的直线与交于点（在第一象限内），为上一动点，则周长的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知数列满足，.(1)令，证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和.16．已知双曲线过点，右焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线l的斜率存在且过双曲线的右焦点，与双曲线交于两点，满足，求直线的方程．17．已知数列的前n项和为，，．(1)求的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．18．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．焦距为2c的椭圆（a＞b＞0），如果满足“2b=a+c”，则称此椭圆为“等差椭圆”．(1)如果椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求的值；(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线AP、AQ分别与x轴交于M、N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过定点？说明理由．

答案1．【正确答案】C【详解】抛物线化为标准方程可得，故，焦点坐标为.故选:C.2．【正确答案】B【详解】由，，，可知以3为周期，依次为，显然B正确.故选：B3．【正确答案】B【详解】设等比数列的公比为，由，得，则，又为的前项和，则成等比数列，公比为，于是，所以.故选：B4．【正确答案】B【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，则，即，可得，则，故A错误；对于选项B：因为，则，所以，故B正确；对于选项D：因为，且，可知，当时，；当时，；可知当且仅当时，取到最大值，故D错误，对于选项C：因为，所以，故C错误；故选：B.5．【正确答案】A【详解】因为，所以，又，，，，所以．故选：A．6．【正确答案】A【详解】因为两条直线与，所以，所以与间的距离为，所以圆心到直线的距离为1，因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆的半径为，所以圆的面积为.故选：A.7．【正确答案】C【详解】

由题知，解得，，所以椭圆，设，，，设的圆心为，半径为，则，，因为与圆相切，所以，当时，.故选：C.8．【正确答案】D【详解】由题意可得，，，，，于是有，所以，，，，，，将以上个式子相加，得，所以，所以.故选：D.9．【正确答案】BC【分析】根据题意，得到向量，，，结合空间向量的坐标运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，因为，，所以，可得，所以A错误；对于B，因为，，所以，所以B正确；对于C，若，且，则，解得，所以C正确，对于D，若且，因为，可得，解得，所以D错误.故选BC.10．【正确答案】BCD【详解】由椭圆方程可知，，，，所以椭圆的离心率，故A错误；由椭圆定义知，故B正确；又，因为，所以，，解得：，所以的面积为，故C正确；因为，即，设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以，故D正确.故选：BCD.11．【正确答案】BC【分析】由点线距与两半径的关系可判断A、B两项；将两圆方程作差，由弦长公式可判断C项；通过计算圆心到直线的距离结合条件从而判断出D选项.【详解】对于选项A:因为圆：，所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，因为，所以直线l与圆的位置关系是相交，故选项A错误；对于选项B:因为圆：，所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离为，因为，所以直线l与圆的位置关系是相离，故选项B正确；对于选项C：联立，相减得公共弦所在得直线方程为：，所以圆心到的距离为，所以公共弦长为，故选项C正确;对于选项D：因为，且，所以圆上的点到直线l的距离为1的点有4个（在直线l的两侧各2个）,故选项D错误;故选：BC.12．【正确答案】51【详解】由得，所以由，得，所以.故51.13．【正确答案】/【详解】设,，则①,②,∵是线段的中点,∴故过点作斜率为的直线的方程是，∴①②两式相减可得:∴.∴.∴∴∴故答案为:.14．【正确答案】【详解】设准线交轴于点，过作直线的垂线，垂足为A，连接，由题知，焦点，，．因为直线的斜率为，所以为正三角形，所以，，所以．记关于直线的对称点为，则．当，，三点共线时，，所以周长的最小值为．故15．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）因为.又，故数列是首项为1，公比为3的等比数列.（2）由（1）有，可得，所以有.16．【正确答案】(1)；(2)或．【详解】（1）由点到直线的距离公式可知：右焦点到渐近线的距离为，又双曲线C过点，所以，解得，所以双曲线C的方程为．（2）由（1）可知：右焦点坐标为，由题意，直线的斜率存在，设，联立消去y得：，所以，设Ax1,所以．解得，即，满足．所以直线的方程为，或．17．【正确答案】(1).(2).【分析】（1）根据题中给出得递推关系式，以及，即可求解数列的通项公式；（2）将数列的通项公式带入数列，进行化简，利用错位相减法进行求解.(1)由得，∴，∴.又，，∴，整理得.∴数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴数列的通项公式为.(2)由（1）得，∴.∴，即，，两式相减，得，∴.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii）存在，【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示：为棱的中点，，，，，，，四边形是平行四边形，，又平面，平面，平面.（2），，，，，平面平面，平面平面，平面，平面，又，平面，，，又，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：则，，，，为棱的中点，，（i），，设平面的一个法向量为，则，令，则，，，平面的一个法向量为，，根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为（ii）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，设，，则，，由（2）知平面的一个法向量为，，点到平面的距离是,，，.19．【正确答案】(1)(2)是，定点（0，±10），理由见解析【详解】（1）由新定义得出的关系，结合可求得；（2）设P（x0，y0）（x0≠0），则Q（﹣x0，﹣y0），写出方程求得点坐标，同理得点坐标，然后可得出以线段MN为直径的圆的方程，由方程可确定定点坐标．(1)因为椭圆（a＞b＞0）是“等差椭圆”，所以2b=a+c，所以c=2b﹣a