高考数学总复习《导数的概念与运算　》专项测试卷及答案

第第页高考数学总复习《导数的概念与运算》专项测试卷及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单项选择题1．(2024·山东青岛模拟)设f(x)是可导函数，且满足eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(f2Δx＋1－f1,2Δx)＝－2，则y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．－4 B．4C．2 D．－22．曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线的斜率是()A．2 B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)3．(2020·全国Ⅰ卷，理)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋14．若曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝()A．2 B．1C．－2 D．－15．(2024·湖南株洲模拟)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2020(x)＝()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2023)＝()A．1 B．2C.eq\f(1,2023) D.eq\f(2024,2023)7．(2024·河北沧衡八校联盟)若直线l与曲线f(x)＝－eq\f(4,ex＋2)相切，则直线l的斜率的最大值为()A.eq\f(ln2,2) B．1－eq\f(ln2,2)C.eq\f(1,2) D．ln28．若函数f(x)＝lnx＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－6]B．(－∞，－6]∪[2，＋∞)C．[2，＋∞)D．(－∞，－6)∪(2，＋∞)9．已知P是曲线y＝－sinx(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)10．(2024·河北邯郸模拟)已知函数f(x)＝|cosx|(x≥0)，若方程f(x)＝kx恰有两个根，记较大的根为θ，则sin2θ＝()A.eq\f(θ,1＋θ2) B．－eq\f(θ,1＋θ2)C.eq\f(2θ,1－θ2) D．－eq\f(2θ,1＋θ2)二、多项选择题11．若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))上是凸函数的是()A．f(x)＝－x3＋3x＋4B．f(x)＝lnx＋2xC．f(x)＝sinx＋cosxD．f(x)＝xex三、填空题与解答题12．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)，则f′(0)＝________.13．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为eq\f(0,0)型分式，比如：当x→0时，eq\f(ex－1,x)的极限即为eq\f(0,0)型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：lieq\o(m,\s\do15(x→0))eq\f(ex－1,x)＝lieq\o(m,\s\do15(x→0))eq\f(ex－1′,x′)＝lieq\o(m,\s\do15(x→0))eq\f(ex,1)＝lieq\o(m,\s\do15(x→0))ex＝e0＝1，则lieq\o(m,\s\do15(x→1))eq\f(x2lnx,x2－1)＝________.14．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x＞0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．15．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求切点P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．高分推荐题16.(2024·天津南开中学检测)N同学与K同学为了纪念他们深厚的友谊，以三次函数及其图象的三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，把它放入一个盒子，并为盒子设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：盒子中有一枚我们留下的徽章，它由“N”“K”两个字母组合而成．其中“N”蕴含在函数f(x)＝eq\f(1,2)x3＋3x2＋x－1的图象中，过点P(－6，a)与曲线y＝f(x)相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了“K”的形状，如图．请你求出满足条件的整数a的个数，这就是打开盒子的密码：________.解析版一、单项选择题1．(2024·山东青岛模拟)设f(x)是可导函数，且满足eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(f2Δx＋1－f1,2Δx)＝－2，则y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为()A．－4 B．4C．2 D．－2解析：因为eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(f2Δx＋1－f1,2Δx)＝f′(1)＝－2，故y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为－2.故选D.答案：D2．曲线y＝eq\f(x＋1,x－1)在点(3,2)处的切线的斜率是()A．2 B．－2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)解析：y′＝eq\f(x＋1′x－1－x＋1x－1′,x－12)＝－eq\f(2,x－12)，故曲线在(3,2)处的切线的斜率k＝y′|x＝3＝－eq\f(2,3－12)＝－eq\f(1,2)，故选D.答案：D3．(2020·全国Ⅰ卷，理)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1解析：∵f(x)＝x4－2x3，∴f′(x)＝4x3－6x2，∴f′(1)＝－2，又f(1)＝1－2＝－1，∴所求的切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.答案：B4．若曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝()A．2 B．1C．－2 D．－1解析：因为切线l过点(－2,0)和(0，－2)，所以f′(－1)＝eq\f(0＋2,－2－0)＝－1，所以切线l的方程为y＝－x－2，取x＝－1，则y＝－1，即f(－1)＝－1，所以f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2，故选C.答案：C5．(2024·湖南株洲模拟)设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2020(x)＝()A．sinx B．－sinxC．cosx D．－cosx解析：根据题意，f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)＝cosx，f2(x)＝f′1(x)＝－sinx，f3(x)＝f′2(x)＝－cosx，f4(x)＝f′3(x)＝sinx，则有f0(x)＝f4(x)，f1(x)＝f5(x)，…，所以fn＋4(x)＝fn(x)(n∈N)，则f2020(x)＝f0(x)＝sinx．故选A.答案：A6．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(2023)＝()A．1 B．2C.eq\f(1,2023) D.eq\f(2024,2023)解析：令ex＝t，t＞0，则x＝lnt，所以f(t)＝lnt＋t，故f(x)＝lnx＋x.求导得f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，故f′(2023)＝eq\f(1,2023)＋1＝eq\f(2024,2023).故选D.答案：D7．(2024·河北沧衡八校联盟)若直线l与曲线f(x)＝－eq\f(4,ex＋2)相切，则直线l的斜率的最大值为()A.eq\f(ln2,2) B．1－eq\f(ln2,2)C.eq\f(1,2) D．ln2解析：由f(x)＝－eq\f(4,ex＋2)，可得f′(x)＝eq\f(4ex,ex＋22)＝eq\f(4,ex＋\f(4,ex)＋4).因为ex＋eq\f(4,ex)＋4≥2eq\r(ex·\f(4,ex))＋4＝8，当且仅当ex＝eq\f(4,ex)，即ex＝2，x＝ln2时等号成立，所以0＜f′(x)≤eq\f(1,2)，所以直线l的斜率的最大值为eq\f(1,2).答案：C8．若函数f(x)＝lnx＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－6]B．(－∞，－6]∪[2，＋∞)C．[2，＋∞)D．(－∞，－6)∪(2，＋∞)解析：直线2x－y＝0的斜率k＝2，又曲线f(x)上存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋4x－a＝2在(0，＋∞)内有解，则a＝4x＋eq\f(1,x)－2，x＞0.又4x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(4x·\f(1,x))＝4，当且仅当x＝eq\f(1,2)时取“＝”．∴a≥4－2＝2.答案：C9．已知P是曲线y＝－sinx(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线x－2y－6＝0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)解析：如图所示，若使|PQ|取得最小值，则曲线y＝－sinx(x∈[0，π])在点P处的切线与直线x－2y－6＝0平行，对函数y＝－sinx求导得y′＝－cosx，令y′＝eq\f(1,2)，可得cosx＝－eq\f(1,2)，又0≤x≤π，解得x＝eq\f(2π,3).故选C.答案：C10．(2024·河北邯郸模拟)已知函数f(x)＝|cosx|(x≥0)，若方程f(x)＝kx恰有两个根，记较大的根为θ，则sin2θ＝()A.eq\f(θ,1＋θ2) B．－eq\f(θ,1＋θ2)C.eq\f(2θ,1－θ2) D．－eq\f(2θ,1＋θ2)解析：函数f(x)的图象如下：∵f(x)＝kx恰好有两根，∴f(x)与y＝kx的交点只有2个，即f(x)与y＝kx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上相切，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，f(x)＝－cosx，由题意设该切点坐标为(θ，－cosθ)，且－cosθ＝kθ①，∵f(x)与y＝kx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上相切，∴k＝f′(θ)＝sinθ>0，代入①式，得－cosθ＝θ·sinθ，∴tanθ＝－eq\f(1,θ)，∴sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ,1＋tan2θ)＝－eq\f(2θ,1＋θ2).故选D.答案：D二、多项选择题11．若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝[f′(x)]′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))上是凸函数的是()A．f(x)＝－x3＋3x＋4B．f(x)＝lnx＋2xC．f(x)＝sinx＋cosxD．f(x)＝xex解析：对A，f(x)＝－x3＋3x＋4，f′(x)＝－3x2＋3，f″(x)＝－6x，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))时，f″(x)＜0，故A为凸函数；对B，f(x)＝lnx＋2x，f′(x)＝eq\f(1,x)＋2，f″(x)＝－eq\f(1,x2)，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))时，f″(x)＜0，故B为凸函数；对C，f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx＝－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))时，f″(x)＜0，故C为凸函数；对D，f(x)＝xex，f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex，当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4)))时，f″(x)＞0，故D不是凸函数．答案：ABC三、填空题与解答题12．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)，则f′(0)＝________.解析：f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，所以f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.答案：－12013．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为eq\f(0,0)型分式，比如：当x→0时，eq\f(ex－1,x)的极限即为eq\f(0,0)型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：lieq\o(m,\s\do15(x→0))eq\f(ex－1,x)＝lieq\o(m,\s\do15(x→0))eq\f(ex－1′,x′)＝lieq\o(m,\s\do15(x→0))eq\f(ex,1)＝lieq\o(m,\s\do15(x→0))ex＝e0＝1，则lieq\o(m,\s\do15(x→1))eq\f(x2lnx,x2－1)＝________.解析：lieq\o(m,\s\do15(x→1))eq\f(x2lnx,x2－1)＝lieq\o(m,\s\do15(x→1))eq\f(x2lnx′,x2－1′)＝lieq\o(m,\s\do15(x→1))eq\f(2xlnx＋x,2x)＝lieq\o(m,\s\do15(x→1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx＋\f(1,2)))＝ln1＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)14．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝eq\f(1,x)(x＞0)在点P处的切线垂直，则点P的坐标为________．解析：曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝1；由y＝eq\f(1,x)，可得y′＝－eq\f(1,x2).因为曲线y＝eq\f(1,x)(x＞0)在点P处的切线与曲线y＝ex在点(0,1)处的切线垂直，故－eq\f(1,x\o\al(2,P))＝－1，解得xP＝1，由y＝eq\f(1,x)，得yP＝1，故所求点P的坐标为(1,1)．答案：(1,1)15．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求切点P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－eq\f(1,4).∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－eq\f(1,4)(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.高分推荐题16.(2024·天津南开中学检测)N同学与K同学为了纪念他们深厚的友谊，以三次函数及其图象的三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，把它放入一个盒子，并为盒子设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：盒子中有一枚我们留下的徽章，它由“N”“K”两个字母组合而成．其中“N”蕴含在函数f(x)＝eq\f(1,2)x3＋3x2＋x－1的图象中，过点P(－6，a)与曲线y＝f(x)相切的直线恰有三条，这三条切线勾勒出了